# Lineární algebra 2 - společná sada DÚ č. 2

## 1)

1. Charakteristický polynom matice ($A$) vypočítám jako $det (A-\lambda I_n)$ - tvrzení 10.7. Determinanty budu počítat podle definice (příklad 9.2).
2. Vlastní čísla jsou kořeny tohoto polynomu ($det (A-\lambda I_n) = 0$) - věta 10.3.1.
3. Vlastní vektor je jádro matice ($A-\lambda I_n$) pro jednotlivá vlastní čísla $\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3...$ s výjimkou nulového vektoru - věta 10.3.2.

### Matice A

1. $det(A-\lambda I_n)=\begin{vmatrix}4-\lambda & -3 \\ -6 & 1-\lambda \end{vmatrix}=(4-\lambda)*(1-\lambda)-(-6)*(-3)=4-5\lambda+\lambda^2-18=$$=\lambda^2-5\lambda-14$
2. $\lambda^2-5\lambda-14 = 0$;$\lambda_1 = -2, \lambda_2 = 7;$ vlastní čísla jsou $-2$ a $7$
3. $Ker(A-\lambda I_n)=0$
1. Pro $\lambda = -2$: $A+2I=\begin{bmatrix}6 & -3 \\ -6 & 3 \end{bmatrix}$~$\begin{bmatrix}2 & -1 \\ 0&0 \end{bmatrix}$. Označím-li volnou proměnnou $t$, pak řešením soustavy rovnic popsané touto maticí je vektor $(t;2t)^T$, tzn. charakteristický vektor je $(1;2)^T$.
2. Pro $\lambda = 7$: $A-7I=\begin{bmatrix}-3 & -3 \\ -6 & -6 \end{bmatrix}$~$\begin{bmatrix}1 & 1 \\ 0&0 \end{bmatrix}$. Označím-li volnou proměnnou $t$, pak řešením soustavy rovnic popsané touto maticí je vektor $(t;t)^T$, tzn. charakteristický vektor je $(1;1)^T$.

### Matice B

1. $det(B-\lambda I_n)=\begin{vmatrix}2-\lambda & -1 \\ -1 & 2-\lambda \end{vmatrix}=(2-\lambda)*(2-\lambda)-(1)*(-1)=4-4\lambda+\lambda^2+1=$$=\lambda^2-4\lambda+5$
2. $\lambda^2-4\lambda+5=0$; $\lambda_1 = 2+i, \lambda_2 = 2-i;$ vlastní čísla jsou $2+i$ a $2-i$
3. $Ker(B-\lambda I_n)=0$
1. Pro $\lambda = 2+i$: $B-(2+i)I=\begin{bmatrix}-i & -1 \\ 1 & -i \end{bmatrix}$~$\begin{bmatrix}-i^2 & -i \\ 1&-i \end{bmatrix}$~$\begin{bmatrix}1 & -i \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$. Označím-li volnou proměnnou $t$, pak řešením soustavy rovnic popsané touto maticí je vektor $(0;t)^T$ pro reálnou část a $(t;0)^T$ pro imaginární část, tzn. charakteristický vektor je $(i;1)^T$.
1. Pro $\lambda = 2-i$: $B-(2-i)I=\begin{bmatrix}i & -1 \\ 1 & i \end{bmatrix}$~$\begin{bmatrix}i^2 & -i \\ 1&i \end{bmatrix}$~$\begin{bmatrix}1 & i \\ 1&i \end{bmatrix}$~$\begin{bmatrix}1 & i \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$. Označím-li volnou proměnnou $t$, pak řešením soustavy rovnic popsané touto maticí je vektor $(0,-t)^T$ pro reálnou část a $(t,0)^T$ pro imaginární část, tzn. charakteristický vektor je $(i,-1)^T$.

### Matice C

1. $det(C-\lambda I_n)=\begin{vmatrix}1-\lambda & 1 & 0 \\ 1 & 1-\lambda & 0 \\ 0 & 0 & 0-\lambda \end{vmatrix}=(1-\lambda)*(1-\lambda)*(-\lambda)-(1)*(1)*(-\lambda)$(ostatní sčítance obsahují nulu v součinu)$=(\lambda^2-2\lambda+1)*(-\lambda)+\lambda=-\lambda^3+2\lambda^2$
2. $-\lambda^3+2\lambda^2 = 0$;$\lambda_1=\lambda_2 = -0, \lambda_3 = 2;$ vlastní čísla jsou $0$(dvojnásobné) a $2$.
3. $Ker(C-\lambda I_n)=0$
1. Pro $\lambda = 0$: $C-0I=\begin{bmatrix}1&1&0\\1&1&0\\0&0&0\end{bmatrix}$~$\begin{bmatrix}1&1&0\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}$. Označím-li volné proměnné $s,t$, pak řešením soustavy rovnic popsané touto maticí je vektor $(-t,t,s)^T$, tzn. charakteristické vektory jsou $(-1,1,0)^T$ a $(0,0,1)^T$.
2. Pro $\lambda = 2$: $C-2I=\begin{bmatrix}-1&1&0\\1&-1&0\\0&0&-2\end{bmatrix}$~$\begin{bmatrix}-1&1&0\\0&0&-2\\0&0&0\end{bmatrix}$. Označím-li volnou proměnnou $t$, pak řešením soustavy rovnic popsané touto maticí je vektor $(t,t,0)^T$, tzn. charakteristický vektor je $(1,1,0)^T$.

