# Metric Space - Sequence and Convergence

有了距離，接下來很直覺的就會想到數列跟收斂要怎麼定義。所以就從序列開始：

## 序列

序列的定義很直覺，就是把一堆 *metric space* 中的東西照順序編號。跟實數中的數列看起來差不多：

:::warning
**Def (Sequence of Points)**
一個 *metric space* 中的序列 (*sequence*) 是一個由 *metric space* 中的元素組成的清單：
$$
p_1, p_2 \dots
$$

其中：

$$
p_i \in M \quad \forall i
$$

通常用：

$$
\{p_i\}_{i = 1}^{\infty}
$$

表示。
:::

## 收斂

因為 *metric space* 上有距離的概念，所以很自然而然就會用這個距離去做出 $\epsilon-\delta$ 的定義：

:::warning
**Def (序列收斂)**
假定 $M$ 是一個 *metric space*，$\{p_i\}\subset M$ 是一個序列。如果存在一個 $p\in M$，使得這個序列滿足：
$$
\forall \epsilon > 0.\exists N \in \mathbb N.\forall n > N.d(p_n, p)
< \epsilon$$
就稱 $\{p_n\}$ 收斂到 $p$，並且寫成：
$$
\lim_{n\to \infty}p_i = p
$$
或是：
$$
p_n \to p
$$
:::

注意目前只給了一個 $\epsilon-\delta$ 的定義，但並沒有說這樣的 $p$ 是不是唯一的。並不是所有能夠談收斂的空間，極限都是唯一，比如說之後會看到的 *topological space* 中，如果拓樸亂訂的話，序列就可能有不唯一的極限。但很幸運地，在 *metric space* 中，這樣的極限是唯一的：

:::danger
**Lemma (Metric Space 中極限唯一)**
假定 $M$ 是一個 *metric space* ，$\{p_i\} \subset M$ 是一個序列。若存在 $p$ 滿足：
$$
p_n \to p
$$
則這樣的 $p$ 是唯一的。
:::

假定 $p_n \to p$ 且 $p_n \to q$，表示存在 $N_1$ 及 $N_2$，使得：

$$
\begin{align}
& \forall n > N_1.d(p_n, p) < \epsilon \newline
& \forall n > N_2.d(p_n, q) < \epsilon
\end{align}
$$

所以取：

$$
N = \max\{N_1, N_2\}
$$

三角不等式一用就可以知道 $d(p, q)$ 可以任意接近 0 (為了方便後面就說「任意小」)：

$$
\forall n > N.d(p,q)\leq d(p, p_n) + d(p_n, q) < 2\epsilon
$$

若對於任意 $\epsilon > 0$，$d(p, q)$ 都可以任意小，那麼 $d(p, q) = 0$。因爲假定 $d(p, q) = l > 0$，那麼取 $\epsilon = l/2$，就會有：

$$
d(p, q) < \frac {d(p, q)}{2} \Rightarrow d(p, q) < 0
$$

明顯是個矛盾。因此 $d(p, q) \leq 0$。但 *metric space* 規定 ＄d(p, q) \geq 0＄，所以唯一的可能就是 $d(p, q) = 0$，也就是 $p = q$。

## 子序列

:::warning
**Def (子序列)**
$\{p_n\}_{n = 1}^{\infty}$ 是一個序列。若存在整數：
$$
n_1 < n_2 < \dots <n_k < \dots
$$
使得序列 $\{q_i\}_{i = 1}^{\infty} \subseteq \{p_n\}_{n = 1}^{\infty}$ 滿足：
$$
q_i = p_{n_i}
$$
那麼就稱 $\{q_i\}$ 是 $\{p_i\}$ 的子序列。
:::

這只是文謅謅的寫法。意思是把一個序列在前後順序不對調的狀況下，篩出一個子序列。

## 序列收斂則子序列收斂

:::danger
**Thm (母序列收斂則子列收斂)**
$\{p_n\}$ 是一個序列。若：
$$
p_n \to p
$$
則任何 $\{p_n\}$ 的子序列都收斂到 $p$。
:::

假定 $\{p_{n_k}\}_{k=0}^{\infty}$ 是某個子序列，那麼對於任意 $k \in \mathbb N$，有：

$$
k > N \Rightarrow n_k \geq N
$$

這個觀察是來自於：母數列的下標是 1, 2, 3 ... 間隔恰好是 1，可是取子序列時，取的間隔可能比 1 大。所以把換回母數列看時，累積起來的 *index* 就不會比 $N$ 小了。

接著由原數列收斂的定義知道：給定任意 $\epsilon$，都存在 $N$，使得：

$$
k > N \Rightarrow d(p_n, p) < \epsilon
$$

所以對於子序列，任何滿足 $k > N$ 的 $k$，都有：

$$
n_k \geq k > N \Rightarrow d(p_{n_k}, p) < \epsilon
$$