提醒易错:
在判断 Arbitrage-free asset price的时候，对于有线性关系的情况(比如画图时两点合一的情况), 3-states, 3-assets但非linearly independent, 其中A1是bond, 画出(q2,q3)的图，只有q1=1限定好以后，q2和q3是一条线上，否则应该是照常的一片区域。
多个asset画图, Fix 一个的价格，画出截面；或者线性关系+整区域.

Incomplete, 对于no-trade，要注意endowment和asset的payoff的对应，直接用某一个agent的消费求解，而不是aggregation.

推导quadratic的represent的时候(包括CARA)，注意对应关系!

c=e-θq的时候，把加减号想对.

所有agent的util function 一样并不代表 represent的utilfunc也是那样的，需要自己aggregate Euler Equa的时候算.

### AFE-23

log 分配大法是指对log utility的agent，他们的消费是先通过$p_s$折现各期财富，然后根据系数$\beta$进行分配。

*1题，$u(c_1, c_2) = \log(c_1-1) + \log(c_2-1)$，线性关系可以变量代换为 $log(c_1') + log(c_2')$，然后aggregate，$1/e_1 * p = 1/e_2$, 这里aggregate的时候总财富会相应-1。 p = q = 1/(1+r).

2题，如果题1用常规方法解s和r的方程组，已经得到s。
这里也可以用log分配大法算出Agent 2的消费. (2/(1+r) + 1)/2。
另一种操作是，from aggregation to individual, $\frac{c_k^A}{c_k^B}=折现财富比$，现在A的财富相应缩水为(2,2), B的为(1,2) 于是折现后为 2+2q, 1+2q，即(7,5), 于是B在$t_0$的消费 5/12 * (2+1) = 5/4, 这里需要注意A的财富得用缩水后的。可能犯的错误是 5/12 * (3+1)! 或者7:5算错。
启示是有aggregation的log，不同agent，在各期消费比值是一样的，总根据他们的折现财富来分配总财富。

*3题，常规做法是解S, r方程组. 是否可以不同期限人格分裂？重整为 planner的视角， $\log c_1 + \log c_2$, $c_1 + c_2$，财富变为 (3, 3) (1, 3). 线性utility 可以 read off.

4题，期限可分离，相当于从t=2开始的, arrow-debreu sec $u_2' p_s= u_3'$.

*10题，线性utility可直接看出$p_s$.

*11题，用log分配大法，Agent A的$c_0 = 1/3 * 10 = 10/3$, 再算出Agent B的$c_0$，然后可以通过aggregate算出价格，或者用p折现，$\frac{10p+10p}{4} * 2 = 10 - 10/3$

*12题，Aggregate后相比得到 p1/p2 = e2/e1.
当我打算再次使用(单纯版)log分配大法的时候失败了。可能源于endowment的不对称。Re:原来的log分配大法是基于certainty的，包含了一些退化随机情况(即pi，e一样的可以合并的情况)。真正的log分配奥义应该是以state price $p_s$作为折现！而不是所有都用(1+r).
对于这道题，状态1和2的系数一样，因而消费的现值一样，所以$p_1e_1=p_2e_2$, 再结合bond价格即可。

13题，representative agent，根据$e_s$推测$p_s$.

14题，计算$p_s$，计算$\phi_s$

*15题，2状态的Sharpe ratio只可能是 -MPR, 0, MPR(因为两状态的corr情况为-1，0，1), 根据$-cov(\phi, R)$判断符号即可。因为$\phi$ 和 $e$ 的负相关关系，可通过 $e_s$ 和 $A_s$ 相关性判断。(1/4, 1) (2, 1) 方向相反因而SR为负。

### AFE-22
1题，线性utility

2题，log分配大法

3题，可以视做相邻两期ADS(Arrow-Debreu Security)，算出来的价格是当期的价格，根据情况可以discount到t=0.

7题，用p折现， t0消费占总的2/3, (p*30*2 + 60)*2/3 = 60

*11题，又是线性utility带来的好处，可以确定$c_1$之比，因为$p_1 = \frac{1}{4c_1^A}, \frac{1}{2c_1^B}$，根据endowment确定了c再回代就可以求出p。