tags: Algebra

代數導論 (4) - Subgroup

• 代數導論 (4) - Subgroup
  • 定義：Subgroup
    • 性質：等價條件
    • 性質：Homo 保 subgroup
    • 例子：Homomorphism 的 Kernel
    • 例子：Cyclic Subgroup
  • 定義：Normal Subgroup
    • 等價條件 1
    • 等價條件 2
    • 例子：群的 Center
    • 例子：Homomorphism 的 Kernel

定義：Subgroup

Def (Subgroup)

假定

$G$ 是一個 group，

$H\subset G$。假定

$H$ 滿足下面 3 個性質：

1. $G$ 的單位元在
   $H$ 裡面：
   
   $$\boxed{{\displaystyle I_G\in H}}$$

2. $H$ 的反元素都在
   $H$ 中：對於任意
   $a\in H$，有：
   
   $$\boxed{{\displaystyle a^{-1}\in H}}$$

3. 封閉性：對於任意

   $a,b\in H$，有：
   
   $$\boxed{{\displaystyle a\cdot b\in \mathbb{H}}}$$

則稱

$H$ 是一個

$G$ 的子群。用「

$H\le G$」來表示「

$H$ 是

$G$ 的 subgroup」。

性質：等價條件

Lemma (Subgroup 的等價條件)

假定

$G$ 是一個 group，

$H\subseteq G$。則「

$H$ 是

$G$ 的子群」跟「對於任意

$a,b\in H$，有

$a{b}^{-1}\in H$」等價：

$$\begin{array}{rl}& H\le G\\ & ⟺\mathrm{\forall }a,b\in H.a{b}^{-1}\in H\end{array}$$

「

$\Rightarrow$」：這是顯然的方向。由子群的定義，若

$H\le G$，則

$b^{-1}\in H$。再由子群定義所保證的封閉性，因此

$a{b}^{-1}\in H$。

「

$\Leftarrow$」：

1. 首先，隨便挑一個

   $a\in H$。令
   $a=b$，則：
   
   $$a\cdot a^{-1}=I_G\in G$$
   因此，
   $G$ 的單位元在
   $H$ 中。

2. 接著令

   $a=I_G$，則對於任意
   $b\in H$，有：
   
   $$\begin{array}{rl}a\cdot b^{-1}& =I_G\cdot b^{-1}\\ & =b^{-1}& \in H\end{array}$$
   因此，任意
   $H$ 中元素的反元素都在
   $H$ 中。

3. 最後，對於任意

   $a,b\in H$，有：
   
   $$a\cdot b=a\cdot (b^{-1}{)}^{-1}\in H$$
   由此得證封閉性。

性質：Homo 保 subgroup

Lemma：假定

$G,G^{\prime }$ 是兩個 group，

$\varphi :G\to G^{\prime }$ 是個 homomorphism。則：

1. Homomorphism 保子群：
   

   $$\boxed{{\displaystyle H\le G\Rightarrow \varphi (H)\le \varphi (G)}}$$

2. Homomorphism 的原像保子群：
   

   $$\boxed{{\displaystyle H^{\prime }\le G^{\prime }\Rightarrow {\varphi }^{pre}(H^{\prime })\le G}}$$

   其中，

   ${\varphi }^{pre}(H^{\prime })$ 定義為：
   $${\varphi }^{pre}(H^{\prime })=\{g\in G:\varphi (g)\in H^{\prime }\}$$

這邊引入了 preimage 的概念。一個函數

$f:A\to B$，其對應域中某集合

$U\subseteq B$ 的原像 (preimage)

