Try   HackMD

Lineární algebra 2 - společná sada DÚ č. 3

1.

Postup:

  1. Z původní matice vyjádřím vlastní čísla (
    →     čísla na diagonále matice
    D    ).
  2. Z vlastních čísel a původní matice vypočítám vlastní vektory; ty budou sloupci matice
    S
  3. Matici
    S−1     vypočítám pomocí Gaussovy-Jordanovy metody. Nelze-li matici
    S     invertovat, pak vlastní vektory jsou lineárně závislé a matici diagonalizovat nelze.

Matice A:

A=(0−3−3−4−7−761212)
Charakteristický polynom:
|0−λ−3−3−4−7−λ−761212−λ|=−λ3+5λ2−6λ=−λ(λ2−5λ+6)
Vlastní čísla jsou
0;2;3.

Vlastní vektory:

λ1=0:Ker(0−3−3−4−7−761212)=Ker(122011477)=Ker(100011000)=span{(0;1;1)T}
v1=(0;1;1)T

λ2=2:Ker(−2−3−3−4−9−761210)=Ker(2330−3−1031)=Ker(101031000)=span{(−1;−13;1)T}
v2=(−1;−131)T

λ3=3:Ker(−3−3−3−4−10−76129)=Ker(111063063)=Ker(111021000)=span{(−12;−12;1)T}
v3=(−12;−12;1)T

D=(000020003)
S=(011−1−131−12−121)

S|I=(011|100−1−131|010−12−121|001)

S−1=(−1−32−3−3−3466)

A=(011−1−131−12−121)(000020003)(−1−32−3−3−3466)

Matice B:

A=(−11−1−1)
Charakteristický polynom:
|−1−λ1−1−1−λ|=−λ2+2λ+2
Vlastní čísla jsou
−1−i,−1+i.

Vlastní vektory:

λ1=−1−i:Ker(i1−1i)=Ker(−1i−1i)=(1−i00)=span{(i;1)T}
v1=(i;1)T

λ2=−1+i:Ker(−i1−1−i)=Ker(1i−1−i)=(1i00)=span{(−i;1)T}
v2=(−i;1)T

D=(−1−i00−1+i)
S=(i−i11)

S−1 spočítám pomocí vzorce pro adj. matici:
S−1=1(i∗1)−(−i∗1)∗(1i−1i)=12i(1i−1i)=−12i(1i−1i)=(−i212i212)

B=(i−i11)(−1−i00−1+i)(−i212i212)

2.

Vyjdu z rovnosti 10.25:

A∼B⟺A=SBS−1⟺AS=SB.

A∼B⟹A2∼B2:

A2V⟹VB2.
Upravím:
AS=SB
AAS=ASB
A2S=SBB
A2S=SB2

Matice

A2 a
B2 jsou si podobné skrz stejnou matici jako
A a
B - tvrzení platí.

A2∼B2⟹A∼B:

Toto neplatí z toho důvodu, že druhá odmocnina matice nemusí být určena jednoznačně. Příkladem může být matice

A2=B2=(200030009) (matice jsou si podobné přes jednotkovou matici).
Nicméně mohu stanovit
A=(2000−30003) a
B=(−2000−3000−3). Jelikož obě jsou diagonální matice, je ihned vidět, že mají různá vlastní čísla. To je v rozporu s tvrzením 10.27.

3.

Matice

A i
AT mají stejný determinant, a tedy i stejná vlastní čísla (dokázal jsem v předchozí sadě). Mohu je tak převést na stejnou diagonální matici:
A=SDS−1,AT=PDP−1, kde
S,P jsou matice s vlastními vektory jednotlivých matic
A,AT
Přepíšu
D=S−1AS a dostávám
AT=PS−1ASP−1, z čehož je vidět podobnost mezi maticemi
AT a
A (přes matici
P∗S−1).

4.

Opět vyjdu z předpokladu, že existuje regulární matice

S∈Rnxn, kde
A=SBS−1.
A=SBS−1
AS=SBI
AS−SB=0⟹X=S

Matice

X tak bude vždy existovat, přičemž vždy bude regulární.

