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# 代數導論 (4) - Subgroup

[TOC]

## 定義：Subgroup
:::warning

**Def (Subgroup)**

假定 $G$ 是一個 *group*，$H \subset G$。假定 $H$ 滿足下面 3 個性質：

1. ++$G$ 的單位元在 $H$ 裡面++：
$$
\boxed{I_{G} \in H}
$$

2. ++$H$ 的反元素都在 $H$ 中++：對於任意 $a \in H$，有：
$$
\boxed{a^{-1} \in H}
$$

3. ++封閉性++：對於任意 $a, b \in H$，有：
$$
\boxed{a \cdot b \in \mathbb H}
$$

則稱 $H$ 是一個 $G$ 的子群。用「$H \leq G$」來表示「$H$ 是 $G$ 的 *subgroup*」。
:::

### 性質：等價條件

:::warning
**Lemma (Subgroup 的等價條件)**

假定 $G$ 是一個 *group*，$H \subseteq G$。則「$H$ 是 $G$ 的子群」跟「對於任意 $a, b \in H$，有 $ab^{-1} \in H$」等價：

$$
\begin{align}
& H \leq G \newline
&\iff \forall a, b \in H. ab^{-1} \in H
\end{align}
$$
:::

「$\Rightarrow$」：這是顯然的方向。由子群的定義，若 $H \leq G$，則 $b^{-1} \in H$。再由子群定義所保證的封閉性，因此 $ab^{-1} \in H$。

「$\Leftarrow$」：

1. 首先，隨便挑一個 $a \in H$。令 $a = b$，則：
$$
a \cdot a^{-1} = I_G \in G
$$
因此，$G$ 的單位元在 $H$ 中。

2. 接著令 $a = I_G$，則對於任意 $b \in H$，有：
$$
\begin{align}
a \cdot b^{-1} &= I_G \cdot b^{-1}
\newline
&= b^{-1} &\in H
\end{align}
$$
因此，任意 $H$ 中元素的反元素都在 $H$ 中。

3. 最後，對於任意 $a, b \in H$，有：
$$
a \cdot b = a\cdot (b^{-1})^{-1} \in H
$$
由此得證封閉性。

### 性質：Homo 保 subgroup

:::danger
**Lemma**：假定 $G, G'$ 是兩個 *group*，$\phi : G \to G'$ 是個 *homomorphism*。則：

1. ++Homomorphism 保子群++：
$$
\boxed{H \leq G \Rightarrow \phi(H) \leq \phi(G)}
$$

2. ++Homomorphism 的原像保子群++：
$$
\boxed{H' \leq G' \Rightarrow \phi^{pre}(H') \leq G}
$$

其中，$\phi^{pre}(H')$ 定義為：

$$
\phi^{pre}(H') = \{g \in G : \phi(g) \in H'\}
$$
:::

這邊引入了 *preimage* 的概念。一個函數 $f : A \to B$，其對應域中某集合 $U \subseteq B$ 的原像 (preimage) $f^{pre}(U)$ 定義為：

$$
f^{pre}(U) = \{a \in A : f(a) \in U\}
$$

$f^{pre}(u)$ 這個集合有時候會寫成 $f^{-1}(u)$ 。不過這樣的符號可能造成困惑，因為看起來就像是反函數存在一樣。但由 *preimage* 的定義可知：就算 $f$ 不存在反函數，*preimage* 的定義仍然 *well-defined*。因此，使用 $f^{-1}(U)$ 這個符號就可能會產生 $f^{-1}(U)$ 有定義，但 $f^{-1}(u)$ 沒有定義的弔詭狀況。

