# ASE3

__________                                         .__ 
\______   \ ____   ________________     ____  __ __|__|
 |       _// __ \ / ___\_  __ \__  \   / ___\|  |  \  |
 |    |   \  ___// /_/  >  | \// __ \_/ /_/  >  |  /  |
 |____|_  /\___  >___  /|__|  (____  /\___  /|____/|__|
        \/     \/_____/            \//_____/           

## A connaitre
- Les lois

## Exo 1
### Annale 2021
#### Version 1

1. $P(X_1 = i) = 1/n$ (loi uniforme)
2. $P_{(X_1=i)}(X_2=j) = \frac{1}{n-1}$ si j != i, 0 sinon
3. utiliser $P_{(X_1 = i)}(X_2 = j) = \frac{P(X_2 = j\bigcap X_1=i)}{P(X_1=i)}$
4. créer la matrice comme vu en cours $P(X_1 = i, X_2 = j) = 0$ si $i=j$ et $P(X_1 = i, X_2 = j) = \frac{1}{n.(n-1)}$ si $i \neq j$
5. On utilise $Cov(X_1, X_2) = E(X_1.X_2) - E(X_1).E(X_2)$ ce qui donne: $Cov(X_1, X_2) = \sum_{i, j \in [[1, n]]} {i.j.P(X_1 = i, X-2 = j)} - (\sum_{i \in [[1, n]]} {i.\frac{1}{n}}).(\sum_{j \in [[1, n]]} {j.\frac{1}{n-1}})$

| Enoncé | Loi | Version |
| -------- | -------- | -------- |
| question 1 2021 | Text | 1 |
| k urnes avec k boules | conjointe $\frac{1}{i}x\frac{1}{n}$ | TD1-2 Exo 1 |
| urne noir/blc remise succession n tirages | Bernoulli | -------- |

## Exo 2 : ACP
### Annale 2021
#### Version 1
##### 1) Calcul moyenne de chaque variable :

**-> suffit d'additionner chaque colonne et on divise par le nombre de valeurs**
Ex : $X^{(1)}$barre = ( 5 + 1 + 3 + ...)/6 = 3
$X^{(2)}$barre = 6/6 = 1
$X^{(3)}$barre = 12/6 = 2

##### Centre de gravité :
-> $g^T = (3, 1, 2)$

##### 2) Calcul matrice données centrées Y :

**-> on utilise le centre de gravité et on fait la colonne - centre qui lui correspond**

$Y = \begin{pmatrix}
2 & -3 & -5\\
-2 & 2 & 0 \\
0 & 4 & 2 \\
4 & 0 & 2 \\
2 & -2 & 0\\
-6 & -1 & 1
\end{pmatrix}$

##### 3) Calculer la matrice de variance-covariance

**-> **$D = 1/n . Idn$** avec n nombre de lignes**
**-> V doit être symétrique**

Formule: $V = Y^T . D . Y$ avec $D = 1/6 * Id_6$

$V = Y^T . D . Y = \begin{pmatrix}
64 * \frac{1}{6} & -8* \frac{1}{6} & -8* \frac{1}{6}\\
-8* \frac{1}{6} & 34* \frac{1}{6} & 22* \frac{1}{6} \\
-8* \frac{1}{6} & 22* \frac{1}{6} & 34* \frac{1}{6} \\
\end{pmatrix}$

$(V_{i,j} = colonne_i * colonne_j * \frac{1}{6})$

##### 4) Déterminer les valeurs propres de la matrice V

$P_V(λ) = det(V − λI_3)$

$P_V(λ) = \begin{vmatrix}
32/3 - λ & -4/3 & -4/3\\
-4/3 & 17/3-λ & 11/3 \\
-4/3 & 11/3 & 17/3 - λ
\end{vmatrix}$

$P_V(λ) =$

Valeurs propres : $\frac{24}{3}$, $\frac{6}{3}$ et $\frac{36}{3}$

Valeurs propres : $λ_1 = 8$, $λ_2 = 2$ et $λ_3 = 12$

##### Calculer le pourcentage d’inertie
axe 1 : $\frac{λ_1}{λ_1 + λ_2 + λ_3} = \frac{8}{12+2+8} = 0,36$
axe 2 : $\frac{2}{12+2+8} = 0,09$
axe 3 : $\frac{12}{12+2+8} = 0,55$

##### 5) Déterminer les deux facteurs principaux associés aux deux plus grandes valeurs propres

Les deux facteurs principaux sont les 2 vecteurs propres associés à $λ_1$ et $λ_3$.

les deux valeurs propres avec le pourcentage d'inertie le plus important

**-> utiliser le Ker sur chacune des 2 λ choisies pour trouver les vecteurs propres.**

$E_8 = Ker(V - 8I_3) = Vect\begin{pmatrix}
1\\
1 \\
1
\end{pmatrix}$
$u^{(1)} = \frac{1}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2}} \begin{pmatrix}
1\\
1 \\
1
\end{pmatrix}=\frac{1}{\sqrt{3}} \begin{pmatrix}
1\\
1 \\
1
\end{pmatrix}$

$E_{12} = Ker(V - 12I_3) = Vect\begin{pmatrix}
-2\\
1 \\
1
\end{pmatrix}$
$u^{(2)} = \frac{1}{\sqrt{6}} \begin{pmatrix}
-2\\
1 \\
1
\end{pmatrix}$

##### 6) Déterminer les deux premières composantes principales

**->$C^{(i)}=Yu^{(i)}$ avec i=1,2**

$C^{(1)} = Yu^{(1)} = \begin{pmatrix}
2 & -3 & -5\\
-2 & 2 & 0 \\
0 & 4 & 2 \\
4 & 0 & 2 \\
2 & -2 & 0\\
-6 & -1 & 1
\end{pmatrix} . \frac{1}{\sqrt{3}} \begin{pmatrix}
1\\
1 \\
1
\end{pmatrix}$

$C^{(1)} = \begin{pmatrix}
-2 \sqrt{3} \\
0 \\
2 \sqrt{3} \\
2 \sqrt{3} \\
0 \\
-2 \sqrt{3} \\
\end{pmatrix}$

et $C^{(2)} = \begin{pmatrix}
-2 \sqrt{6} \\
\sqrt{6} \\
\sqrt{6} \\
-\sqrt{6} \\
-\sqrt{6} \\
2 \sqrt{6}\\
\end{pmatrix}$

##### 7) Calculer les coefficients de corrélation linéaire
**-> coeff de corr entre chaque colonne de la matrice initiale et les C calculés**

$\rho(X_1, C^{(1)}) = \frac{Cov(X_1, C^{(1)})}{\sigma_{X_1}\sigma_{C^{(1)}}}$

$Cov(X_1, C^{(1)}) = {y^{(1)}}^T.D.C^{(1)} = \frac{8\sqrt{3}}{3}$

on utilise la matrice Y car elle est déjà centrée (ici $y_{i}$):
$\sigma_{X_1} = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n} |y^{1}_{i}|^{2}}{n}} = \sqrt{\frac{32}{3}}$

$\sigma_{C^{(1)}} = \sqrt{10}$

| | $C^{(1)}$ | $C^{(2)}$ |
| -- | -------- | -------- |
| $X_1$ | 0.14 | 0.61 |
| $X_2$ | 0.19 | 0.84 |
| $X_3$ | 0.19 | 0.84 |