三角函數（Trigonometric functions）

定義

假設三角形的對邊（Opposite）為

$a$、鄰邊（Adjacent）為

$b$、斜邊（Hypotenuse）為

$c$，則：

• 正弦（Sine）：
  $\sin \theta =\frac{a}{c}$
• 餘弦（Cosine）：
  $\cos \theta =\frac{b}{c}$
• 正切（Tangent）：
  $\tan \theta =\frac{a}{b}$
• 餘切（Cotangent）：
  $\cot \theta =\frac{b}{a}$
• 正割（Secant）：
  $\sec \theta =\frac{c}{b}$
• 餘割（Cosecant）：
  $\csc \theta =\frac{c}{a}$

	$0^{\circ }$	${15}^{\circ }$	${30}^{\circ }$	${45}^{\circ }$	${60}^{\circ }$	${75}^{\circ }$	${90}^{\circ }$
$\sin$	$0$	$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$	$1$
$\cos$	$1$	$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$	$0$
$\tan$	$0$	$2-\sqrt{3}$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$1$	$\sqrt{3}$	$2+\sqrt{3}$	$\text{Null}$

三角函數應用

1. 如果已知斜邊長度，假設為
   $c$，且知道斜邊與鄰邊夾角度數為
   $\theta$ 度，則鄰邊長度為
   $\cos \theta \cdot c$、對邊長度為
   $\sin \theta \cdot c$。
2. 如果已知鄰邊長度為
   $b$，且知道斜邊與鄰邊夾角度數為
   $\theta$ 度，則對邊長度為
   $\tan \theta \cdot b$、斜邊長度為
   $\sec \theta \cdot b$。
3. 如果已知對邊長度為
   $a$，且知道斜邊與鄰邊夾角度數為
   $\theta$ 度，則鄰邊長度為
   $\cot \theta \cdot a$、斜邊長度為
   $\csc \theta \cdot a$。

畢氏恆等式（Pythagorean identity）

• ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$
• $1+{\tan }^2\theta ={\sec }^2\theta$
• $1+{\cot }^2\theta ={\csc }^2\theta$

${\sin }^2\theta$ means

$(\sin \theta {)}^2$；推導可以從畢氏定理過去推。

三角函數和角公式（Angle sum identities）

• $\sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta$
• $\cos (\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta$
• $\tan (\alpha +\beta )=\frac{\tan \alpha +\tan \beta }{1-\tan \alpha \tan \beta }$

三角函數差角公式（Angle difference identities）

• $\sin (\alpha -\beta )=\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta$
• $\cos (\alpha -\beta )=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta$
• $\tan (\alpha -\beta )=\frac{\tan \alpha -\tan \beta }{1+\tan \alpha \tan \beta }$

二倍角公式（Double-angle formulae）

• $\sin (2\theta )=2\sin \theta \cos \theta =\frac{2\tan \theta }{1+{\tan }^2\theta }$
• $\cos (2\theta )={\cos }^2\theta -si{n}^2\theta =2{\cos }^2\theta -1=1-2{\sin }^2\theta =\frac{1-{\tan }^2\theta }{1+{\tan }^2\theta }$
• $\tan (2\theta )=\frac{2\tan \theta }{1-{\tan }^2\theta }$
• $\cot (2\theta )=\frac{{\cot }^2\theta -1}{2\cot \theta }$
• $\sec (2\theta )=\frac{{\sec }^2\theta }{2-{\sec }^2\theta }$
• $\csc (2\theta )=\frac{\sec \theta \csc \theta }{2}$

三角函數微分

• $$\begin{gathered} (\sin x{)}^{\prime }={\displaystyle \underset{h\to 0}{lim}\frac{\sin (x+h)-\sin x}{h}} \\ ={\displaystyle \underset{h\to 0}{lim}\frac{\sin x\cos h+\cos x\sin h-\sin x}{h}} \\ ={\displaystyle \underset{h\to 0}{lim}\frac{\sin x(\cos h-1)+\cos x\sin h}{h}} \\ ={\displaystyle \underset{h\to 0}{lim}\sin x\frac{\cos h-1}{h}+\cos x\frac{\sin h}{h}} \\ =\sin x\cdot 0+\cos x\cdot 1 \\ =\cos x \end{gathered}$$

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