首先證明 1. 。依照 $H \leq G$ 的定義：對於任意 $a, b \in H$，都有：

$$
ab^{-1} \in H
$$

而證明的目標是：

$$
\phi(a)\phi(b)^{-1} \in \phi(H)
$$

首先，利用 *Homomorphism* 的性質，可以把目標改寫成：

$$
\phi(a)\phi(b)^{-1} = \phi(ab^{-1}) \in H
$$

但既然 $a, b \in H$，而 $H$ 又是一個子群，所以 $ab^{-1} \in H$。因此：

$$
ab^{-1} \in H \Rightarrow \phi(ab^{-1}) \in \phi(H)
$$

所以得證：

$$
\phi(ab^{-1}) = \phi(a)\phi(b)^{-1} \in \phi(H)
$$

而對於第 2. 點，任取 $a', b' \in H'$。對於任意使得：

$$
\begin{align}
\phi(a) &= a'
\newline
\phi(b) &= b'
\end{align}
$$

成立的 $a, b \in \phi^{pre}(H')$，目標是證明

$$
ab^{-1} \in \phi^{pre}(H')
$$

或是說：

$$
\phi(ab^{-1}) \in H'
$$

利用 *homormorphism* 的性質拆開：

$$
\phi(ab^{-1}) = \phi(a)\phi(b)^{-1}
$$

接著，利用 $H'$ 這個子群的封閉性，有：

$$
\phi(a)\phi(b)^{-1} = (a')(b')^{-1} \in H'
$$

得證：

$$
\begin{align}
&\phi(ab^{-1}) \in H'
\newline
&\Rightarrow ab^{-1} \in \phi^{pre}(H')
\end{align}
$$

### 例子：Homomorphism 的 Kernel

:::danger

**Prop (Kernel 是個子群)**

假定 $G, G'$ 是兩個 *group*，且：

$$
\phi : G \to G'
$$

是個 *homomorphism*。則以下集合：

$$
\boxed{\ker \phi = \{x \in G : \phi(x) = I'\}}
$$

是個 $G$ 中的子群(其中，$I'$ 是 $G$ 中的單位元)。即：

$$
\ker \phi \leq G
$$

並且該集合稱作 $\phi$ 的 *kernel*。

:::

這個證明很容易，假定 $a, b$ 滿足：

$$
\phi(a) = \phi(b) = 1
$$

則：

$$
\begin{align}
\phi(ab^{-1}) &= \phi(a)\phi(b)^{-1}
\newline
&= (I')(I')^{-1} = I'
\end{align}
$$

### 例子：Cyclic Subgroup

:::danger
假定 $G$ 是一個 *group*，且 $a \in G$。定義以下集合：

$$
\langle a \rangle = \{a^{n} : n \in \mathbb Z\}
$$

其中，$a^{n}$ 定義為：

$$
a^{n} = \begin{cases}
(a^1)^n & \text{if } n > 0
\newline
1 & \text{if }n = 0
\newline
(a^{-1})^{-n} & \text{if } n < 0
\end{cases}
$$

則 $\langle a \rangle$，是一個 $G$ 的子群。即：

$$
\langle a \rangle \leq G \quad \forall a \in G
$$
:::

## 定義：Normal Subgroup

:::warning
$G$ 是一個 *group*，$H \leq G$。假定更進一步，對於任意 $g \in G$，有：

$$
\boxed{gHg^{-1} \subseteq H}
$$

並且記成：

$$
\boxed {H \lhd G}
$$

則稱 $H$ 是一個 $G$ 的 *normal subgroup*。其中，$gHg^{-1}$ 的定義為：

$$
\boxed{gHg^{-1} = \{ghg^{-1} : h \in H\}}
$$

:::

把某一個元素 $h$ 夾上另外一個元素 $g$ 所生成的元素 $ghg^{-1}$ 稱作「*conjugate of h by g*」。

舉例來說，假定 $\phi$ 是個 *homomorphism*，則 $\ker \phi$ 就一個 *normal subgroup*。因為：

$$
\begin{align}
\phi(a) = 1 \Rightarrow \phi(g a g^{-1}) &= \phi(g) \phi(a) \phi(g^{-1})
\newline
&= \phi(g) \cdot 1 \cdot \phi(g)^{-1}
\newline
&= 1
\end{align}
$$

