# 校定分析

王博靚、陳首中、蔡承芫、張椿宥、李宸愷

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# 一、報告摘要

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利用課堂所學到之數據分析，解決生活中所遇到之數據問題

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# 二、問題描述

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在繞圈賽題目中，貼合出最符合正確數字之答案

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繞圈賽要完成n圈，每班派3人參加以接力賽的方式進行。每個人的圈數自訂。每人至少都要跑1圈，如何分配可使總共所花的時間最少？

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### 規則

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1. 假設第1個人要跑n圈，他可以1趟跑完，也可以分幾趟完成。但第1個人如果要分2趟跑，就要等所有人跑完第1趟。依此類推。

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2. 如果A第1趟跑第1圈的時間是$t_A$，因為他會越跑越累，因此我們假設他第$k$趟跑第$m$圈這一圈所花的時間是$t_A(1.2)^{(k-1)} (1.1)^{(m-1)}$，這3人如何分配每人的跑步的圈數，讓完成6圈所需的時間最少？

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### 題目

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若A跑一圈需要40秒，B跑一圈需要45秒，C跑一圈需要50秒，3人要合力跑完n圈，這3人如何分配每人跑步的圈數，讓完成n圈的秒數最短?

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# 三、建構數學模式

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<!-- .slide: style="font-size: .7em;" -->

在第一圈跑$t_A$秒時所需的時間

| $趟＼圈$ | 1 | 2 | 3 |
|:--------:|:-------------------:|:-------------------:|:-------------------:|
| 一 | $t_A(1.2)^0(1.1)^0$ | $t_A(1.2)^0(1.1)^1$ | $t_A(1.2)^0(1.1)^2$ |
| 二 | $t_A(1.2)^1(1.1)^0$ | $t_A(1.2)^1(1.1)^1$ | $t_A(1.2)^1(1.1)^2$ |
| 三 | $t_A(1.2)^2(1.1)^0$ | $t_A(1.2)^2(1.1)^1$ | $t_A(1.2)^2(1.1)^2$ |
| 四 | $t_A(1.2)^3(1.1)^0$ | $t_A(1.2)^3(1.1)^1$ | $t_A(1.2)^3(1.1)^2$ |

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以下是三位選手隨著趟數和圈數跑一圈所需花的時間(以四捨五入到小數點後第三位)，以及時間排名。

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<!-- .slide: style="font-size: .7em;" -->

### A選手

| 趟/圈 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|:-----:|:------:|:-------:|:--------:|:--------:|:--------:|
| 1 | 40 | 44 | 48.4 | 53.24 | 58.564 |
| 2 | 48 | 52.8 | 58.08 | 63.888 | 70.2768 |
| 3 | 57.6 | 63.36 | 69.696 | 76.6656 | 84.33216 |
| 4 | 69.12 | 76.032 | 83.6352 | 91.99872 | 101.1986 |
| 5 | 82.944 | 91.2384 | 100.3622 | 110.3985 | 121.4383 |
| 趟/圈 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 1 | 64.4204 | 70.86244 | 77.94868 | 85.74355 | 94.31791 |
| 2 | 77.30448 | 85.03493 | 93.53842 | 102.8923 | 113.1815 |
| 3 | 92.76538 | 102.0419 | 112.2461 | 123.4707 | 135.8178 |
| 4 | 111.3185 | 122.4503 | 134.6953 | 148.1649 | 162.9813 |
| 5 | 133.5821 | 146.9404 | 161.6344 | 177.7978 | 195.5776 |

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<!-- .slide: style="font-size: .7em;" -->

