圓與橢圓的幾何知識

圓（Circle）

最基礎的形狀不用多說，國中的時候就教過了，圓的標準方程式為：

$$(x-h{)}^2+(y-k{)}^2=r^2$$
其中

$r$ 代表圓的半徑，而圓心的位置位於

$(h,k)$。

在OpenGL中，你可以使用

$x=r\cos \theta$ 和

$y=r\sin \theta$ 位移的方式讓物體呈現圓周方式運動，其原理就是透過三角函數（單位圓）所導出的，同時這也稱之為參數方程式（Parametric Equation）。

圓參數（Circle Parameters）

• 半徑（Radius）：圓心到圓周上的距離，記做
  $r$。
• 直徑（Diameter）：半徑的兩倍就是直徑，記做
  $d$ 或
  $2r$。
• 圓心（Centre）：在圓的中心。（廢話）
• 圓周（Circumference）：圓一周的長度，為
  $2\pi r$。

$\pi$ 是圓周率，大約為3.141596。

• 弧（Arc）：圓周上任兩點的部分叫弧。
• 弦（Chord）：圓周上任兩點連接的線段叫弦。
• 切線（Tangent）：代表此線段與圓只有一個交點，切線必定與半徑或直徑垂直。
• 割線（Secant）：代表此線段與圓周上有兩個交點。

• 面積（Area）算法為：
  $\pi r^2$

圓是

${360}^{\circ }$（角度制，Degree），如果是弧度（或稱徑度，Radian）則為

$2\pi$，單位弧度被定義為半徑與弧度長為1，算換公式為

$$Rad=Deg\cdot \frac{\pi }{180}$$

• 扇形（Sector）：圓上兩條半徑與之間的弧所構成的形狀。
• 弓形（Segment）：圓上一條割線與弧之間所構成的形狀。

• 圓心角（Central Angle）：頂點在圓心的角，圓心角的度數等於它所對的弧的度數，公式如下：
  
  $$\begin{gathered} L=\theta r(\mathrm{弧}\mathrm{度}\mathrm{制}) \\ L=2\pi r\cdot \frac{\theta }{{360}^{\circ }}(\mathrm{角}\mathrm{度}\mathrm{制}) \end{gathered}$$
• 圓周角（Inscribed Angle）：頂點在圓周上的角，圓周角大小為對同弧的圓心角一半。
  

橢圓（Ellipse）

Oval 與 Ellipse 翻譯成中文都叫橢圓，在英文裡的意思也沒有差別，只是在數學定義中 Ellipse 是有定義的且有嚴謹的規則；而 Oval 可以是比較接近蛋形，而非數學上的正規橢圓。

我們回顧一下數學上的圓的定義，你選定一個點當圓心，然後選定一個距離當半徑，然後畫一圈，我們就可以得到一個圓（圓規）；橢圓的原理則是，你必須要先選定兩個焦點（Focus），並用兩條繩子各自在兩個點綁起來，並剩下的一端都綁在筆上，接著將繩子拉直並畫一圈就可以得到橢圓。

橢圓的方程式為：

$$\frac{(x-h{)}^2}{a^2}+\frac{(y-k{)}^2}{b^2}=1$$
其中，a為半長軸，b為半短軸，中心點位於

$(h,k)$。

參數方程式為：

$x=a\cos \theta$ 和

$y=b\sin \theta$。

橢圓參數（Ellipse Parameters）

• 焦點（Focus）：定義橢圓的基本要點，單數稱Focus，兩個一起稱Foci。

在橢圓圓周上的任一點與兩個焦點的距離加總都是一樣的，且剛好就是長軸的長度。

• 長軸（Major Axis）：穿過橢圓兩個的焦點為線段為長軸，是橢圓中最長的直徑。
• 短軸（Minor Axis）：平分且垂直長軸的線段為短軸，是橢圓中最短的直徑。
• 半長軸（Semi-major Axis）：長軸的一半，最長的半徑，通常記做
  $a$。
• 半短軸（Semi-minor Axis）：短軸的一半，最短的半徑，通常記做
  $b$。
• 中心（Centre）：長軸與短軸的交界之處，位置為
  $(h,k)$。
• 線性離心率（Linear Eccentricity）：也可稱半焦距，指中心到任一焦點的距離，通常記做為
  $c$，公式為：
  $$c=\sqrt{a^2-b^2}$$
• 離心率（Eccentricity）：表達橢圓的形狀，值小於1到等於0，如果等於0代表為圓，所以說圓是橢圓的一種，如果等於1就會變成拋物線，大於1就會變成雙曲線，計算公式如下：
  $$e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}=\frac{c}{a}$$

• 面積（Area）：
  $A=\pi ab$，非常簡單。
• 周長（Perimeter）：太複雜了，有時間再來研究，有興趣的讀者可以詳讀這篇文章。
• 切線（Tangent）：一條線與橢圓上只有一個交點，且兩邊角的度數是一樣的。
  

