# 三角函數（Trigonometric functions）


## 定義
假設三角形的對邊（Opposite）為 $a$、鄰邊（Adjacent）為 $b$、斜邊（Hypotenuse）為 $c$，則：
* 正弦（Sine）：$\sin{\theta} = \frac{a}{c}$
* 餘弦（Cosine）：$\cos{\theta} = \frac{b}{c}$
* 正切（Tangent）：$\tan{\theta} = \frac{a}{b}$
* 餘切（Cotangent）：$\cot{\theta} = \frac{b}{a}$
* 正割（Secant）：$\sec{\theta} = \frac{c}{b}$
* 餘割（Cosecant）：$\csc{\theta} = \frac{c}{a}$

| | $0^\circ$ | $15^\circ$ | $30^\circ$ | $45^\circ$ | $60^\circ$ | $75^\circ$ | $90^\circ$ |
| -------- | -------- | -------- | -------- | -------- | -------- | -------- | -------- |
| $\sin$ | $0$ | $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ | $\frac{1}{2}$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ | $1$ |
| $\cos$ | $1$ | $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $\frac{1}{2}$ | $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ | $0$ |
| $\tan$ | $0$ | $2 - \sqrt{3}$ | $\frac{\sqrt{3}}{3}$ | $1$ | $\sqrt{3}$ | $2 + \sqrt{3}$ | $\text{Null}$ |

## 三角函數應用
1. 如果已知斜邊長度，假設為 $c$，且知道斜邊與鄰邊夾角度數為 $\theta$ 度，則鄰邊長度為 $\cos{\theta} \cdot c$、對邊長度為 $\sin{\theta} \cdot c$。
2. 如果已知鄰邊長度為 $b$，且知道斜邊與鄰邊夾角度數為 $\theta$ 度，則對邊長度為 $\tan{\theta} \cdot b$、斜邊長度為 $\sec{\theta} \cdot b$。
3. 如果已知對邊長度為 $a$，且知道斜邊與鄰邊夾角度數為 $\theta$ 度，則鄰邊長度為 $\cot{\theta} \cdot a$、斜邊長度為 $\csc{\theta} \cdot a$。

## 畢氏恆等式（Pythagorean identity）
* $\sin^2{\theta} + \cos^2{\theta} = 1$
* $1 + \tan^2{\theta} = \sec^2{\theta}$
* $1 + \cot^2{\theta} = \csc^2{\theta}$
> $\sin^2{\theta}$ means $(\sin{\theta})^2$；推導可以從畢氏定理過去推。

## 三角函數和角公式（Angle sum identities）
* $\sin(\alpha + \beta) = \sin{\alpha}\cos{\beta} + \cos{\alpha}\sin{\beta}$
* $\cos(\alpha + \beta) = \cos{\alpha}\cos{\beta} - \sin{\alpha}\sin{\beta}$
* $\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan{\alpha} + \tan{\beta}}{1 - \tan{\alpha}\tan{\beta}}$

## 三角函數差角公式（Angle difference identities）
* $\sin(\alpha - \beta) = \sin{\alpha}\cos{\beta} - \cos{\alpha}\sin{\beta}$
* $\cos(\alpha - \beta) = \cos{\alpha}\cos{\beta} + \sin{\alpha}\sin{\beta}$
* $\tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan{\alpha} - \tan{\beta}}{1 + \tan{\alpha}\tan{\beta}}$

## 二倍角公式（Double-angle formulae）
* $\sin(2\theta) = 2\sin{\theta}\cos{\theta} = \frac{2\tan{\theta}}{1 + \tan^2{\theta}}$
* $\cos(2\theta) = \cos^2{\theta} - sin^2{\theta} = 2\cos^2{\theta} - 1 = 1 - 2\sin^2{\theta} = \frac{1 - \tan^2{\theta}}{1 + \tan^2{\theta}}$
* $\tan(2\theta) = \frac{2\tan{\theta}}{1 - \tan^2{\theta}}$
* $\cot(2\theta) = \frac{\cot^2{\theta} - 1}{2\cot{\theta}}$
* $\sec(2\theta) = \frac{\sec^2{\theta}}{2 - \sec^2{\theta}}$
* $\csc(2\theta) = \frac{\sec{\theta}\csc{\theta}}{2}$

## 三角函數微分
* $(\sin{x})' = \displaystyle\lim_{h\to0}\frac{\sin{(x+h)-\sin{x}}}{h} \\ = \displaystyle\lim_{h\to0}\frac{\sin{x}\cos{h}+\cos{x}\sin{h}-\sin{x}}{h} \\ = \displaystyle\lim_{h\to0}\frac{\sin{x}(\cos{h}-1)+\cos{x}\sin{h}}{h} \\ = \displaystyle\lim_{h\to0}\sin{x}\frac{\cos{h}-1}{h} + \cos{x}\frac{\sin{h}}{h} \\ = \sin{x} \cdot 0 + \cos{x} \cdot 1 \\ = \cos x$

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