## 2)

Podle věty 10.3.1 stačí spočítat rovnici $det(A-\lambda I_n)=0$, přičemž za $\lambda$ dosadím vlastní číslo $3$ (dle zadání).

$\begin{bmatrix}0-3&-4&-4\\4&9-3&a\\-2&-3&0-3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-3&-4&-4\\4&6&a\\-2&-3&-3\end{bmatrix}$.

Jelikož je však determinant nulový právě tehdy, když je matice singulární, stačí dosadit $a$ tak, aby řádky matice byly lineárně závislé. Po dosazení $a=6$ je druhý řádek $-2$-násobkem třetího, tzn. dostávám lineární závislost řádků s koeficienty $0,1,-2$.

Řešením je tak $a=6$.

## 3)
Nejprve budu předpokládat matici s reálnými vlastními čísly.
Aby byla matice $A$ regulární, nesmí být její vlastní číslo rovno $0$ (tvrzení 10.13.1). Dále využiju toho, jak se změní vlastní čísla matice, přičtu-li k matici $A$ matici $\beta I_n$. (tvrzení 10.13.4).
Důkaz:
Chci převést matici $A+\beta I_n$ na matici $A-\lambda I_n$ pomocí vlastního čísla $\lambda '$. Dostávám tak následující: $A+\beta I_n-\lambda 'I_n=A-\lambda I_n$. Z toho je vidět, že $\lambda '=\lambda+\beta$. $\square$
Z matice $A$ vyberu $\lambda_{min}$ jako nejmenší vlastní číslo. Aby výsledná matice byla regulární, pak $\beta+\lambda_{min} \neq 0$. Má-li toto být splněno pro každé $\beta>\alpha$, pak $\beta + \lambda_{min}>0 \iff \alpha + \lambda_{min} = 0 \iff \alpha = -\lambda_{min}$.
Zbývá dodat, že bude-li nejmenší vlastní číslo větší než $0$, pak toto bude platit i pro všechna ostatní vlastní čísla (tranzitivita uspořádání).
Nejsou-li vlastní čísla reálná, pak přičtením $\beta \in \mathbb R$ nemohou nabývat nulové hodnoty, tedy nemusím je uvažovat.

Řešení: $\alpha=-\lambda_{min}$, kde $\lambda_{min}$ je nejmenší reálné vlastní číslo matice $A$. Nemá-li matice žádná reálná vlastní čísla, pak $\alpha = -\infty$(rsp. úloha nemá řešení).

## 4)

Nejprve dokážu ostatní tvrzení z části 10.13.

10.13.3:

Platí, že $Ax=\lambda I_n x$. Tzn. $A^2x=AAx=A\lambda I_n x=\lambda I_n \lambda I_n x = \lambda ^2 I_n x=(\lambda ^2) I_n x$.

10.13.4:

Platí, že $Ax=\lambda I_n x$. Tzn. $\alpha Ax =\alpha \lambda I_n x= (\alpha \lambda) I_n x$.

10.13.6:

Platí, že $det(A)=det(A^T)$. Obě matice mají totožné prvky na diagonále, a tak $det(A-\lambda I_n)=det(A^T-\lambda I_n)=det(A-\lambda I_n)^T$. Tyto charakteristické polynomy jsou stejné, a tak jsou stejná i vlastní čísla.

$\square$

Výpočet probíhá následovně: Má-li matice $A$ vlastní číslo $\lambda$, pak matice $(-A^2+5I_3)^{-1}$ bude mít vlastní číslo $1/(-\lambda^2+5)$.

To dává následující vlastní čísla:

$\lambda_1 = 1/4$
$\lambda_2 = 1$
$\lambda_3 = -1/20$

Podle tvrzení 10.12 je pak determinant roven součinu vlastních čísel a stopa součtu vlastních čísel.

Řešení: Determinant finální matice je roven $-1/80$ a stopa je rovna $6/5$.