Last changed by 
 
Daar543
0
94

Read more

ADS úlohy E - podobne

Nejprve je potřeba si rozmyslet, zda přidání dalšího prvku na konec posloupnosti ovlivní dosavadní posloupnosti: Budu-li postupovat v posloupnosti od konce do začátku, mohu najít první číslo, jehož rozdíl s posledním číslem přesáhne toleranci ($k$). Pro další výpočty pak mi stačí uvažovat pouze úsek napravo od tohoto čísla. Zároveň je však potřeba si uvědomit, že i předposlední číslo již vyhradilo jakýsi úsek, ve kterém má smysl zkoumat podposloupnosti - budu se tak zabývat kratším z těchto úseků. Nyní vezmu následující situaci: mám posloupnost $P$ s finálním prvkem $P_{n+1}$, pro nějž je zarážka na pozici $s_1$. Jelikož se jedná o první zarážku, celá posloupnost od $0$ do $n$ je platná a tuto posloupnost nelze rozšířit zleva ani zprava. Označím tak $t_0=n$ a $s_0=0$, což znamená, že podposloupnost má délku $t_0 - s_0$. Dále, mezi $P_{s+1}$ a $P_{n+1}$ nevznikla žádná zarážka, a tak mohu postup opakovat (jako bych opět počítal od nuly), dokud nevznikne další zarážka.

Jun 18, 2020
ADS úlohy E - Matsoucin

Vím-li, jak efektivně uzávorkovat $n$ matic, pomůže mi to k tomu, abych věděl, jak uzávorkovat $n+1$ matic? Příklad: součin délky 4+1: $ABCDE=(ABCD)(E)=(ABC)(DE)=(AB)(CDE)=(A)(BCDE)$ Z něj je vidět, že nemohu postupovat tak, že zjistím uzávorkování pro první matice, přidám k nim další a pak provedu triviální výpočet. Musím postupovat slučováním - nejprve zjistím složitost pro všechny součiny délky 2, pak délky 3... Dále je vidět, že pro hledání složitosti násobení $n+1$ matic musím provést $n+1$ porovnání pro danou posloupnost. Vytvořím si tak následující tabulku: $\begin{pmatrix}A & B & C & D & E \ AB & BC & CD & DE \ ABC & BCD & CDE \ ABCD & BCDE \ ABCDE\end{pmatrix}$

Jun 16, 2020
ADS úlohy E - prank

Permutaci čísel zde budu označovat jako řetězec. Je-li na posledních $p$ pozicích řetězce rostoucí posloupnost, pak prvek těsně před touto posloupností se změní až v $p!$-té následující permutaci. Aby se totiž na pozicích od $n-p$ do $n-1$ (indexuji od nuly) změnila posloupnost na klesající, budou se muset vystřídat všechny permutace na těchto pozicích - od lexikograficky první do lexikograficky poslední. Jak toto pomůže při sestavování dané permutace? Příklad (pořadí, řetězec): $0: 123$ $1: 132$ $2: 213$ $3: 231$ $4: 312$

Jun 13, 2020
Lineární algebra 2 DÚ - sada 8

1. 1) Jedná se o zobrazení z $R^1$ do $R$. Linearita násobení: $(\alpha x * y)=(x * \alpha y)=(\alpha x y) = \alpha(x * y)$. Linearita sčítání: $((x+z)y)=(xy+zy)=(xy)+(zy)$ (a obdobně $(x(z+y))$). Matice zobrazení: $\begin{pmatrix} 1 \end{pmatrix}$ 2) Linearita násobení: Násobení $\alpha x$ (nebo $\alpha y$) vynásobí $\alpha$ každou složku vektoru $x$. Tím pádem $a(\alpha x,y)= \alpha x_1 y_1 + 2 \alpha x_2 y_1 + 3 \alpha x_2 y_2 = \alpha(x_1 y_1 + 2x_2 y_1 + 3 x_2 y_2) = \alpha a (x,y)$. Tentýž výsledek produkuje i $a(x,\alpha y)$, jelikož násobení je komutativní.

Jun 5, 2020
Read more from Daar543
Published on HackMD