# 正交座標系的微分算符

微分算符 (differential operator) 是定義為微分運算之函數的算子，可以對任意的函數進行運算得到相應的純量、向量函數。

## 長度微小量

在直角座標系下，長度的微小量：
$d\vec{\ell}=dx\hat{i}+dy\hat{j}+dz\hat{k}$

我們再看兩個例子

柱座標：
$d\vec{\ell}=dr\hat{r}+rd\phi\hat{\phi}+dz\hat{z}$

球座標：
$d\vec{\ell}=dr\hat{r}+rd\theta\hat{\theta}+r\sin{\theta}d\phi\hat{\phi}$

### 他們有什麼共通點?

觀察上面三個例子，我們可以發現微小量皆可以表示成以下形式：
$d\vec{\ell}=h_1du_1\hat{u}_1+h_2du_2\hat{u}_2+h_3du_3\hat{u}_3$

事實上，只要座標為「正交座標 (Orthogonal coordinate)」，也就是說 $\hat{u}_1,\hat{u}_2,\hat{u}_3$ 互相垂直，或可以寫成 $\hat{u}_1\times\hat{u}_2=\hat{u}_3$ 者，微小量都可以表示成上式。

## 梯度

梯度在直角坐標系下定義為：

$\nabla f=\frac{\partial f}{\partial x}\hat{i}+\frac{\partial f}{\partial y}\hat{j}+\frac{\partial f}{\partial z}\hat{k}$

在一般正交坐標系下，梯度可寫為：

$\nabla f=\frac{\partial f}{h_1\partial u_1}\hat{u}_1+\frac{\partial f}{h_2\partial u_2}\hat{u}_2+\frac{\partial f}{h_3\partial u_3}\hat{u}_3$

### 證明

假設 $\nabla f=g_1\hat{u}_1+g_2\hat{u}_2+g_3\hat{u}_3$

我們知道 $df=\nabla f\cdot d\vec{\ell}$

$\Rightarrow df=g_1h_1du_1+g_2h_2du_2+g_3h_3du_3 -(1)$

由全微分：$df=\frac{\partial f}{\partial u_1}du_1+\frac{\partial f}{\partial u_2}du_2+\frac{\partial f}{\partial u_3}du_3 -(2)$

由(1)(2)相等，我們可以得出 $g_i=\frac{1}{h_i}\frac{\partial f}{\partial u_i}$

故 $\nabla f=\frac{\partial f}{h_1\partial u_1}\hat{u}_1+\frac{\partial f}{h_2\partial u_2}\hat{u}_2+\frac{\partial f}{h_3\partial u_3}\hat{u}_3$

得證，Q.E.D.

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由上式，我們可以輕易的推出柱座標、球座標下的梯度：

柱座標：$\nabla f=\frac{\partial f}{\partial r}\hat{r}+\frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial \phi}\hat{\phi}+\frac{\partial f}{\partial z}\hat{z}$

球座標：$\nabla f={\partial f \over \partial r}{\hat{r}}+{1 \over r}{\partial f \over \partial \theta }{\hat{\theta}}+{1 \over r\sin \theta }{\partial f \over \partial \phi }{\hat{\phi}}$

## 散度

**以下皆定義 $\vec{F}=F_1\hat{i}+F_2\hat{j}+F_3\hat{k}=P\hat{u}_1+Q\hat{u}_2+R\hat{u}_3$**

散度在直角坐標系下定義為：

$\nabla\cdot\vec{F}=\frac{\partial F_1}{\partial x}+\frac{\partial F_2}{\partial y}+\frac{\partial F_3}{\partial z}$

在一般正交坐標系下，散度可寫為：

$\nabla\cdot\vec{F}=\frac{1}{h_1h_2h_3}\left[\frac{\partial}{\partial u_1}(h_2h_3P)+\frac{\partial}{\partial u_2}(h_1h_3Q)+\frac{\partial}{\partial u_3}(h_1h_2R)\right]$

### 證明
取第一項：$\nabla\cdot(P\hat{u}_1)=\nabla\cdot\left[(h_2h_3P)\left(\frac{\hat{u}_1}{h_2h_3}\right)\right]$

應用向量恆等式 $\nabla\cdot(\vec{A}\phi)=\phi\nabla\cdot\vec{A}+\vec{A}\cdot (\nabla \phi )$ 與 $\nabla\cdot(\nabla\phi_1\times\nabla \phi_2)=0$

$\Rightarrow$

## 旋度