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# L3PAPP -- Mathématiques -- TD6
## Lemmes de Jordan
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Début préambule à ne pas modifier
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$$
\def\moy#1{{\langle #1 \rangle}}
\def\abs#1{{|#1|}}
\def\dd{\mathrm{d}}
\def\ed{\mathrm{e}}
$$
<!--
Fin Préambule à ne pas modifier
-->

***Exercice 1 : Intégrale dans le plan complexe***

On étudie l'intégrale de la fonction
$$f(z) = \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}z}}{(z+\mathrm{i}\, a)^2}
\mbox{, avec } a>0$$
sur le contour fermé $\Delta_R\cup\mathscr{C}_R$, où
$\Delta_R=[-R,+R]$ et $\mathscr{C}_R$ est le demi-cercle.


1. Quel est le domaine d'analyticité de la fonction $f$ si $a>0$ ?

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f(z) est holomorphe (= analytique) sur $\mathbb{C} \backslash \{-ia\}$

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2. Utiliser le lemme de Jordan pour montrer que
$\int_{\mathscr{C}_R}\mathrm{d}z\,f(z)\to0$ lorsque $R\to\infty$.

on montre que $\lim_{z = Re^{i\theta}, R\rightarrow \infty (Im(z)>0)}\abs{zf(z)}=0$,
en effet, pour $z=Re^{i\theta}$ :
$$
\abs{zf(z)} = e^{-R\sin\theta}\frac{R}{(R\cos\theta)^2 + (R\sin\theta + a)^2}; \quad \forall \theta\in[0,\pi]
$$
Qui tend bien vers zéro quand $R$ tend vers l'infini, $\forall \theta \in [0,\pi]$.

3. Déduire la valeur de l'intégrale $\displaystyle
\int_{-\infty}^{+\infty}\mathrm{d}x\, \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}x}}{(x+\mathrm{i}\, a)^2}$.

Comme $f(z)$ est holomorphe dans le 1/2 plan supérieur ($\text{Im}(z) \geq 0$),
$$
\int_{\Gamma(R)} f(z)dz = 0
$$
et donc
$$
\lim_{R\rightarrow \infty} \int_{\Gamma(R)} f(z)dz = 0
$$

on en deduit que:

$$
\lim_{R\rightarrow \infty} \int_{C_R} f(z)dz + \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)dx = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)dx = 0
$$
La valeur de l'intégrale est donc nulle.

4. Peut-on utiliser le même argument si $a<0$ ?

Non car dans ce cas la fonction $f(z)$ n'est pas holomorphe dans l'intérieur du contour. Elle a un pôle en $z=-ia = +i|a|$.

***Exercice 2 : Relation entre deux intégrales***

On montre comment utiliser le théorème de Cauchy pour relier deux
intégrales de natures différentes. On étudie l'intégrale

$$\oint_\Gamma\mathrm{d}z\,\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}z}}{(\lambda+z)^2} \mbox{, avec } \lambda>0$$
sur le contour fermé $\Gamma$ suivant:


1. Utiliser le lemme de Jordan pour montrer que l'intégrale sur l'arc de
cercle tend vers zéro quand $R\to\infty$.

On écrit $\abs{zf(z)}$ pour $z=R\ed^{i\theta}$ avec $\theta \in [0,\pi/2]$:
$$
\abs{zf(z)} = R\frac{\exp(-R\sin\theta)}{(\lambda + R \cos\theta)^2 + R^2\sin^2\theta} = \frac{\ed^{-R\sin\theta}}{R}\frac{1}{(\lambda/R +\cos\theta)^2 + \sin^2\theta}
$$

2. Écrire soigneusement les contributions des deux autres parties du
contour $\Gamma$ (les deux segments). Déduire la relation
$$
\int_0^\infty \mathrm{d}x\, \frac{\cos x}{(\lambda + x)^2}
=2\lambda \int_0^\infty\mathrm{d}x\,\frac{x\,\mathrm{e}^{-x}}{(\lambda^2+x^2)^2}$$
On notera $F(\lambda)$ la fonction définie par ces deux intégrales.

J'écris l'intégrale sur les différents morceaux du contour pour $R\to\infty$
$$
\int_0^\infty dx \, \frac{e^{i x}}{(\lambda+x)^2}
+
\int_{\infty}^0 i dy
\frac{e^{-y}}{(\lambda+iy)^2}
=0
$$

Je prends la partie réelle de l'égalité:
$$
\int_0^\infty dx \, \frac{\cos x}{(\lambda+x)^2}
=\mathrm{Re}\left[
i \int_0^{\infty} dy
e^{-y} \, \frac{(\lambda-iy)^2}{(\lambda^2+y^2)^2}
\right]
\\
= 2\lambda\int_0^{\infty} dy\,
e^{-y} \, \frac{y}{(\lambda^2+y^2)^2}
$$

Quel est l'intérêt de cette relation

Un autre intérêt apparaît si l'on recherche les comportements limites de
la fonction $F(\lambda)$. Faire un changement de variable $x=\lambda t$
dans les deux formes intégrales.

