正交座標系的微分算符

微分算符 (differential operator) 是定義為微分運算之函數的算子，可以對任意的函數進行運算得到相應的純量、向量函數。

長度微小量

在直角座標系下，長度的微小量：

d \vec{ℓ} = d x \hat{i} + d y \hat{j} + d z \hat{k}

我們再看兩個例子

柱座標：

d \vec{ℓ} = d r \hat{r} + r d ϕ \hat{ϕ} + d z \hat{z}

球座標：

d \vec{ℓ} = d r \hat{r} + r d θ \hat{θ} + r \sin θ d ϕ \hat{ϕ}

觀察上面三個例子，我們可以發現微小量皆可以表示成以下形式：

d \vec{ℓ} = h_{1} d u_{1} {\hat{u}}_{1} + h_{2} d u_{2} {\hat{u}}_{2} + h_{3} d u_{3} {\hat{u}}_{3}

事實上，只要座標為「正交座標 (Orthogonal coordinate)」，也就是說

{\hat{u}}_{1}, {\hat{u}}_{2}, {\hat{u}}_{3}

互相垂直，或可以寫成

{\hat{u}}_{1} \times {\hat{u}}_{2} = {\hat{u}}_{3}

者，微小量都可以表示成上式。

梯度在直角坐標系下定義為：

\nabla f = \frac{\partial f}{\partial x} \hat{i} + \frac{\partial f}{\partial y} \hat{j} + \frac{\partial f}{\partial z} \hat{k}

在一般正交坐標系下，梯度可寫為：

\nabla f = \frac{\partial f}{h_{1} \partial u_{1}} {\hat{u}}_{1} + \frac{\partial f}{h_{2} \partial u_{2}} {\hat{u}}_{2} + \frac{\partial f}{h_{3} \partial u_{3}} {\hat{u}}_{3}

假設

\nabla f = g_{1} {\hat{u}}_{1} + g_{2} {\hat{u}}_{2} + g_{3} {\hat{u}}_{3}

我們知道

d f = \nabla f \cdot d \vec{ℓ}

\Rightarrow d f = g_{1} h_{1} d u_{1} + g_{2} h_{2} d u_{2} + g_{3} h_{3} d u_{3} - (1)

由全微分：

d f = \frac{\partial f}{\partial u_{1}} d u_{1} + \frac{\partial f}{\partial u_{2}} d u_{2} + \frac{\partial f}{\partial u_{3}} d u_{3} - (2)

由(1)(2)相等，我們可以得出

g_{i} = \frac{1}{h_{i}} \frac{\partial f}{\partial u_{i}}

故

\nabla f = \frac{\partial f}{h_{1} \partial u_{1}} {\hat{u}}_{1} + \frac{\partial f}{h_{2} \partial u_{2}} {\hat{u}}_{2} + \frac{\partial f}{h_{3} \partial u_{3}} {\hat{u}}_{3}

得證，Q.E.D.

由上式，我們可以輕易的推出柱座標、球座標下的梯度：

柱座標：

\nabla f = \frac{\partial f}{\partial r} \hat{r} + \frac{1}{r} \frac{\partial f}{\partial ϕ} \hat{ϕ} + \frac{\partial f}{\partial z} \hat{z}

球座標：

\nabla f = \frac{\partial f}{\partial r} \hat{r} + \frac{1}{r} \frac{\partial f}{\partial θ} \hat{θ} + \frac{1}{r \sin θ} \frac{\partial f}{\partial ϕ} \hat{ϕ}

以下皆定義

$\vec{F} = F_{1} \hat{i} + F_{2} \hat{j} + F_{3} \hat{k} = P {\hat{u}}_{1} + Q {\hat{u}}_{2} + R {\hat{u}}_{3}$

散度在直角坐標系下定義為：

\nabla \cdot \vec{F} = \frac{\partial F_{1}}{\partial x} + \frac{\partial F_{2}}{\partial y} + \frac{\partial F_{3}}{\partial z}

在一般正交坐標系下，散度可寫為：

\nabla \cdot \vec{F} = \frac{1}{h_{1} h_{2} h_{3}} [\frac{\partial}{\partial u_{1}} (h_{2} h_{3} P) + \frac{\partial}{\partial u_{2}} (h_{1} h_{3} Q) + \frac{\partial}{\partial u_{3}} (h_{1} h_{2} R)]

取第一項：

\nabla \cdot (P {\hat{u}}_{1}) = \nabla \cdot [(h_{2} h_{3} P) (\frac{{\hat{u}}_{1}}{h_{2} h_{3}})]

應用向量恆等式

\nabla \cdot (\vec{A} ϕ) = ϕ \nabla \cdot \vec{A} + \vec{A} \cdot (\nabla ϕ)

與

\nabla \cdot (\nabla ϕ_{1} \times \nabla ϕ_{2}) = 0

\Rightarrow