$f^{pre}(U)$ 定義為：

$$f^{pre}(U)=\{a\in A:f(a)\in U\}$$

$f^{pre}(u)$ 這個集合有時候會寫成

$f^{-1}(u)$ 。不過這樣的符號可能造成困惑，因為看起來就像是反函數存在一樣。但由 preimage 的定義可知：就算

$f$ 不存在反函數，preimage 的定義仍然 well-defined。因此，使用

$f^{-1}(U)$ 這個符號就可能會產生

$f^{-1}(U)$ 有定義，但

$f^{-1}(u)$ 沒有定義的弔詭狀況。

首先證明 1. 。依照

$H\le G$ 的定義：對於任意

$a,b\in H$，都有：

$$a{b}^{-1}\in H$$

而證明的目標是：

$$\varphi (a)\varphi (b{)}^{-1}\in \varphi (H)$$

首先，利用 Homomorphism 的性質，可以把目標改寫成：

$$\varphi (a)\varphi (b{)}^{-1}=\varphi (a{b}^{-1})\in H$$

但既然

$a,b\in H$，而

$H$ 又是一個子群，所以

$a{b}^{-1}\in H$。因此：

$$a{b}^{-1}\in H\Rightarrow \varphi (a{b}^{-1})\in \varphi (H)$$

所以得證：

$$\varphi (a{b}^{-1})=\varphi (a)\varphi (b{)}^{-1}\in \varphi (H)$$

而對於第 2. 點，任取

$a^{\prime },b^{\prime }\in H^{\prime }$。對於任意使得：

$$\begin{array}{rl}\varphi (a)& =a^{\prime }\\ \varphi (b)& =b^{\prime }\end{array}$$

成立的

$a,b\in {\varphi }^{pre}(H^{\prime })$，目標是證明

$$a{b}^{-1}\in {\varphi }^{pre}(H^{\prime })$$

或是說：

$$\varphi (a{b}^{-1})\in H^{\prime }$$

利用 homormorphism 的性質拆開：

$$\varphi (a{b}^{-1})=\varphi (a)\varphi (b{)}^{-1}$$

接著，利用

$H^{\prime }$ 這個子群的封閉性，有：

$$\varphi (a)\varphi (b{)}^{-1}=(a^{\prime })(b^{\prime }{)}^{-1}\in H^{\prime }$$

得證：

$$\begin{array}{rl}& \varphi (a{b}^{-1})\in H^{\prime }\\ & \Rightarrow a{b}^{-1}\in {\varphi }^{pre}(H^{\prime })\end{array}$$

例子：Homomorphism 的 Kernel

Prop (Kernel 是個子群)

假定

$G,G^{\prime }$ 是兩個 group，且：

$$\varphi :G\to G^{\prime }$$

是個 homomorphism。則以下集合：

$$\boxed{{\displaystyle \ker \varphi =\{x\in G:\varphi (x)=I^{\prime }\}}}$$

是個

$G$ 中的子群(其中，

$I^{\prime }$ 是

$G$ 中的單位元)。即：

$$\ker \varphi \le G$$

並且該集合稱作

$\varphi$ 的 kernel。

這個證明很容易，假定

$a,b$ 滿足：

$$\varphi (a)=\varphi (b)=1$$

則：

$$\begin{array}{rl}\varphi (a{b}^{-1})& =\varphi (a)\varphi (b{)}^{-1}\\ & =(I^{\prime })(I^{\prime }{)}^{-1}=I^{\prime }\end{array}$$

例子：Cyclic Subgroup

假定

$G$ 是一個 group，且

$a\in G$。定義以下集合：

$$⟨a⟩=\{a^n:n\in \mathbb{Z}\}$$

其中，

$a^n$ 定義為：

$$a^n=\{\begin{array}{ll}(a^1{)}^n& \text{if }n>0\\ 1& \text{if }n=0\\ (a^{-1}{)}^{-n}& \text{if }n<0\end{array}$$

則

$⟨a⟩$，是一個

$G$ 的子群。即：

$$⟨a⟩\le G\mathrm{\forall }a\in G$$

定義：Normal Subgroup

$G$ 是一個 group，

$H\le G$。假定更進一步，對於任意

$g\in H$，有：

$$\boxed{{\displaystyle gH{g}^{-1}\subseteq H}}$$

並且記成：

$$\boxed{{\displaystyle H⊲G}}$$

則稱

$H$ 是一個

$G$ 的 normal subgroup。其中，

$gH{g}^{-1}$ 的定義為：

$$\boxed{{\displaystyle gH{g}^{-1}=\{gh{g}^{-1}:h\in H\}}}$$

把某一個元素

$h$ 夾上另外一個元素

$g$ 所生成的元素

$gh{g}^{-1}$ 稱作「conjugate of h by g」。

舉例來說，假定

$\varphi$ 是個 homomorphism，則

$\ker \varphi$ 就一個 normal subgroup。因為：

$$\begin{array}{rl}\varphi (a)=1\Rightarrow \varphi (ga{g}^{-1})& =\varphi (g)\varphi (a)\varphi (g^{-1})\\ & =\varphi (g)\cdot 1\cdot \varphi (g{)}^{-1}\\ & =1\end{array}$$