其中，用了 $\phi(a) = 1$ 以及 $\phi(g^{-1}) = \phi(g)^{-1}$。

### 等價條件 1

:::warning
假定 $G$ 是一個 *Group*，$H \subseteq G$。則：

$$
H \lhd G \iff gHg^{-1} = H \quad \forall g \in G
$$
:::

這個等價條件比較強，也保證比較多性質，所以使用場合可能是已知 $H$ 是 *normal subgroup* ，想要比好操縱的性質時。而如果僅僅是要驗證是否為 *normal subgoup*，就用原先的定義就好。

首先，依照原始的定義，已經有：

$$
gHg^{-1} \subseteq H
$$

因此，只剩另外一個方向的證明需要證：

$$
H \subseteq gHg^{-1}
$$

但既然對於任意 $h \in H$，有：

$$
h = g(g^{-1}hg)g^{-1}
$$

而且更進一步，由 *normal subgroup* 的定義可知：$(g^{-1}hg) \in H$。因為：

$$
\begin{align}
(g^{-1}hg) &= (g^{-1})h(g^{-1})^{-1}
\newline
&\in (g^{-1})H(g^{-1})^{-1}
\newline
& \subseteq H
\end{align}
$$

既然如此，依照 $gHg^{-1}$ 的定義可知：

$$
h = g\underbrace{(g^{-1}hg)}_{\in H}g^{-1} \in gHg^{-1}
$$

### 等價條件 2

:::warning
假定 $G$ 是一個群，$H \leq G$。則下列敘述是等價的：

$$
\begin{align}
xHx^{-1} &\subseteq H \quad \forall x \in G
\newline
xHx^{-1} &\in H \quad \forall x \in G
\newline
Hx &= xH \quad \forall x \in G
\end{align}
$$
:::

前面兩個已經證明是等價的。而最後一條說：如果 $H$ 是一個 *normal subgroup*，那麼他的 *left coset* 跟 *right coset* 是同樣的東西。

第 2 條到第 3 等價也滿明顯的。因為如果任意 $h \in H$ 都有：

$$
h = xh'x^{-1} \quad (h' \in H)
$$

的形式，那麼很明顯地：

$$
\begin{align}
hx &= (xh'x^{-1})x = xh' \in xH
\end{align}
$$

而 3 到 1 也是類似。對於任意 $h \in H$，以及任意 $x \in G$，已知 $hx \in xH$。也就是說：存在 $h' \in H$，使得：

$$
hx = xh'
$$

但這就是在說：對於任意 $h \in H$，以及任意的 $x \in G$，有：

$$
x^{-1}hx \in H
$$

但既然 $x$ 是任意的，把他的角色用 $x^{-1}$ 取代，就可以回到 $1$ 了。

### 例子：群的 Center

:::danger
假定 $G$ 是一個群。定義 $G$ 的 *center* $Z(G)$ 為以下集合：

$$
Z(G) = \{h \in G \mid ghg^{-1} = h\ \forall g\in G\}
$$

則 $Z(G)$ 是一個 $G$ 的 *normal subgroup*：

$$
Z(G) \lhd G
$$

:::

這其實是超級明顯的例子：因為對任何元素取 *conjugate* 之後，都跟取之前一樣，所以當然都會在元集合裡面。

### 例子：Homomorphism 的 Kernel
:::danger
假定 $\phi : G \to G'$ 是一個 *homomorphism*，則：

$$
\ker \phi \lhd G
$$

:::

這個直接爆開。對於任意 $k \in \ker \phi$，有：

$$
\begin{align}
\phi(gkg^{-1}) &= \phi(g)\phi(k)\phi(g^{-1})
\newline
&= \phi(g)\phi(g^{-1})
\newline
&= \phi(gg^{-1})
\newline
&= \phi(1)
\newline
&= 1
\end{align}
$$

因此得證：

$$
k \in \ker \phi \Rightarrow ghg^{-1} \in \ker \phi \quad \forall g \in G
$$