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tags: L3PFON, Correction
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# Exercices complémentaires

$$
\def\ket#1{{|#1\rangle}}
\def\bra#1{{\langle #1 |}}
\def\un{{\mathbb{I}}}
\def\moy#1{{\langle #1 \rangle}}
\def\abs#1{{\left| #1 \right|}}
\def\dd{\mathrm{d}}
\def\ed{\mathrm{e}}
$$

### Exercice 1
a)
$$
J^2\ket{j,m} = \hbar^2j(j+1)\ket{jm}; \quad
J_z\ket{jm} = \hbar m \ket{jm}
$$

b)
$$
\bra{jm}J^2\ket{jm} = \hbar^2j(j+1); \quad \bra{jm}J_z\ket{jm} =\hbar m
$$

On utilise les opérateurs d'echelle :
$J_+ = J_x + i J_y$ et $J_- = J_x -i J_y$
$$
J_x = \frac{1}{2} (J_+ + J_-);\quad J_y = \frac{1}{2i} (J_+ - J_-)
$$

donc
$$
J_x^2 = \frac{1}{4}\left(J_-J_- + J_+J_+ + J_-J_+ + J_+J_- \right)
$$
or
$$
\langle J_x^2\rangle = \frac{1}{4}\left(\moy{J_-J_+} + \moy{J_+J_-} \right)
$$
De même pour $J_y$

$$
J_y^2 = \frac{1}{4}\left(-J_-J_- - J_+J_+ +J_-J_+ + J_+J_- \right)
$$
or
$$
\moy{J_y^2} = \frac{1}{4}\left(\moy{J_-J_+} + \moy{J_+J_-} \right)
$$

Donc

$$
\moy{J_y^2} = \moy{J_x^2}
$$

$$
J^2 = J_x^2 + J_y^2 + J_z^2
$$
donc
$$
\moy{J_x^2} + \moy{J_y^2} = 2 \moy{J_x^2} = \moy{J^2} - \moy{J_z^2}
$$
donc finalement
$$
\moy{J_x^2} = \moy{J_y^2} = \frac{\hbar^2}{2}
\left[j(j+1) - m^2\right]
$$
c)
Ecart quadratique moyen $\Delta O$ de l'opérateur $O$ :
$$
\moy{O^2} - \moy{O}^2
$$

donc
$$
\Delta{J^2} = \Delta{J_z}= 0
$$
et
$$
\Delta{J_x^2} = \Delta{J_y^2} =\frac{\hbar^2}{2}
\left[j(j+1) - m^2\right]
$$

### Exercice 2
Comme $\hbar^2j(j+1) = 2$ donc $j=1$.

a)
Espace de dimension 3, engendré par la base suivante :
$$
\{\ket{1,-1},\ket{1,0},\ket{1,1}\}
$$
b)
$$
J^2 = 2\hbar^2\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}; \quad J_z = \hbar\begin{bmatrix}
-1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
$$

$$
J_x = \frac{1}{2} (J_+ + J_-);\quad J_y = \frac{1}{2i} (J_+ - J_-)
$$
avec
$$
J_+\ket{jm} = \hbar\sqrt{j(j+1) - m(m+1)}\ket{j,m+1} \\
J_+\ket{jm} = \hbar\sqrt{j(j+1) - m(m-1)}\ket{j,m-1}
$$
ici

$$
J_+\ket{1,m} = \hbar\sqrt{2 - m(m+1)}\ket{1,m+1} \\
J_+\ket{1,m} = \hbar\sqrt{2 - m(m-1)}\ket{1,m-1}
$$

donc

$$
J_+\ket{1,-1} = \sqrt{2}\hbar\ket{1,0};\quad
J_+\ket{1,0} = \sqrt{2}\hbar\ket{1,1};\quad
J_+\ket{1,1} = 0
$$
de même
$$
J_-\ket{1,-1} =0;\quad
J_-\ket{1,0} = \sqrt{2}\hbar\ket{1,-1};\quad
J_-\ket{1,1} = \sqrt{2}\hbar\ket{1,0}
$$

donc la matrice représentant $J_x$

$$
J_x = \frac{\hbar}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}
0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0
\end{bmatrix};\quad
J_y = \frac{\hbar}{i\sqrt{2}}
\begin{bmatrix}
0 & -1 & 0 \\
1 & 0 & -1 \\
0 & 1 & 0
\end{bmatrix}
$$

Il existe une transformation unitaire $U = \exp(\pm i\frac{\pi}{2}J_y)$ telle
$UJ_zU^{-1} = J_x$
donc les valeurs propres de $J_x$ sont les même que celles de $J_z$, soient $-1,0,1$.

