# 機率問題

## 條件機率問題

#### Two fair dice are rolled. What is the conditional probability that at least one lands on 6 given that the dice land on different numbers?

從題目描述，我們列出幾個事件:
- $A$: 至少骰出 1 個 6
- $B$: 兩個骰子的值不一樣
- $C$: 兩個骰子都骰到 6
- $D$: 只有一個骰子是 6

並且我們可以知道題目要問的是當 $B$ 發生時 $A$ 發生的機率，也就是 $P(A|B)$。我們先得出 $A$ 的機率為$$P(A) = P(C) + P(D) = \frac{1}{36} + \frac{10}{36} = \frac{11}{36}$$ $B$ 的機率為$$P(B)=\frac{6\cdot 5}{6\cdot 6}=\frac{5}{6}$$而同時發生 $A$ 跟 $B$ 的機率為 $$P(A\cap B)=P(A)-P(C)=\frac{10}{36}$$所以 $$P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{1}{3}$$

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#### The king comes from a family of 2 chidren. What is the probability that the other child is his sister?

這個題目我們先假定國王一定是男的，根據題目的描述，我們可以列出下面幾個事件:
- $A$: 兩個小孩至少一個是男的
- $B$: 只有一個小孩是女的
題目要問的是 $A$ 發生的情況下發生 $B$ 的機率，也就是 $P(B|A)$。我們先算出 A 的機率為$$P(A)=\frac{3}{4}$$而同時發生 $A$ 跟 $B$ 的機率為 $$P(A\cap B)=\frac{2}{4}$$所以$$P(B|A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}=\frac{2}{3}$$

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#### Show that if $P(A)>0$, then $P(A\cap B|A)\ge P(A\cap B|A\cup B)$
把 $P(A\cap B|A)$ 用條件機率的公式展開$$P(A\cap B|A) = \frac{P((A\cap B)\cap A)}{P(A)}=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}$$把 $P(A\cap B|A\cup B)$ 用條件機率的公式展開$$P(A\cap B|A\cup B) = \frac{P((A\cap B)\cap (A\cup B))}{P(A\cup B)}=\frac{P(A\cap B)}{P(A\cup B)}$$其中 $P(A\cup B)\ge P(A)$ 所以得證 $$P(A\cap B|A)\ge P(A\cap B|A\cup B)$$

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#### A recent college graduate is planning to take the first three actuarial examinations in the coming summer. She will take the first actuarial exam in June. If she passes that exam, then she will take the second exam in July, and if she also passes that one, then she will take the third exam in September. If she fails an exam, then she is not allowed to take any others. The probability that she passes the first exam is .9. If she passes the first exam, then the conditional probability that she passes the second one is .8, and if she passes both the first and the second exams, then the conditional probability that she passes the third exam is .7.

a. What is the probability that she passes all three exams?

我們先定義三個事件:
1. $E_1$: 通過第一個考試
2. $E_2$: 通過第二個考試
3. $E_3$: 通過第三個考試

由題目我們知道 $P(E_1)=0.9$, $P(E_2|E_1)=0.8$, $P(E_3|E_1\cap E_2)=0.7$。這個問題要問的是 $P(E_1\cap E_2\cap E_3)$ 結果為多少。

我們可以發現 $P(E_1\cap E_2\cap E_3)$ 會出現在 $P(E_3|E_1\cap E_2)$ 展開的分子裡
$$P(E_3|E_1\cap E_2)=\frac{P(E_1\cap E_2\cap E_3)}{P(E_1\cap E_2)}=0.7$$所以 $P(E_1\cap E_2\cap E_3)=0.7\cdot P(E_1\cap E_2)$。而 $P(E_1\cap E_2)$ 會出現在 $P(E_2|E_1)$ 展開的分子裡

$$P(E_2|E_1)=\frac{P(E_1\cap E_2)}{P(E_1)}=0.8$$由於我們已知 $P(E_1)=0.9$ 所以可以得到 $P(E_1\cap E_2)=0.8\cdot 0.9=0.72$。

所以我們可以得到 $P(E_1\cap E_2\cap E_3)=0.7\cdot 0.72=0.504$。

b. Given that she did not pass all three exams, what is the conditional probability that she failed the second exam?

