Lineární algebra 2 - společná sada DÚ č. 2

1)

1. Charakteristický polynom matice (
   $A$) vypočítám jako
   $det(A-\lambda I_n)$ - tvrzení 10.7. Determinanty budu počítat podle definice (příklad 9.2).
2. Vlastní čísla jsou kořeny tohoto polynomu (
   $det(A-\lambda I_n)=0$) - věta 10.3.1.
3. Vlastní vektor je jádro matice (
   $A-\lambda I_n$) pro jednotlivá vlastní čísla
   ${\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3...$ s výjimkou nulového vektoru - věta 10.3.2.

Matice A

1. $det(A-\lambda I_n)=\left|\begin{array}{cc}4-\lambda & -3\\ -6& 1-\lambda \end{array}\right|=(4-\lambda )\ast (1-\lambda )-(-6)\ast (-3)=4-5\lambda +{\lambda }^2-18=$
   $={\lambda }^2-5\lambda -14$
2. ${\lambda }^2-5\lambda -14=0$;
   ${\lambda }_1=-2,{\lambda }_2=7;$ vlastní čísla jsou
   $-2$ a
   $7$
3. $Ker(A-\lambda I_n)=0$
   1. Pro
      $\lambda =-2$:
      $A+2I=\left[\begin{array}{cc}6& -3\\ -6& 3\end{array}\right]$~
      $\left[\begin{array}{cc}2& -1\\ 0& 0\end{array}\right]$. Označím-li volnou proměnnou
      $t$, pak řešením soustavy rovnic popsané touto maticí je vektor
      $(t;2t{)}^T$, tzn. charakteristický vektor je
      $(1;2{)}^T$.
   2. Pro
      $\lambda =7$:
      $A-7I=\left[\begin{array}{cc}-3& -3\\ -6& -6\end{array}\right]$~
      $\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 0\end{array}\right]$. Označím-li volnou proměnnou
      $t$, pak řešením soustavy rovnic popsané touto maticí je vektor
      $(t;t{)}^T$, tzn. charakteristický vektor je
      $(1;1{)}^T$.

Matice B

1. $det(B-\lambda I_n)=\left|\begin{array}{cc}2-\lambda & -1\\ -1& 2-\lambda \end{array}\right|=(2-\lambda )\ast (2-\lambda )-(1)\ast (-1)=4-4\lambda +{\lambda }^2+1=$
   $={\lambda }^2-4\lambda +5$
2. ${\lambda }^2-4\lambda +5=0$;
   ${\lambda }_1=2+i,{\lambda }_2=2-i;$ vlastní čísla jsou
   $2+i$ a
   $2-i$
3. $Ker(B-\lambda I_n)=0$
   1. Pro
      $\lambda =2+i$:
      $B-(2+i)I=\left[\begin{array}{cc}-i& -1\\ 1& -i\end{array}\right]$~
      $\left[\begin{array}{cc}-i^2& -i\\ 1& -i\end{array}\right]$~
      $\left[\begin{array}{cc}1& -i\\ 0& 0\end{array}\right]$. Označím-li volnou proměnnou
      $t$, pak řešením soustavy rovnic popsané touto maticí je vektor
      $(0;t{)}^T$ pro reálnou část a
      $(t;0{)}^T$ pro imaginární část, tzn. charakteristický vektor je
      $(i;1{)}^T$.
   2. Pro
      $\lambda =2-i$:
      $B-(2-i)I=\left[\begin{array}{cc}i& -1\\ 1& i\end{array}\right]$~
      $\left[\begin{array}{cc}{i}^2& -i\\ 1& i\end{array}\right]$~
      $\left[\begin{array}{cc}1& i\\ 1& i\end{array}\right]$~
      $\left[\begin{array}{cc}1& i\\ 0& 0\end{array}\right]$. Označím-li volnou proměnnou
      $t$, pak řešením soustavy rovnic popsané touto maticí je vektor
      $(0,-t{)}^T$ pro reálnou část a
      $(t,0{)}^T$ pro imaginární část, tzn. charakteristický vektor je
      $(i,-1{)}^T$.

Matice C

1. $det(C-\lambda I_n)=\left|\begin{array}{ccc}1-\lambda & 1& 0\\ 1& 1-\lambda & 0\\ 0& 0& 0-\lambda \end{array}\right|=(1-\lambda )\ast (1-\lambda )\ast (-\lambda )-(1)\ast (1)\ast (-\lambda )$(ostatní sčítance obsahují nulu v součinu)
   $=({\lambda }^2-2\lambda +1)\ast (-\lambda )+\lambda =-{\lambda }^3+2{\lambda }^2$
2. $-{\lambda }^3+2{\lambda }^2=0$;
   ${\lambda }_1={\lambda }_2=-0,{\lambda }_3=2;$ vlastní čísla jsou
   $0$(dvojnásobné) a
   $2$.
3. $Ker(C-\lambda I_n)=0$
   1. Pro
      $\lambda =0$:
      $C-0I=\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 1& 1& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]$~
      $\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]$. Označím-li volné proměnné
      $s,t$, pak řešením soustavy rovnic popsané touto maticí je vektor
      $(-t,t,s{)}^T$, tzn. charakteristické vektory jsou
      $(-1,1,0{)}^T$ a
      $(0,0,1{)}^T$.
   2. Pro
      $\lambda =2$:
      $C-2I=\left[\begin{array}{ccc}-1& 1& 0\\ 1& -1& 0\\ 0& 0& -2\end{array}\right]$~
      $\left[\begin{array}{ccc}-1& 1& 0\\ 0& 0& -2\\ 0& 0& 0\end{array}\right]$. Označím-li volnou proměnnou
      $t$, pak řešením soustavy rovnic popsané touto maticí je vektor
      $(t,t,0{)}^T$, tzn. charakteristický vektor je
      $(1,1,0{)}^T$.