### B選手

| 趟/圈 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|:-----:|:------:|:--------:|:--------:|:--------:|:--------:|
| 1 | 45 | 49.5 | 54.45 | 59.895 | 65.8845 |
| 2 | 54 | 59.4 | 65.34 | 71.874 | 79.0614 |
| 3 | 64.8 | 71.28 | 78.408 | 86.2488 | 94.87368 |
| 4 | 77.76 | 85.536 | 94.0896 | 103.4986 | 113.8484 |
| 5 | 93.312 | 102.6432 | 112.9075 | 124.1983 | 136.6181 |
| 趟/圈 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 1 | 72.47295 | 79.72025 | 87.69227 | 96.4615 | 106.1076 |
| 2 | 86.96754 | 95.66429 | 105.2307 | 115.7538 | 127.3292 |
| 3 | 104.361 | 114.7972 | 126.2769 | 138.9046 | 152.795 |
| 4 | 125.2333 | 137.7566 | 151.5322 | 166.6855 | 183.354 |
| 5 | 150.2799 | 165.3079 | 181.8387 | 200.0226 | 220.0248 |

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<!-- .slide: style="font-size: .7em;" -->

### C選手

| 趟/圈 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|:-----:|:------:|:-------:|:--------:|:--------:|:--------:|
| 1 | 50 | 55 | 60.5 | 66.55 | 73.205 |
| 2 | 60 | 66 | 72.6 | 79.86 | 87.846 |
| 3 | 72 | 79.2 | 87.12 | 95.832 | 105.4152 |
| 4 | 86.4 | 95.04 | 104.544 | 114.9984 | 126.4982 |
| 5 | 103.68 | 114.048 | 125.4528 | 137.9981 | 151.7979 |
| 趟/圈 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 1 | 80.5255 | 88.57805 | 97.43586 | 107.1794 | 117.8974 |
| 2 | 96.6306 | 106.2937 | 116.923 | 128.6153 | 141.4769 |
| 3 | 115.9567 | 127.5524 | 140.3076 | 154.3384 | 169.7722 |
| 4 | 139.1481 | 153.0629 | 168.3692 | 185.2061 | 203.7267 |
| 5 | 166.9777 | 183.6754 | 202.043 | 222.2473 | 244.472 |

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<!-- .slide: style="font-size: .47em;" -->

### 選手各圈的排名

| 趟/圈 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|:-----:|:--:|:--:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|
| A選手 | | | | | | | | | | |
| 1 | 1 | 2 | 5 | 9 | 15 | 22 | 31 | 42 | 54 | 68 |
| 2 | 4 | 8 | 14 | 21 | 30 | 40 | 52 | 66 | 80 | 94 |
| 3 | 13 | 20 | 29 | 39 | 51 | 64 | 78 | 92 | 105 | 116 |
| 4 | 28 | 38 | 50 | 63 | 77 | 91 | 104 | 115 | 125 | 133 |
| 5 | 49 | 62 | 76 | 90 | 103 | 114 | 124 | 132 | 139 | 144 |
| B選手 | | | | | | | | | | |
| 1 | 3 | 6 | 11 | 17 | 25 | 35 | 46 | 59 | 73 | 87 |
| 2 | 10 | 16 | 24 | 33 | 44 | 57 | 71 | 85 | 99 | 111 |
| 3 | 23 | 32 | 43 | 55 | 69 | 83 | 97 | 109 | 120 | 129 |
| 4 | 41 | 53 | 67 | 81 | 95 | 107 | 118 | 127 | 135 | 141 |
| 5 | 65 | 79 | 93 | 106 | 117 | 126 | 134 | 140 | 145 | 148 |
| C選手 | | | | | | | | | | |
| 1 | 7 | 12 | 19 | 27 | 37 | 48 | 61 | 75 | 89 | 102 |
| 2 | 18 | 26 | 36 | 47 | 60 | 74 | 88 | 101 | 113 | 123 |
| 3 | 34 | 45 | 58 | 72 | 86 | 100 | 112 | 122 | 131 | 138 |
| 4 | 56 | 70 | 84 | 98 | 110 | 121 | 130 | 137 | 143 | 147 |
| 5 | 82 | 96 | 108 | 119 | 128 | 136 | 142 | 146 | 149 | 150 |

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<!-- .slide: style="font-size: .47em;" -->