我們首先要討論第二次考試失敗機率該怎麼算，第二次考試失敗必須要是第一個考試通過後才能考第二個考試，所以第二次考試失敗的機率為 $P(E_1\cap E_2^c)$，這題要問的是 $P(E_1\cap E_2^c|(E_1\cap E_2\cap E_3)^c)$ 為多少，我們只要把這個條件機率展開就可以得

$$\begin{equation}\begin{split}
P(E_1\cap E_2^c|(E_1\cap E_2\cap E_3)^c)
&=\frac{P(E_1\cap E_2^c\cap (E_1\cap E_2\cap E_3)^c)}{P((E_1\cap E_2\cap E_3)^c)}\\
&=\frac{P(E_1\cap E_2^c)}{1-P(E_1\cap E_2\cap E_3)}\\
&=\frac{(1-P(E_2|E_1))P(E_1)}{1-P(E_1\cap E_2\cap E_3)}\\
&=\frac{0.2\cdot 0.9}{1-0.504}=\frac{0.18}{0.496}\simeq 0.3629
\end{split}\end{equation}$$

其中，為什麼 $P(E_1\cap E_2^c\cap (E_1\cap E_2\cap E_3)^c)=P(E_1\cap E_2^c)$? 我們其實可以把 $(E_1\cap E_2\cap E_3)^c$ 看成 $E_1^c\cup(E_1\cap E_2^c)\cup (E_1\cap E_2\cap E_3^c)$，考試後失敗會是第一個考試就失敗跟第一個考試通過但第二個考試失敗跟第一二個考試通過但第三個考試失敗的聯集。所以 $E_1^c\cup(E_1\cap E_2^c)\cup (E_1\cap E_2\cap E_3^c)$ 跟 $E_1\cap E_2^c$ 的交集即為 $E_1\cap E_2^c$ 自己。

而 $P(E_1\cap E_2^c)=(1-P(E_2|E_1))P(E_1)$ 的推導，我們可以從第一個考試通過的條件下第二個考試過或不過的條件機率來得出
$$P(E_2^c|E_1)=1-P(E_2|E_1)\Rightarrow P(E_1\cap E_2^c)=(1-P(E_2|E_1))P(E_1)$$

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#### There is a 50-50 chance that the queen carries the gene for hemophilia. If she is a carrier, then each prince has a 50-50 chance of having hemophilia. If the queen has had three princes without the disease, what is the probability that the queen is a carrier? If there is a fourth prince, what is the probability that he will have hemophilia?

我們先定義兩個事件
1. $Q$: 皇后的基因有 hemophilia
2. $P_i$: 第 i 個王子有 hemophilia

照題目所說的 $P(Q) = 0.5$，$P(P_i|Q)=0.5$，且 $P_i$ 間都為獨立事件。第一個問題問的是 $P(Q|P_1^c\cap P_2^c\cap P_3^c)$ 為多少。

我們可以用貝氏定律來得出答案，也就是用皇后有 hemophilia 跟沒有的條件下取皇后有 hemophilia 時王子們都沒有的機率來反推出王子們都沒有的條件下皇后有 hemophilia 的機率
$$\begin{equation}\begin{split}
P(Q|P_1^c\cap P_2^c\cap P_3^c)
&=\frac{P(P_1^c\cap P_2^c\cap P_3^c|Q)P(Q)}{P(P_1^c\cap P_2^c\cap P_3^c|Q)P(Q) + P(P_1^c\cap P_2^c\cap P_3^c|Q^c)P(Q^c)}\\
&=\frac{0.125\cdot 0.5}{0.125\cdot 0.5 + 1\cdot 0.5}\simeq 0.111
\end{split}\end{equation}$$

其中，從題目我們知道已經有給了皇后有 hemophilia 的條件下王子們也有的條件機率，我們可以推得皇后有 hemophilia 的條件下王子們沒有的條件機率 $P(P_i^c|Q) = 1 - P(P_i|Q)=0.5$，且因為 $P_i$ 為獨立事件所以$$P(P_1^c\cap P_2^c\cap P_3^c|Q)=P(P_1^c|Q)P(P_2^c|Q)P(P_3^c|Q)=0.125$$另外我們也可以知道皇后沒有 hemophilia 的條件下王子們肯定也沒有所以機率為$$P(P_1^c\cap P_2^c\cap P_3^c|Q^c)=P(P_1^c|Q^c)P(P_2^c|Q^c)P(P_3^c|Q^c)=1$$

