Metric Space - Sequence and Convergence

有了距離，接下來很直覺的就會想到數列跟收斂要怎麼定義。所以就從序列開始：

序列

序列的定義很直覺，就是把一堆 metric space 中的東西照順序編號。跟實數中的數列看起來差不多：

Def (Sequence of Points)
一個 metric space 中的序列 (sequence) 是一個由 metric space 中的元素組成的清單：

$$p_1,p_2\dots$$

其中：

$$p_i\in M\mathrm{\forall }i$$

通常用：

$$\{p_i{\}}_{i=1}^{\mathrm{\infty }}$$

表示。

收斂

因為 metric space 上有距離的概念，所以很自然而然就會用這個距離去做出

$ϵ-\delta$ 的定義：

Def (序列收斂)
假定

$M$ 是一個 metric space，

$\{p_i\}\subset M$ 是一個序列。如果存在一個

$p\in M$，使得這個序列滿足：

$$\mathrm{\forall }ϵ>0.\mathrm{\exists }N\in \mathbb{N}.\mathrm{\forall }n>N.d(p_n,p)<ϵ$$
就稱

$\{p_n\}$ 收斂到

$p$，並且寫成：

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{p}_i=p$$
或是：

$$p_n\to p$$

注意目前只給了一個

$ϵ-\delta$ 的定義，但並沒有說這樣的

$p$ 是不是唯一的。並不是所有能夠談收斂的空間，極限都是唯一，比如說之後會看到的 topological space 中，如果拓樸亂訂的話，序列就可能有不唯一的極限。但很幸運地，在 metric space 中，這樣的極限是唯一的：

Lemma (Metric Space 中極限唯一)
假定

$M$ 是一個 metric space ，

$\{p_i\}\subset M$ 是一個序列。若存在

$p$ 滿足：

$$p_n\to p$$
則這樣的

$p$ 是唯一的。

假定

$p_n\to p$ 且

$p_n\to q$，表示存在

$N_1$ 及

$N_2$，使得：

$$\begin{array}{rl}& \mathrm{\forall }n>N_1.d(p_n,p)<ϵ\\ & \mathrm{\forall }n>N_2.d(p_n,q)<ϵ\end{array}$$

所以取：

$$N=max\{N_1,N_2\}$$

三角不等式一用就可以知道

$d(p,q)$ 可以任意接近 0 (為了方便後面就說「任意小」)：

$$\mathrm{\forall }n>N.d(p,q)\le d(p,p_n)+d(p_n,q)<2ϵ$$

若對於任意

$ϵ>0$，

$d(p,q)$ 都可以任意小，那麼

$d(p,q)=0$。因爲假定

$d(p,q)=l>0$，那麼取

$ϵ=l/2$，就會有：

$$d(p,q)<\frac{d(p,q)}{2}\Rightarrow d(p,q)<0$$

明顯是個矛盾。因此

$d(p,q)\le 0$。但 metric space 規定 ＄d(p, q) \geq 0＄，所以唯一的可能就是

$d(p,q)=0$，也就是

$p=q$。

子序列

Def (子序列)

$\{p_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ 是一個序列。若存在整數：

$$n_1<n_2<\cdots <n_k<\dots$$
使得序列

$\{q_i{\}}_{i=1}^{\mathrm{\infty }}\subseteq \{p_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ 滿足：

$$q_i=p_{n_i}$$
那麼就稱

$\{q_i\}$ 是

$\{p_i\}$ 的子序列。

這只是文謅謅的寫法。意思是把一個序列在前後順序不對調的狀況下，篩出一個子序列。

序列收斂則子序列收斂

Thm (母序列收斂則子列收斂)

$\{p_n\}$ 是一個序列。若：

$$p_n\to p$$
則任何

$\{p_n\}$ 的子序列都收斂到

$p$。

假定

$\{p_{n_k}{\}}_{k=0}^{\mathrm{\infty }}$ 是某個子序列，那麼對於任意

$k\in \mathbb{N}$，有：

$$k>N\Rightarrow n_k\ge N$$

這個觀察是來自於：母數列的下標是 1, 2, 3 … 間隔恰好是 1，可是取子序列時，取的間隔可能比 1 大。所以把換回母數列看時，累積起來的 index 就不會比

$N$ 小了。

接著由原數列收斂的定義知道：給定任意

$ϵ$，都存在

$N$，使得：

$$k>N\Rightarrow d(p_n,p)<ϵ$$

所以對於子序列，任何滿足

$k>N$ 的

$k$，都有：

$$n_k\ge k>N\Rightarrow d(p_{n_k},p)<ϵ$$