1. Quelle forme est la plus appropriée pour obtenir le comportemen pour $\lambda\to0$ ?
2. Et pour $\lambda\to\infty$ ?

$$
F(\lambda) = \frac{1}{\lambda}\int_0^\infty dt \, \frac{\cos (\lambda t)}{(1+t)^2}
= \frac{2}{\lambda}\int_0^{\infty} d t\,
\frac{t\, e^{-\lambda t} }{(1+t^2)^2}
$$

(a) limite $\lambda\to0$:
$$ F(\lambda)\sim1/\lambda $$
car $\int_0^\infty \frac{dt}{(1+t)^2}<\infty$ idem pour la second représentation $\int_0^{\infty} d t\, \frac{t }{(1+t^2)^2}<\infty$

(b) limite $\lambda\to\infty$:
La question intéressante est de trouver une approximation de l'intégrale dans cette limite. Pour déduire un comportement asymptotique...
La première représentation intégrale semble inappropriée pour répondre...
Mais la deuxième est commode :
l'exponentielle décroit sur $t\gg1/\lambda$, $e^{-\lambda t} \ll1$
$$
\int_0^{\infty} d t\,
\frac{t\, e^{-\lambda t} }{(1+t^2)^2}
\simeq
\int_0^{\infty} d t\,t\, e^{-\lambda t}
= \Gamma(2)/\lambda^2
$$

$$
\Gamma(n) = \int_0^{+\infty} t^{n-1}e^{-t} \dd t = (n-1)!
$$
on effectue le changement de variable
$$
\lambda t = u
$$

$$
\int_0^{\infty} d t\,t\, e^{-\lambda t} = \frac{1}{\lambda^2}\int_0^{\infty} \dd u u e^{-u} = \Gamma(2)/\lambda^2 = 1/\lambda^2
$$

$$F(\lambda) \sim 2/\lambda^3 $$

***[Facultatif (pour les courageux ou les enthousiastes) :]***

par la même méthode, en étudiant
$g(z)=\mathrm{e}^{\mathrm{i}z}/(\lambda+z)$,
montrer que :
$$\int_0^\infty \mathrm{d}x\, \frac{\sin x}{\lambda + x} =\lambda \int_0^\infty\mathrm{d}x\,\frac{\mathrm{e}^{-x}}{\lambda^2+x^2}$$
(l'intégrale sur le quart de arc de cercle sera plus délicate à borner
dans ce cas : cf. le TD 5 où un cas analogue a été traité).

## Exercice 3
Soit la fonction
$\displaystyle f(z) = \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}z}}{z}$.

1. Montrer qu'elle est holomorphe sur un ouvert $\mathscr{U}$
qu'on précisera.
On considère le contour
$\Gamma=\gamma_-\cup\gamma_\varepsilon\cup\gamma_+\cup\gamma_R$
représenté ci-dessous :

Paramétrer *soigneusement* les quatre parties du contour et écrire les
contributions des différentes parties du contour à l'intégrale $\oint_\Gamma\mathrm{d}z\,f(z)$.

holomorphe sur $\mathbb{C}-\{0\}$.

Parmétrisons chaque morceau du contour :
* Sur $\gamma_R : z = R\ed^{i\theta}; \quad \theta \in [0,\pi]$
* Sur $\gamma_\varepsilon$ : $z = \epsilon\ed^{i\theta} \quad \theta : \pi\rightarrow 0$.
* Les deux autre morceaux sont des intervals de l'axe reel.

2. Que vaut $\oint_\Gamma f(z) \, \,\mathrm{d}z$ ?
Justifier votre réponse.

L'intégrale est sur un contour fermé qui entoure un domaine sur lequel la fonction $f(z)$ est holomorphe. Par le théorème de Cauchy, l'intégrale est donc nulle.
$$\oint_\Gamma f(z) \, \,\mathrm{d}z = 0$$.

3. Montrer que
$\displaystyle\lim_{\varepsilon\rightarrow 0} \int_{\gamma_\varepsilon} f(z)\,\,\mathrm{d}z=-\mathrm{i}\pi$

On calcule explicitement l'intégrale à l'aide la paramétrisation du chemin $\gamma_{\varepsilon}$ :
sur $\gamma_{\varepsilon}$ : $z(\theta) = \varepsilon e^{i\theta}$ avec $\theta : \pi \rightarrow 0$. Donc $dz = i\varepsilon e^{i\theta} d\theta$

$$
\int_{\gamma_\varepsilon} f(z) \dd z
=\int_\pi^0 \frac{e^{i \varepsilon e^{i\theta}}}{\varepsilon e^{i\theta} } \varepsilon i e^{i\theta} d \theta
= - i \int_0^\pi d \theta\,e^{i \varepsilon e^{i\theta}}
\underset{\varepsilon\to0}{\longrightarrow}-i\pi
$$

4. Montrer que
$$\lim_{R\rightarrow +\infty} \int_{\gamma_R} f(z)\,\,\mathrm{d}z=0$$

Lemme de Jordan ?

$$|z f(z)|=|e^{i z}|=e^{-R\sin\theta}$$

Si $\theta=0$ et $\theta=\pi$, ça ne tend pas vers zéro quand $R\rightarrow \infty$...
Le lemme de Jordan n'est pas suffisant car $\mathrm{Sup}|z f(z)|=R$ ne tend pas vers zéro partout sur le contour.

$$
\left|
\int_0^\pi R i e^{i\theta} d \theta\, \frac{e^{i Re^{i\theta}}}{R e^{i\theta} }
\right| \leq
2\int_0^{\pi/2} \dd \theta\,
e^{-R\sin \theta} \leq
2\int_0^{\pi/2} d \theta\,
e^{-R2\theta/\pi}
=\frac{\pi}{R}(1-e^{-R})
$$

### Truc :
$\sin \theta\geq2\theta/\pi;\quad \forall \theta \in [0,\pi/2]$

5. En déduire que $\displaystyle
\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\sin x}{x}\,\,\mathrm{d}x = \pi$.

On prend la limite $R\to\infty$ et $\varepsilon\to0$

$$
\lim_{\varepsilon\to0}
\left(
\int_{-\infty}^{-\varepsilon} + \int_{\varepsilon}^\infty
\right)
d x\, \frac{e^{ix}}{x}
-i \pi = 0
$$
Je prends la partie imaginaire
$$
\int_{-\infty}^{+\infty}dx \, \frac{\sin x}{x} = \pi
$$
Cqfd.