第二個問題問的是 $P(P_4|P_1^c\cap P_2^c\cap P_3^c)$ 是多少。

由貝氏定律我們可以知道
$$\begin{equation}\begin{split}
P(P_1^c\cap P_2^c\cap P_3^c\cap P_4)
&=P(P_1^c\cap P_2^c\cap P_3^c\cap P_4|Q)P(Q) + P(P_1^c\cap P_2^c\cap P_3^c\cap P_4|Q^c)P(Q^c)\\
&=\frac{1}{2}^5+0\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{32}
\end{split}\end{equation}$$

$$\begin{equation}\begin{split}
P(P_1^c\cap P_2^c\cap P_3^c)
&=P(P_1^c\cap P_2^c\cap P_3^c|Q)P(Q) + P(P_1^c\cap P_2^c\cap P_3^c|Q^c)P(Q^c)\\
&=\frac{1}{16} + \frac{1}{2}=\frac{9}{16}
\end{split}\end{equation}$$因此我們可以算出$$\begin{equation}\begin{split}
P(P_4|P_1^c\cap P_2^c\cap P_3^c)
&=\frac{P(P_1^c\cap P_2^c\cap P_3^c\cap P_4)}{P(P_1^c\cap P_2^c\cap P_3^c)}=\frac{1}{18}
\end{split}\end{equation}$$

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#### In any given year, a male automobile policyholder will make a claim with probability $p_m$ and a female policyholder will make a claim with probability $p _f,$ where $p_f \neq p _ m$. The fraction of the policyholders that are male is $\alpha , 0 < \alpha < 1$. A policyholder is randomly chosen. If $A_i$ denotes the event that this policyholder will make a claim in year $i$, show that $$P \left( A _ { 2 } | A _ { 1 } \right) > P \left( A _ { 1 } \right)$$ Give an intuitive explanation of why the preceding inequality is true.

從題目我們可以知道有下面這些事件
- $M$: 投保人是男的
- $F$: 投保人是女的
- $A_i$: 第 $i$ 年投保人申請理賠

另外從題目我們已知下面這些的機率
- $P(M)=\alpha$
- $P(F)=1-\alpha$
- $P(A_i|M)=p_m$
- $P(A_i|F)=p_f$

我們可以推得 $P(A_i)=\alpha p_m + (1-\alpha)p_f$。並且題目說 $p_m\neq p_f$，我們先假設 $p_m>p_f$。

我們首先要計算 $P(A_2|A_1)$，但在這之前我們需要知道 $P(A_1\cap A_2)$$$\begin{equation}\begin{split}
P(A_1\cap A_2)
&=P(A_1\cap A_2|M)P(M)+P(A_1\cap A_2|F)P(F)\\
&=P(A_1|M)P(A_2|M)P(M)+P(A_1|F)P(A_2|F)P(F)\\
&=\alpha p_m^2 + (1-\alpha)p_f^2
\end{split}\end{equation}$$其中，我們假定在給定投保人是男的或女的條件下投保人申請理賠的事件是互相獨立的。$$\begin{equation}\begin{split}
P(A_2|A_1)
&=\frac{P(A_1\cap A_2)}{P(A_1)}=\frac{\alpha p_m^2}{P(A_1)} + \frac{(1-\alpha)p_f^2}{P(A_1)}
\end{split}\end{equation}$$因為我們前面假設 $p_m > p_f$，我們可以推出 $p_m$ 跟 $P(A_1)$ 的關係
$$\begin{equation}\begin{split}
(1-\alpha) p_m > (1-\alpha) p_f\Rightarrow p_m>\alpha p_m + (1-\alpha)p_f=P(A_1)\Rightarrow\frac{p_m}{P(A_1)}>1
\end{split}\end{equation}$$

