Boolean Algebra

Basic Operations and Truth Table

L, H: 高電位，低電位
F, T: false, true
complement(補數)： 把零變一之類的
圈圈代表一個 inverter。之後寫得簡潔一點就會把前面的三角形拿掉

And gate

OR gate
沒有特別強調就是 inclusive or
inclusive or: 可以兩個都是1 或 0

布林公式，可以試著推推看

這是所謂的真值表，左邊是 input 右邊是最後的結果
加法：OR
乘法：AND

左邊是 or 右邊是 and
下面那題，後面一個加一，前面都不用看，就是等於一。

Basic & Advanced Theorems

上圖的下面定理，電路化簡會用到。

這裡很重要
or＝並聯。 and＝串連

or＝並聯。 and＝串連

串連一個 x+x' = 1，不影響結果
最後並聯一個 xy，不影響結果

分配律的寫法

也可以由串連並聯的寫法來解釋

重點：需要假設好幾個 group 來簡化電路

Multiplying Out and Factoring

Multiplying Out: 把式子乘開

• SOP
  

  sum term = A+B, A
  product term = AB, A

  SOP: (AND) OR (AND) OR (AND)
  括號內不能有 OR

• POS
  

  
  第三題要用 group 的概念會比較好理解

不算 inverter 只算 and, or 只會有兩層

DeMorgan's Law and Duality

• DeMorgan's Law
  

  
  為什麼要學DeMorgan's Law ： 這裡是使用正邏輯來判斷什麼時候 f = 0，對 f 取 complement(補數)，原本 x+y = 0 會變成 1 ，再由正邏輯來判斷就可以得知何時 f = 0 。
  
  DeMorgan's Law -> 如何快速得到函數的補數
  
  
  法則就是，把補數的符號分配給函數內部的變數，並且轉換裡面的 operators(AND->OR)

• Duality(對偶)

  
  變數不需要補數，可以降低簡化難度
  
  回過頭看，這兩個表格個別是彼此的對偶。

More Multiplying Out and Factoring

x(y+z) = xy + xz (背)
x+ yz = (x+y)(x+z) (背)
(x+y)(x'+z) = xz + yx' (背)
example 第二題: ABC 可以再拿掉

©證明 : and 一個 (x+x')=1
ab + abc -> 其中 abc 可以直接拿掉
因為 ab(1+c) = ab.
1+c = 1

Exclusive-OR and Equivalence Operations

• Exclusive-OR
  

  
  Exclusive-OR: 排他，我有你就不能有。兩個一樣不行
  X (EOR) Y = xy' + x'y -> 下面板書有解釋如何得到
  要對 (EOR) DeMorgan's Law 時，要先轉換成 AND, OR
  • Exclusive-OR用越多，電路面積就越省

• Equivalence Operations
  

  
  
  
  式子裡面如果有 (EOR), Equivalence Operations 可以先用上面的式子做替換

如何由真值表求得 F
把所有的1 OR 起來
然後對照個別的 x, y 。遇到零的給他補數
例如 x=0, y=1 -> x'y
x=1, y=0 -> xy'
x=1, y=1 -> xy
F = x'y + xy' + xy
-> xy' + y
-> x + y

The Consensus Theorem

Consensus （共識）

此處的證明之前講過了，練習一很重要需要運用 dual form

Simplification of Switching Expression - Techniques

第二個例子說明，可以加一個一樣的邏輯閘幫助化簡。

xy + x'z add yz
x add xy
(x+x')

Example: 可以發現 x, x' 使用 The Consensus Theorem
加 wz' 是為了刪掉 wy'z'

Simplification of Switching Expression - Combining All

這個題型用很多 The Consensus Theorem

(A+C)(A+B+C) = (A+C) (背)

Proving the Validity of Equation