### 三位選手隨著趟數和圈數跑一圈所需花的最短時間、時間排名

| n | 1 | 2 | 3 | 4$*$ | 5$*$ | 6$**$ | 7 | 8 | 9 |
|:----:|:--------:|:--------:|:--------:|:--------:|:--------:|:--------:|:--------:|:--------:|:--------:|
| 秒數 | 40 | 84 | 129 | 177.4 | 226.9 | 275.4 | 324.9 | 377.7 | 430.94 |
| A | 1 | 2 | 2 | 3 | 3 | (3,1) | (3,1) | (3,2) | (4,2) |
| B | | | 1 | 1 | 2 | 1 | 2 | 2 | 2 |
| C | | | | | | 1 | 1 | 1 | 1 |
| | | | | | | | | | |
| n | 10 | 11 | 12 | 13$*$ | 14$*$ | 15$**$ | 16$**$ | 17 | 18 |
| 秒數 | 484.94 | 539.39 | 594.39 | 652.47 | 711.034 | 770.07 | 828.634 | 888.034 | 947.929 |
| A | (4,2) | (4,2) | (4,2) | (4,3) | (5,3) | (4,3,1) | (5,3,1) | (5,3,1) | (5,3,1) |
| B | (2,1) | (3,1) | (3,1) | (3,1) | (3,1) | (3,1) | (3,1) | (3,2) | (4,2) |
| C | 1 | 1 | 2 | 2 | 2 | (2,1) | (2,1) | (2,1) | (2,1) |
| | | | | | | | | | |
| n | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 |
| 秒數 | 1008.429 | 1071.789 | 1135.677 | 1200.097 | 1264.897 | 1330.237 | 1396.122 | 1462.122 | 1528.672 |
| A | (5,3,1) | (5,3,2) | (5,4,2) | (6,4,2) | (6,4,2) | (6,4,2) | (6,4,2) | (6,4,2) | (6,4,2) |
| B | (4,2) | (4,2) | (4,2) | (4,2) | (4,2,1) | (4,3,1) | (5,3,1) | (5,3,1) | (5,3,1) |
| C | (3,1) | (3,1) | (3,1) | (3,1) | (3,1) | (3,1) | (3,1) | (3,2) | (4,2) |

<i><span style="font-size:.3em;">以四捨五入到小數點後第三位</span></i>
<!-- 由於數據過於龐大，在此只放上圈數n=1~27的最短秒數t !-->

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# 四、數據分析

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回歸線

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t表示預計秒數 n表示目標圈數
$t=19.6018n^{1.30298}+82.0006$

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# 五、相關問題推廣研究與討論

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套用在各大體育賽事，甚至工廠機器的管理

<!-- 我們可以利用上述這些數據分析的方法，包含表格整理、曲線擬合來達到我們的目的，這不只僅限於繞圈賽，可以延伸到各大體育競賽，包含游泳、腳踏車......。相信在大賽適時利用這種數據分析可以使成績更加亮眼。甚至可以延伸到工廠機器的使用，當機器過熱時，相信也會出現類似疲勞的現象，可以幫助管控機器及人力的支出。 !-->

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# 六、結論

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這是理想狀態下的數據分析，若有機會我們將把更多外在因素數據化，使此數據分析更加完美

<!--雖然這是看似成功的數據分析，但這是在理想狀態下所使用的數據，相信在真實的情況下，外在的干擾因素增加(如肌肉收縮情形被環境因官擾......)這些數據是不準確的，同時，我們相信圈疲比和趟疲比應該和圈數呈正相關，而非定值，若有機會我們一定可以將這個主題做得更加完美。 !-->

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# 七、製作人及分工

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<!-- .slide: style="text-align: left;" -->

王博靚：版面配置、格式修改及各項技術處理
陳首中：簡報製作以及格式修改
蔡承芫：excel製作以及數據分析製作
張椿宥：excel製作以及數據分析製作
李宸愷：數據分析製作、相關問題討論製作以及結論製作
它項未提及者則為共同製作