# Matematická analýza - DÚ do 29.5.

František Mrkus

## 1.


Plocha mezi dvěma křivkami je rovna (Newtonovu) integrálu rozdílu těchto křivek. Meze integrálu odpovídají bodům, ve kterých je funkční hodnota obou funkcí rovná.

První křivka je spojením dvou funkcí: $y=\sqrt x$ a $y=-\sqrt x$.

Spočítám nejprve rovnice pro průsečíky těchto funkcí:
$\sqrt x = x-2$
$x = x^2-4x+4$
$x^2-4x+4=0$
$(x-4)(x-1)=0$

Rovnice $\sqrt x = x-2$ má řešení $x=4$; rovnice $-\sqrt x = x-2$ má řešení $x=1$ Nakonec rovnice $\sqrt x = -\sqrt x$ má řešení $x=0$.

Graf jsem si ještě rozdělil přímkou $x = 1$ a počítám následující integrály:

$\int_1^4 (\sqrt{x}-(x-2)) \,dx=[\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}-\frac{x^2}{2}+2x]_1^4=[\frac{2}{3}(8)-8+8]-[\frac{2}{3}(1)-\frac{1}{2}+2]=\frac{16}{3}-\frac{6,5}{3}=\frac{19}{6}$ (pravá část)

$\int_0^1(\sqrt{x}-(-\sqrt{x}))\,dx=\int_0^1(2\sqrt{x})\,dx=[\frac{4}{3}x^{\frac{3}{2}}]_0^1=\frac{4}{3}$ (levá část)

Dohromady je plocha rovna $\frac{19}{6}+\frac{4}{3}=\frac{9}{2}$ (jednotek čtverečních).

## 2.


"Osa x" je funkce $y=0$. Pravá hranice integrálu je hranice je průsečík $\ln x$ a osy $x$.
$\ln x = 0 \implies x=1$

Plocha je tak rovna $\int_1^e(\ln x -0) \,dx=[x \ln x - x ]_1^e=(e \ln e - e)-(1 \ln 1 - 1)=0+1=1$ (jednotka čtvereční).

## 3.

Meze jsem spočítal a mám i graf funkce, takže stačí dosadit do vzorce (13. přednáška) $V=\int_a^b (f(t^2))\,dt$:

$V = \pi \int_1^e(\ln(x)^2)\,dx$

Integrací per partes:
$f = \ln(t)^2, f'=\frac{2 \ln t}{t}$
$g = t, g'=1$

$=\pi ([t \ln (t)^2]_1^e-\int_1^e 2 \ln t)=\pi [t \ln (t)^2-(2t \ln t - 2t)]_1^e=\pi ((e - 2e + 2e)-(2))=\pi(e-2)$ (jednotek krychlových)

## 4.


Z obrázku je patrné, že meze integrálu jsou $0$ a $v$. Útvar bude omezen přímkou - ta má tvar $y=ax+b$, přičemž $b=R$ (při dosazení $y=R, x=0$ a $a=\frac{r-R}{v}$(při dosazení $y=r, x=v$)).

Objem tak je určen následujícím vzorcem: $V=\pi \int_0^v (\frac{r-R}{v}x+R)^2 \,dx$

$=\pi \int_0^v x^2\frac{R^2-2Rr+r^2}{v^2}+2Rx\frac{r-R}{v}+R^2 \,dx$
$=\pi [x^3\frac{R^2-2Rr+r^2}{3v^2}+Rx^2\frac{r-R}{v}+R^2x]_0^v$...
Jelikož je spodní mez 0, mohu dosadit $v$ za $x$ bez komplikovaného odečítání.
...$=\pi(\frac{vR^2-2Rrv+r^2v}{3}+Rrv-R^2v+R^2v)=\pi(\frac{vR^2-2Rrv+3Rrv+r^2v}{3})=\pi v \frac{R^2+Rr+r^2}{3}=\frac{\pi v}{3}(R^2+Rr+r^2)$.