我們可以算出 $\frac{\alpha p_m}{P(A_1)}>\alpha=\alpha + \epsilon$，其中 $\epsilon>0$。並且也可以推得 $\frac{(1-\alpha) p_f}{P(A_1)}$$$\begin{equation}\begin{split}
&\frac{\alpha p_m}{P(A_1)}+\frac{(1-\alpha) p_f}{P(A_1)}=1\\
\Rightarrow &\frac{(1-\alpha) p_f}{P(A_1)}=1-\frac{\alpha p_m}{P(A_1)}=1-\alpha- \epsilon
\end{split}\end{equation}$$

因此我們可以得到 $P(A_2|A_1)=p_m(\alpha+\epsilon)+p_f(1-\alpha-\epsilon)$。接著我們可以得出 $P(A_2|A_1)$ 跟 $P(A_1)$ 的關係$$\begin{equation}\begin{split}
P(A_2|A_1)-P(A_1)
&=p_m(\alpha+\epsilon)+p_f(1-\alpha-\epsilon)-p_m\alpha - p_f(1-\alpha)\\
&=p_m\epsilon-p_f\epsilon=\epsilon(p_m-p_f)>0
\end{split}\end{equation}$$得證 $P(A_2|A_1) > P(A_1)$。

這一個現象我們也可以用物理意義來解釋:

因為今天 $p_m$ 跟 $p_f$ 不相等，我們假設男性投保人索賠的機率比較高，若有個人第一年索賠的話我們會認為此人為男性的機率比較高，且因為每年索賠的事件在知道索賠人性別的條件下是獨立事件，在知道第一年此人索賠的條件下，我們知道這個人索賠的機率比較高，因此此人第二年索賠的機率就會比較高。

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#### There are 3 coins in a box. One is a two-headed coin, another is a fair coin, and the third is a biased coin that comes up heads 75 percent of the time. When one of the 3 coins is selected at random and flipped, it shows heads. What is the probability that it was the two-headed coin?

從題目我們需要定義幾個事件:
- $C_i$: 選擇第 $i$ 個 coin
- $H$: 硬幣擲到正面

並且我們題目有告訴我們下面這些機率
- $P(C_i)=\frac{1}{3}$
- $P(H|C_1)=1$
- $P(H|C_2)=\frac{1}{2}$
- $P(H|C_3)=\frac{3}{4}$

題目要問的是 $P(C_1|H)$ 為多少。因為我們有選擇各種硬幣的條件下得到正面的條件機率，所以我們可以用貝氏定律反推得答案
$$P(C_1|H)=\frac{(H|C_1)P(C_1)}{\sum_i^3P(H|C_i)P(C_i)}=\frac{1/3}{1/3+1/6+1/4}=\frac{4}{9}$$

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#### Show that if $P(A|B)=1$, then $P(B^c|A^c)=1$.

$$P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=1\Rightarrow P(B)=P(A\cap B)$$

$$P(B^c|A^c)=\frac{P(A^c\cap B^c)}{P(A^c)}=\frac{1-P(A\cup B)}{1-P(A)}=\frac{1-P(A)-P(B)+P(A\cap B)}{1-P(A)}=1$$

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## 獨立事件問題

#### Let A and B be events having positive probability. State whether each of the following statements is (i) necessarily true, (ii) necessarily false, or (iii) possible true.

**a. If $A$ and $B$ are mutually exclusive, then they are independent.**

這個問題為 necessarily false。如果 $A$ 跟 $B$ 互斥的話那 $P(A\cap B)=0\neq P(A)P(B)$。另外，若兩事件互斥的話當一事件發生我們就可以知道另一事件一定不發生這也表示兩互斥事件並不獨立。

**b. If $A$ and $B$ are independent, then they are mutually exclusive.**

這個問題為 necessarily false。由前面的回答我們可以知道若 $A$ 跟 $B$ 為獨立，$P(A\cap B)=P(A)P(B)\neq 0$，表示兩事件一定有交集一定不互斥。

**c. $P(A)=P(B)=0.6$, and $A$ and $B$ are mutually exclusive.**

這個問題為 necessarily false。$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\le1\Rightarrow P(A\cap B)>0$。

**d. $P(A)=P(B)=0.6$, and $A$ and $B$ are independent.**

這個問題為 possible true。由前面的回答我們知道 $P(A\cap B)>0$。所以 $P(A\cap B)$ 有可能等於 $P(A)P(B)$。

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