其中，用了

$\varphi (a)=1$ 以及

$\varphi (g^{-1})=\varphi (g{)}^{-1}$。

等價條件 1

假定

$G$ 是一個 Group，

$H\subseteq G$。則：

$$H⊲G⟺gH{g}^{-1}=H\mathrm{\forall }g\in G$$

這個等價條件比較強，也保證比較多性質，所以使用場合可能是已知

$H$ 是 normal subgroup ，想要比好操縱的性質時。而如果僅僅是要驗證是否為 normal subgoup，就用原先的定義就好。

首先，依照原始的定義，已經有：

$$gH{g}^{-1}\subseteq H$$

因此，只剩另外一個方向的證明需要證：

$$H\subseteq gH{g}^{-1}$$

但既然對於任意

$h\in H$，有：

$$h=g(g^{-1}hg)g^{-1}$$

而且更進一步，由 normal subgroup 的定義可知：

$(g^{-1}hg)\in H$。因為：

$$\begin{array}{rl}(g^{-1}hg)& =(g^{-1})h(g^{-1}{)}^{-1}\\ & \in (g^{-1})H(g^{-1}{)}^{-1}\\ & \subseteq H\end{array}$$

既然如此，依照

$gH{g}^{-1}$ 的定義可知：

$$h=g\underset{\in H}{\underbrace{(g^{-1}hg)}}{g}^{-1}\in gH{g}^{-1}$$

等價條件 2

假定

$G$ 是一個群，

$H\le G$。則下列敘述是等價的：

$$\begin{array}{rl}xH{x}^{-1}& \subseteq H\mathrm{\forall }x\in G\\ xH{x}^{-1}& \in H\mathrm{\forall }x\in G\\ Hx& =xH\mathrm{\forall }x\in G\end{array}$$

前面兩個已經證明是等價的。而最後一條說：如果

$H$ 是一個 normal subgroup，那麼他的 left coset 跟 right coset 是同樣的東西。

第 2 條到第 3 等價也滿明顯的。因為如果任意

$h\in H$ 都有：

$$h=x{h}^{\prime }{x}^{-1}(h^{\prime }\in H)$$

的形式，那麼很明顯地：

$$\begin{array}{rl}hx& =(x{h}^{\prime }{x}^{-1})x=x{h}^{\prime }\in xH\end{array}$$

而 3 到 1 也是類似。對於任意

$h\in H$，以及任意

$x\in G$，已知

$hx\in xH$。也就是說：存在

$h^{\prime }\in H$，使得：

$$hx=x{h}^{\prime }$$

但這就是在說：對於任意

$h\in H$，以及任意的

$x\in G$，有：

$$x^{-1}hx\in H$$

但既然

$x$ 是任意的，把他的角色用

$x^{-1}$ 取代，就可以回到

$1$ 了。

例子：群的 Center

假定

$G$ 是一個群。定義

$G$ 的 center

$Z(G)$ 為以下集合：

$$Z(G)=\{h\in G\mid gh{g}^{-1}=h\mathrm{\forall }g\in G\}$$

則

$Z(G)$ 是一個

$G$ 的 normal subgroup：

$$Z(G)⊲G$$

這其實是超級明顯的例子：因為對任何元素取 conjugate 之後，都跟取之前一樣，所以當然都會在元集合裡面。

例子：Homomorphism 的 Kernel

假定

$\varphi :G\to G^{\prime }$ 是一個 homomorphism，則：

$$\ker \varphi ⊲G$$

這個直接爆開。對於任意

$k\in \ker \varphi$，有：

$$\begin{array}{rl}\varphi (gk{g}^{-1})& =\varphi (g)\varphi (k)\varphi (g^{-1})\\ & =\varphi (g)\varphi (g^{-1})\\ & =\varphi (g{g}^{-1})\\ & =\varphi (1)\\ & =1\end{array}$$

因此得證：

$$k\in \ker \varphi \Rightarrow gh{g}^{-1}\in \ker \varphi \mathrm{\forall }g\in G$$