2)

Podle věty 10.3.1 stačí spočítat rovnici

$det(A-\lambda I_n)=0$, přičemž za

$\lambda$ dosadím vlastní číslo

$3$ (dle zadání).

$\left[\begin{array}{ccc}0-3& -4& -4\\ 4& 9-3& a\\ -2& -3& 0-3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}-3& -4& -4\\ 4& 6& a\\ -2& -3& -3\end{array}\right]$.

Jelikož je však determinant nulový právě tehdy, když je matice singulární, stačí dosadit

$a$ tak, aby řádky matice byly lineárně závislé. Po dosazení

$a=6$ je druhý řádek

$-2$-násobkem třetího, tzn. dostávám lineární závislost řádků s koeficienty

$0,1,-2$.

Řešením je tak

$a=6$.

3)

Nejprve budu předpokládat matici s reálnými vlastními čísly.
Aby byla matice

$A$ regulární, nesmí být její vlastní číslo rovno

$0$ (tvrzení 10.13.1). Dále využiju toho, jak se změní vlastní čísla matice, přičtu-li k matici

$A$ matici

$\beta I_n$. (tvrzení 10.13.4).
Důkaz:
Chci převést matici

$A+\beta I_n$ na matici

$A-\lambda I_n$ pomocí vlastního čísla

${\lambda }^{\prime }$. Dostávám tak následující:

$A+\beta I_n-{\lambda }^{\prime }{I}_n=A-\lambda I_n$. Z toho je vidět, že

${\lambda }^{\prime }=\lambda +\beta$.

$◻$
Z matice

$A$ vyberu

${\lambda }_{min}$ jako nejmenší vlastní číslo. Aby výsledná matice byla regulární, pak

$\beta +{\lambda }_{min}\ne 0$. Má-li toto být splněno pro každé

$\beta >\alpha$, pak

$\beta +{\lambda }_{min}>0⟺\alpha +{\lambda }_{min}=0⟺\alpha =-{\lambda }_{min}$.
Zbývá dodat, že bude-li nejmenší vlastní číslo větší než

$0$, pak toto bude platit i pro všechna ostatní vlastní čísla (tranzitivita uspořádání).
Nejsou-li vlastní čísla reálná, pak přičtením

$\beta \in \mathbb{R}$ nemohou nabývat nulové hodnoty, tedy nemusím je uvažovat.

Řešení:

$\alpha =-{\lambda }_{min}$, kde

${\lambda }_{min}$ je nejmenší reálné vlastní číslo matice

$A$. Nemá-li matice žádná reálná vlastní čísla, pak

$\alpha =-\mathrm{\infty }$(rsp. úloha nemá řešení).

4)

Nejprve dokážu ostatní tvrzení z části 10.13.

10.13.3:

Platí, že

$Ax=\lambda I_{n}x$. Tzn.

$A^{2}x=AAx=A\lambda I_{n}x=\lambda I_n\lambda I_{n}x={\lambda }^2{I}_{n}x=({\lambda }^2)I_{n}x$.

10.13.4:

Platí, že

$Ax=\lambda I_{n}x$. Tzn.

$\alpha Ax=\alpha \lambda I_{n}x=(\alpha \lambda )I_{n}x$.

10.13.6:

Platí, že

$det(A)=det(A^T)$. Obě matice mají totožné prvky na diagonále, a tak

$det(A-\lambda I_n)=det(A^T-\lambda I_n)=det(A-\lambda I_n{)}^T$. Tyto charakteristické polynomy jsou stejné, a tak jsou stejná i vlastní čísla.

$◻$

Výpočet probíhá následovně: Má-li matice

$A$ vlastní číslo

$\lambda$, pak matice

$(-A^2+5I_3{)}^{-1}$ bude mít vlastní číslo

$1/(-{\lambda }^2+5)$.

To dává následující vlastní čísla:

${\lambda }_1=1/4$

${\lambda }_2=1$

${\lambda }_3=-1/20$

Podle tvrzení 10.12 je pak determinant roven součinu vlastních čísel a stopa součtu vlastních čísel.

Řešení: Determinant finální matice je roven

$-1/80$ a stopa je rovna

$6/5$.