On cherche les composantes $x$,$y$ et $z$ du vecteur propre $\ket{j=1,m=-1}_x$ dans la base $\ket{j,m}$, propre de $J_z$.
C'est à dire :

$$
\ket{j=1,m=-1}_x = x\ket{1,-1} + y \ket{1,0} + z \ket{1,1}
$$
On cherche donc $x,y,z$ tel que
$$
J_x\ket{j=1,m=-1}_x = -\hbar \ket{j=1,m=-1}_x
$$
Or
$$
J_x\ket{j=1,m=-1}_x = J_x\left\{x\ket{1,-1} + y \ket{1,0} + z \ket{1,1}\right\}
$$
donc
$$
J_x\ket{j=1,m=-1}_x =\frac{\hbar}{\sqrt{2}}\left[x\ket{1,0} + y (\ket{1,-1} + \ket{1,1}) + z \ket{1,0})\right]
$$
et
$$
J_x\ket{j=1,m=-1}_x =
-\hbar\left[x\ket{1,-1} + y \ket{1,0} + z \ket{1,1}\right]
$$

$$
-x = \frac{y}{\sqrt{2}} \\
-y = \frac{x+z}{\sqrt{2}} \\
-z = \frac{y}{\sqrt{2}}
$$

donc
$$
x = z = \frac{y}{\sqrt{2}}
$$
donc
$$
\ket{j=1,m=-1}_x = \left[-\frac{1}{\sqrt{2}}(\ket{1,-1} + \ket{1,1}) + \ket{1,0}\right]\frac{1}{\sqrt{2}}
$$

de même on obtient :
$$
\ket{1,0} = \frac{1}{\sqrt{2}}(\ket{1,-1} - \ket{1,1})
$$

$$
\ket{j=1,m=-1}_x = \left[\frac{1}{\sqrt{2}}(\ket{1,-1} + \ket{1,1}) + \ket{1,0}\right]\frac{1}{\sqrt{2}}
$$

## EXERCICE 3
a)
$$
\abs{j_1-j_2} \leq j \leq j_1 + j_2
$$

ici $\abs{j_1-j_2} = 5/2$ et $j_1 +j_2 = 11/2$

$5/2 \leq j \leq 11/2$

$j= 5/2, 7/2,9/2,11/2$

Dimension totale de l'espace :
l'espace de Hilbert associé à $j_1 = 3/2$ :
est l'espace engendré par la base
$$
\{\ket{3/2, 3/2}, \ket{3/2,1/2}, \ket{3/2,-1/2},\ket{3/2,-3/2}\}
$$
dimension de l'espace $2j_1 +1 = 4$

De même, la dimension de l'espace de Hilbert associé à $j_2 = 4$ est
$2j_2 +1 = 9$

Donc la dimension totale de l'espace de Hilber associé à $J$ est
$9\times 4 = 36$

$$
\sum_{j= 5/2, 7/2,9/2,11/2} 2j+1 = 36
$$

b)
$\ket{3/2,4; -1/2,-2} = \ket{3/2,-1/2}\otimes \ket{4,-2}$
le vecteur propre des opérateurs

$J_1^2\otimes \un$ avec la valuer propre $\hbar^23/2(3/2+1) = 15/4 \hbar^2$,

$\un\otimes J_2^2$ avec la valeur propre $\hbar^2 4(4+1) = 20 \hbar^2$

$J_{1z}\otimes \un$ avec la valeur propre $-1/2 \hbar$

$\un \otimes J_{2z}$avec la valeur propre $-2 \hbar$.

c) Une mesure de $J^2$, donne $\hbar^2 j(j+1)$ avec
$j= 5/2, 7/2,9/2,11/2$

ici la mesure de $J_{1z}$ donnerait $-1/2\hbar$

la mesure de $J_{2z}$ donnerait $-2\hbar$

donc la mesure de $J_z$ donnerait $-5/2 \hbar$

Remarque si on avait pris comme état

$\ket{3/2,-3/2}\otimes \ket{4,-2}$
la mesure de $J_z$ donnerait le résultat $-7/2 \hbar$*$
et dans ce cas la mesure de $J^2$ de pourrait donner que les valeur

Une mesure de $J^2$, donne $\hbar^2 j(j+1)$ avec
$j= 7/2,9/2,11/2$

## EXERCICE 4

a)
$E_n^{(0)} = \hbar\omega (n+1/2)$ non dégénérées et on note $\ket{n}$
l'état propre associé à $E_n^{(0)$

au premier ordre
$\Delta E_n = E_n-E_n^{(0)} = \bra{n} W\ket{n} = \mu\bra{n}\hat{x}^2\ket{n}$

or

$\hat{x} = x_0(a+a^\dagger)$

avec $x_0 = \sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}}$

donc

$\mu\bra{n}\hat{x}^2 \ket{n}= \mu x_0^2 \bra{n} a^2 + a^{\dagger 2} + aa^\dagger + a^\dagger a\ket{n}$
avec $a\ket{n} = \sqrt{n}\ket{n-1}$, $a^\dagger\ket{n} = \sqrt{n+1}\ket{n+1}$ donc