圓錐曲線（Conic Section）

對於橢圓在數學上有一個很有趣的看法，我們可以用一個平面和一個正圓錐完整相切後，會發現在平面上所得到的曲線可以是圓（Circle）、橢圓（Ellipse）、拋物線（Parabola）和雙曲線（Hyperbola），這完全取決於你切平面的角度以及位置，這個東西就叫做圓錐曲線（Conic Section）。

圖中1為拋物線、2上為橢圓、下為圓、3為雙曲線。

定義上來說，通常會需要三個參數，分別是：焦點、準線以及離心率。

• 焦點（Focus）：一個定點，通常記做
  $F$。
• 準線（Directrix）：一條直線，通常記做
  $\bar{L}$。
• 離心率（Eccentricity）：一個常數，通常記做
  $e$。
  圓錐曲線就是滿足以下公式的動點
  $P$ 的軌跡，公式如下：
  $$\frac{|PF|}{|PL|}=e$$
  

圓錐參數（Conic Parameters）

因為圓錐曲線是在探討圓、橢圓、拋物線和雙曲線，所以說參數上會跟橢圓有所出入，以下是參數的介紹：

• 主軸（Principal Axis）：連接兩個焦點的線段，只能在橢圓和雙曲線中找到，拋物線沒有主軸。
• 線性離心率（Linear Eccentricity）：中心與焦點的距離，記做
  $c$。
• 正焦弦（Latus Rectum）：平行於準線且通過焦點的弦，其長度隨著不同的形狀有不同的變化：
  1. 如果是圓，則長度為該圓的直徑，或者是
     $2a$。
  2. 如果是橢圓，則長度為
     $2\frac{b^2}{a}$。
  3. 如果是拋物線，則長度為
     $4a$。
  4. 如果是雙曲線，則長度為
     $2\frac{b^2}{a}$。

這裡的

$a$ 代表為半長軸，

$b$ 為半短軸。

• 半正焦弦（Semi-latus rectum）：正焦弦的一半，記做
  $\ell$ 。
• 焦點準線距離（Focal Parameter）：焦點到準線的距離，通常記做
  $p$，其長度隨著不同的形狀有不同的變化：
  1. 如果是圓，則長度為
     $\mathrm{\infty }$。
  2. 如果是橢圓，則長度為
     $\frac{b^2}{\sqrt{a^2-b^2}}$。
  3. 如果是拋物線，則長度為
     $2a$。
  4. 如果是雙曲線，則長度為
     $\frac{b^2}{\sqrt{a^2+b^2}}$。
• 長軸（Major Axis）：對於不同的形狀有不同的定義：
  1. 如果是圓，則代表直徑。
  2. 如果是橢圓，則代表通過兩個焦點並與橢圓周長有兩交點的弦，也是代表橢圓最長的弦。
  3. 如果是拋物線，似乎不存在[待考證]。
  4. 如果是雙曲線，則代表兩個曲線之間最短的距離。
• 短軸（Minor Axis）：
  1. 如果是圓，則代表半徑。
  2. 如果是橢圓，則代表是橢圓的最短的直徑。
  3. 如果是拋物線，似乎不存在[待考證]。
  4. 如果是雙曲線，似乎不存在[待考證]。
• 半長軸（Semi-major Axis）：長軸的一半，記做
  $a$。
• 半短軸（Semi-minor Axis）：短軸的一半，記做
  $b$。

極座標（Polar Coordinate System）

極座標是一個二維空間坐標系統，此坐標的原點稱之為極點（Pole），而此坐標系中只有一個軸稱之為極軸（Pole Axis），在這個坐標系只需要一個夾角和相對於極點的距離來表示即可。

因為在直角坐標系中，要表示曲線只能用三角函數來表達，對於一些複雜的曲線在這個坐標系可以以很簡單的方式呈現。

橢圓的極座標

橢圓的極座標方程式如下：

$$r=\frac{\ell }{(1+e\cos \theta )}$$
其中，

$\ell$ 為半正焦弦、

$e$ 為離心率、

$\theta$ 為相對於極軸的夾角，這個

$r$ 就是我們橢圓的半徑，它會隨著不同夾角時會有不同的長短。
可以知道的是，當

$\theta$ 為

$0^{\circ }$ 時，

$\cos \theta =1$ ，則：

$$r_{min}=\frac{\ell }{(1+e)}$$
而當

$\theta$ 為

${90}^{\circ }$ 或

${270}^{\circ }$ 時，

$\cos \theta =0$ ，則：

$$r=\ell$$
最後當

$\theta$ 為

${180}^{\circ }$ 時，

$\cos \theta =-1$ ，則：

$$r_{max}=\frac{\ell }{(1-e)}$$
如此一來我們就可以透過極座標的放式來繪製橢圓。

這張圖中的半正焦弦是用

$p$ 來表示，我懶得做圖了哈哈，所以不要搞混了。

克卜勒定理（Kepler's Law）

算術平均數、幾何平均數、調和平均數

Reference

https://en.wikipedia.org/wiki/Circle
https://en.wikipedia.org/wiki/Ellipse
https://www.mathsisfun.com/geometry/ellipse.html
https://en.wikipedia.org/wiki/Conic_section
https://www.mathsisfun.com/geometry/conic-sections.html
https://en.wikipedia.org/wiki/Polar_coordinate_system

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