Matematická analýza - DÚ do 29.5.

František Mrkus

1.

Plocha mezi dvěma křivkami je rovna (Newtonovu) integrálu rozdílu těchto křivek. Meze integrálu odpovídají bodům, ve kterých je funkční hodnota obou funkcí rovná.

První křivka je spojením dvou funkcí:

$y=\sqrt{x}$ a

$y=-\sqrt{x}$.

Spočítám nejprve rovnice pro průsečíky těchto funkcí:

$\sqrt{x}=x-2$

$x=x^2-4x+4$

$x^2-4x+4=0$

$(x-4)(x-1)=0$

Rovnice

$\sqrt{x}=x-2$ má řešení

$x=4$; rovnice

$-\sqrt{x}=x-2$ má řešení

$x=1$ Nakonec rovnice

$\sqrt{x}=-\sqrt{x}$ má řešení

$x=0$.

Graf jsem si ještě rozdělil přímkou

$x=1$ a počítám následující integrály:

${\int }_1^4(\sqrt{x}-(x-2))dx=[\frac{2}{3}{x}^{\frac{3}{2}}-\frac{x^2}{2}+2x{]}_1^4=[\frac{2}{3}(8)-8+8]-[\frac{2}{3}(1)-\frac{1}{2}+2]=\frac{16}{3}-\frac{6,5}{3}=\frac{19}{6}$ (pravá část)

${\int }_0^1(\sqrt{x}-(-\sqrt{x}))dx={\int }_0^1(2\sqrt{x})dx=[\frac{4}{3}{x}^{\frac{3}{2}}{]}_0^1=\frac{4}{3}$ (levá část)

Dohromady je plocha rovna

$\frac{19}{6}+\frac{4}{3}=\frac{9}{2}$ (jednotek čtverečních).

2.

"Osa x" je funkce

$y=0$. Pravá hranice integrálu je hranice je průsečík

$\ln x$ a osy

$x$.

$\ln x=0⟹x=1$

Plocha je tak rovna

${\int }_1^e(\ln x-0)dx=[x\ln x-x{]}_1^e=(e\ln e-e)-(1\ln 1-1)=0+1=1$ (jednotka čtvereční).

3.

Meze jsem spočítal a mám i graf funkce, takže stačí dosadit do vzorce (13. přednáška)

$V={\int }_a^b(f(t^2))dt$:

$V=\pi {\int }_1^e(\ln (x{)}^2)dx$

Integrací per partes:

$f=\ln (t{)}^2,f^{\prime }=\frac{2\ln t}{t}$

$g=t,g^{\prime }=1$

$=\pi ([t\ln (t{)}^2{]}_1^e-{\int }_1^{e}2\ln t)=\pi [t\ln (t{)}^2-(2t\ln t-2t){]}_1^e=\pi ((e-2e+2e)-(2))=\pi (e-2)$ (jednotek krychlových)

4.

Z obrázku je patrné, že meze integrálu jsou

$0$ a

$v$. Útvar bude omezen přímkou - ta má tvar

$y=ax+b$, přičemž

$b=R$ (při dosazení

$y=R,x=0$ a

$a=\frac{r-R}{v}$(při dosazení

$y=r,x=v$)).

Objem tak je určen následujícím vzorcem:

$V=\pi {\int }_0^v(\frac{r-R}{v}x+R{)}^{2}dx$

$=\pi {\int }_0^v{x}^2\frac{R^2-2Rr+r^2}{v^2}+2Rx\frac{r-R}{v}+R^{2}dx$

$=\pi [x^3\frac{R^2-2Rr+r^2}{3v^2}+R{x}^2\frac{r-R}{v}+R^{2}x{]}_0^v$…
Jelikož je spodní mez 0, mohu dosadit

$v$ za

$x$ bez komplikovaného odečítání.
…

$=\pi (\frac{v{R}^2-2Rrv+r^{2}v}{3}+Rrv-R^{2}v+R^{2}v)=\pi (\frac{v{R}^2-2Rrv+3Rrv+r^{2}v}{3})=\pi v\frac{R^2+Rr+r^2}{3}=\frac{\pi v}{3}(R^2+Rr+r^2)$.