$\bra{n}a^2\ket{n} = \bra{n}a^{\dagger 2}\ket{n} = 0$

donc

$\mu\bra{n}\hat{x}^2 \ket{n}= \mu x_0^2 \bra{n} aa^\dagger + a^\dagger a\ket{n}$
en utilisant $[a,a^\dagger] = 1$, on obtient

$\mu\bra{n}\hat{x}^2 \ket{n}=\mu x_0^2 \bra{n} 2a^\dagger a +1 \ket{n}$

or $a^\dagger a = \hat{N}$ qui est tel que $\hat{N}\ket{n} = n\ket{n}$

Finalement :

$\mu\bra{n}\hat{x}^2 \ket{n}=\mu x_0^2 (2n+1)$

$\Delta E_n = \mu x_0^2 (2n+1)$

c)
$H+W$ est toujours le Hamiltonien d'un oscillateur Harmonique dont
la fréquence est $\Omega = \sqrt{\omega^2 + \frac{2\mu}{m}}$.

d)
$$
H_{3D} = \frac{1}{2m}p^2 + \frac{1}{2}m\omega^2 r^2
$$
avec $p^2 = p_x^2 + p_y^2 + p_z^2$ et $r^2 = x^2+y^2+z^2$

$$
H_{3D} = H_x + H_y + H_z
$$
où
$H_i = \frac{1}{2m}p_i^2 + \frac{1}{2}m\omega^2 i^2$
avec $i=x,y,z$

Les états propres de $H$ sont donc de la forme

$\ket{n_x,n_y,n_z} = \ket{n_x}\otimes\ket{n_y}\otimes\ket{n_z}$ et la valeur propre correspondante :

$E_{n_x,n_y,n_z} = \hbar\omega(n_x+n_y+n_z +3/2)$

e)
$W = \lambda z^2$

Question : quelle est la dégénéresence de $E_{n_x,n_y,n_z}$ ?
Le nombre de façon d'écrire l'entier $N$ sous la forme $N=n_x+n_y+n_z$
est : $\frac{(N+2)!}{2! N!} = C_{N}^{N+2} = \frac{(N+1)(N+2)}{2}$

Donc à l'ordre zéro :
L'énergie la plus basse n'est pas dégénérée

$E_{0,0,0} = 3/2 \hbar\omega$

L'energie au dessus :

$E_{1,0,0} = E_{0,1,0} = E_{0,0,1} = 5/2 \hbar\omega$

La correction à l'ordre 1 à l'energie la plus basse :

$\Delta E_{0,0,0} = \lambda\bra{0,0,0} z^2\ket{0,0,0}$

en fait de façon abusive on a écrit $z^2$ mais on aurait du écrire $\un\otimes\un\otimes z^2$

$\Delta E_{0,0,0} = \lambda\bra{0,0,0} \un\otimes\un\otimes z^2\ket{0,0,0} =\lambda\bra{0} z^2\ket{0} = \lambda\frac{\hbar}{2m\omega}$

La correction à l'ordre 1 de l'énergie au dessus :

on dit calculer la matrice représentant la perturbation dans le sous espace de dégénérescences c'est à dire dans le sous espace engendré par
$\{\ket{1,0,0},\ket{0,1,0},\ket{0,0,1}\}$

Les seul éléments de matrices non nuls sont les éléments diagonaux :

$$
\bra{1,0,0}W\ket{1,0,0} = \bra{0,1,0}W\ket{0,1,0} = \lambda\bra{0}z^2\ket{0} = \lambda\frac{\hbar}{2m\omega}
$$
et
$$
\bra{0,0,1}W\ket{0,0,1} = \lambda\bra{1}z^2\ket{1} = \lambda\bra{0}z^2\ket{0} = \lambda\frac{3\hbar}{2m\omega}
$$

On en déduit que la perturbation ne lève dégénérescence que partiellement.

f)
$$
H+W = H_x + H_y + H'_z
$$
où $H_x$ et $H_y$ sont les mêmes qu'à l'odre 0 et

$H'_z = H_z + \lambda z^2$? C'est le hamiltonien d'un oscillateur harmonique mais de fréquence
$\Omega = \sqrt{\omega^2 + \frac{2\lambda}{m}}$
donc les valeurs propres $\mathcal{E}_{n_x,n_y,n_z}$ de $H+W$ sont

$\mathcal{E}_{n_x,n_y,n_z} = \hbar{\omega}(n_x+1/2) +\hbar{\omega}(n_y+1/2) + \hbar\Omega(n_z+1/2)$