手上的數據如果有許多變數，又想快速了解數據之間、變數之間的關係，那麼使用主成分分析可以達到這個效果。

主成分分析（principle component analysis, PCA），使用線性變換中的正交變換（orthogonal transformation）方法，對變數測值做線性變換，投影出線性不相關的變數，稱為主成分（principle components）。我們希望能透過主成分分析，將多個變數用比較少的主成分來解釋（降維），最大化變異數的同時又盡可能最小化流失的訊息。

~~首先建立數據的[變異數—共變異數矩陣（variance-covariance matrix）](https://ccjou.wordpress.com/2014/06/03/%e5%85%b1%e8%ae%8a%e7%95%b0%e6%95%b8%e7%9f%a9%e9%99%a3%e7%9a%84%e6%80%a7%e8%b3%aa/)，之後進行[特徵分解（eigendecomposition）](https://ccjou.wordpress.com/2010/08/23/%E5%8F%AF%E5%B0%8D%E8%A7%92%E5%8C%96%E7%9F%A9%E9%99%A3%E7%9A%84%E8%AD%9C%E5%88%86%E8%A7%A3/)或[奇異值分解（singular value decomposition, SVD）](https://ccjou.wordpress.com/2009/09/01/%E5%A5%87%E7%95%B0%E5%80%BC%E5%88%86%E8%A7%A3-svd/)，最後得到特徵向量（主成分向量的方向）與特徵值（主成分向量的大小），之後就可以選擇數個（通常是 2 至 3 個）主成分將數據視覺化。~~
現在我們可以使用 R 的內建或者特定套件功能來進行主成分分析以及後續的視覺化。

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## 用內建函數做 PCA
R 有兩個內件函數可以用來做主成分分析，分別是 `princomp()` 與 `prcomp()`，兩者有些不同，而目前官方是建議**以 `prcomp()` 函數來做主成分分析**。
- `princomp()` 函數：使用特徵值分解，計算共變異數的分母為$N$。
以下為官方說明：
The calculation is done using `eigen` on the correlation or covariance matrix, as determined by `cor`. This is done for compatibility with the S-PLUS result. **A preferred method of calculation is to use `svd` on `x`, as is done in `prcomp`.**
Note that the default calculation uses divisor $N$ for the covariance matrix.
- `prcomp()` 函數：使用奇異值分解，計算共變異數的分母為$N-1$。
以下為官方說明：
The calculation is done by a singular value decomposition of the (centered and possibly scaled) data matrix, not by using `eigen` on the covariance matrix. This is generally the preferred method for numerical accuracy. The print method for these objects prints the results in a nice format and the `plot` method produces a scree plot.
Unlike princomp, variances are computed with the usual divisor $N-1$.

兩個函數的返回值也不太一樣，[ATHDA 網站](http://www.sthda.com/english/articles/31-principal-component-methods-in-r-practical-guide/118-principal-component-analysis-in-r-prcomp-vs-princomp/)整理出來，這邊簡單譯成中文：

|`prcomp()`|`princomp()`|中文|原文含解釋|
|-|-|-|-|
|sdev|sdev|主成分的標準差|the standard deviations of the principal components|
|rotation|loadings|主成分負荷量|the matrix of variable loadings (columns are eigenvectors)|
|center|center|變數的平均|the variable means (means that were substracted)|
|scale|scale|變數的標準差|the variable standard deviations (the scaling applied to each variable )|
|x|scores|主成分座標|The coordinates of the individuals (observations) on the principal components.|

## 用其他套件做 PCA
除了 R 內建的函數外，也可以使用其他套件的函數來做主成分分析。常用的有多維度分析套件 [amap](https://cran.r-project.org/web/packages/amap/index.html) 的 `pca()`、心理學領域常用套件 [psych](https://cran.r-project.org/web/packages/psych/index.html)中的 `principal()`、生醫領域常結合 DESeq2 套件進行表現量分析流程後續分析與做圖 [PCAtools](https://bioconductor.org/packages/devel/bioc/vignettes/PCAtools/inst/doc/PCAtools.html) 套件中的 `pca()`、多變量統計常用套件 [FactoMiner](https://cran.r-project.org/web/packages/FactoMineR/index.html) 的 `PCA()`，以及生態學領域常用套件 [ade4](https://cran.r-project.org/web/packages/ade4/index.html) 與 [vegan](https://cran.r-project.org/web/packages/vegan/index.html) 中的 `dudi.pca()` 和 `rda()` 函數等等。可以看到在不同研究領域都會用到主成分分析，因此我們可以在許多不同的套件看到相同功能的函數。

因為手邊比較多環境與生態學的資料，因此常用的是 ade4 與 vegan 的 PCA 函數。值得一提的是 vegan 中 `rda()` 函數是用來做冗餘分析（redundancy analysis）的，那為什麼可以用來做 PCA 呢？
在[這篇教學](https://rpubs.com/brouwern/veganpca)中，作者解釋把 `rda()` 的限制性排序（constrained ordination，亦即使用共變數或其他預測條件限制排序軸）參數關掉，就等同於 PCA。
（關於這些排序分析，又可以整理成另外一篇了。）

## 分析做完之後要交代或呈現的
- 資料剔除（culling）或轉換（transformation）方法。
PCA 對於資料正規化（normalization）或其他資料縮放法敏感，所以需要註明。（常用的正規化方法是數據減去平均值，再除以標準差，即 z 分數的算法：$z=\frac{(x-\mu）}{\sigma}$）
- PCA 是依據變異數—共變異數矩陣或者相關矩陣進行分析的。
即 `prcomp()` 函數中 `scale=FALSE` 或者 `scale=TRUE`。
- 呈現每個主成分可解釋的變異數特徵值圖（scree plot，或稱陡坡圖、碎石圖），同時要呈現用以選擇主成分數量的標準（如 eigenvalue 大於 1）。
- 選用的每個主成分負荷量表（table of loadings），需要標示出每個主成分中最重要的負荷量。

本篇簡單列舉幾個在 R 中進行 PCA 與後續視覺化的套件與函數，之後會用一些現實世界的資料做 PCA 與視覺化。
<span style="font-size:30px">🐕‍🦺</span><font color="dcdcdc">2022.11.25</font>