# 流體力學 Week 15/16 - Ideal Flow

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# Superposition of a Sink and a Vortex !


來源：


# 8. Ideal Flow 理想流

邊界層裡面就用 boundary layer, 邊界層外面如果非旋，就可以用 ideal Flow。

我們都知道 Navier-Stokes Equation 難解到爆。不過如果在 Ideal Flow 的假定之下，就可以用很神奇的方法來秒殺流場。這麼好康的事是建立在：

$$不可壓縮 + 黏滯項不見$$

這個假定之上的。這可以用 $\mu = 0$ 來做到。不過通常沒有流體是無黏的，所以要用另外一個方法用黏滯項消失掉。這個方法就是：

$$\nabla \tau = \mu \nabla ^ 2 = \mu [\nabla(\underbrace { \nabla \cdot \vec{u{}}}_{=0}-\nabla \times \vec{\omega{}})]$$

所以只要讓 $\nabla \times \vec{\omega{}} = 0$ 然後這有什麼好處呢？因為：

$$\vec{\omega{}} = \nabla \times \vec{u{}} = 0$$

向量微積分就跟你說：

$$\nabla \times \vec{u{}} = 0 \Rightarrow \vec{u{}} = \nabla \phi$$

其中 $\phi$ 是一個純量場。

這樣一來，本來要解的是兩個變數 X 二維的 Navier-Stokes Equation ，現在只要解一個純量位勢函數就可以了。

# 8.1 Introduction

## 概述

Ideal Flow 指在行為上來說，「黏滯項消失($\mu\nabla ^ 2 \vec{u{}}$)」的流體。

這件事情最直接的做法是：

$$不可壓縮流 + 非黏$$

想當然這個東西太理想了，現實生活中不太有非黏的流體。

回想一下伯努力我們也有期待類似的條件，但是我們還是用了某些很神奇的方法來讓美夢成真。這裡也可以套用類似的方法。要讓黏滯項消失，除了 $\mu = 0$ ，我們還可以用以下的條件：

$$不可壓縮流 + 非旋$$

為什麼呢？因為在「非旋」的條件下 $\nabla \times \vec{u{}} = 0$，所以如果把黏滯項用之前學過的數學展開：

$$\nabla ^ 2 \vec{u{}} = \nabla(\underbrace{\nabla \cdot \vec{u{}}}_{0}) - \nabla \times(\underbrace{\nabla \times \vec{u{}}}_{\vec{\omega{}}=0}) =-\nabla\times \vec{\omega{}}$$

但是都跟你說 $\nabla \times \vec{u{}} = 0$ 了，所以黏滯力那項就被砍掉了。而之前也學過，在「黏滯項被砍掉的 Navier Stokes Eqiation」叫 Euler Equation。

不過就算少了黏滯項，這個 Equation 仍然一堆分量喇在一起，手解依然會解到往生。這時候我們把點子動到別的地方：伯努力方程式。

之前學過，如果希望伯努力方程式是這種形式：

$$\frac {P}{\rho} + \frac {1}{2}|\vec{u{}}|^2 + gz = const.$$

其中一組條件就是「非旋 + 不可壓縮 + $\rho, \mu = const.$」。在 Ideal Flow 的條件之下，自動讓之前假定的伯努力方程式變成能用的東西了

因此，與其去硬爆 Euler Equation, 我們會採取以下概念來做：

1. 先訂出流場的形式：把它視為幾個流場的相加，然後就可以算出速度場。不過，速度場並不能直接疊加，但是「位勢」可以。所以實際疊加的東西是像位勢函數之類的東西。
2. 用 Bernoulli Equation 算出壓力。
3. 然後就可以算出在物體上的施力。

這個東西現在看有點難懂，不過之後就會懂這是三小了。

不過在這之前，要先複習一點數學。

## (再一次)複習工數

### 向量微積分

考慮一個 2 維平面上的速度 $\vec{u{}}$：

| vector term | cartesian coordinate | cylindrical coordinate |
|---|---|---|
|$$\vec{u{}}$$|$$(u(x, y), v(x, y), 0)$$|$$(u_{r}(r, \theta), u_{\theta}(r, \theta), 0)$$|
|$$\nabla \cdot \vec{u{}} = 0$$|$$\frac {\partial u}{\partial x} + \frac {\partial v}{\partial y} = 0$$|$$\frac {1}{r}(\frac {\partial ru_{r}}{\partial r} + \frac {\partial u_{\theta}}{\partial \theta}) = 0$$|
|$$\nabla \times \vec{u{}} = 0$$|$$\frac {\partial v}{\partial x} - \frac {\partial u}{\partial y} = 0$$|$$我忘了。$$|

不過這裡的東西太多了，所以要用到就自己去查就好。

### 八卦：複變

這個章節有一個八卦：如果有偷用複變的話，可以把推導簡化到一個令人匪夷所思的程度(幾十行變幾行的那種)。個人覺得這個東西滿快的，本人用過了回不去。不過既然不是正課範圍內，所以就把它歸在「八卦」裡面。

後面還有很多「八卦」。有興趣可以稍微 Follow 下，不想看的話就直接跳過去也不會怎麼樣。

# 8.2 Velocity Potential ans Stream Function

回憶一下工數學過的 Potential Theory ：

$$\nabla \times \vec{u{}} = 0 \Rightarrow 存在 \phi，使得 \nabla \phi = \vec{u{}}$$

$$\nabla \cdot \vec{u{}} = 0 \Rightarrow 存在 \vec{\psi{}}，使得 \nabla \times \vec{\psi{}} = \vec{u{}}$$

今天我們的速度場兩個都滿足。因為：

1. 因為指定非旋，所以：

$$\nabla \times \vec{u{}} = \vec{\omega{}} = 0$$

這表示存在 $\phi$ 使得:

$$\nabla \phi = \vec{u{}}$$

這個 $\phi$ 有個名字，叫做 Velocity Potential。

2. 又因為連續方程式：

$$\nabla \cdot \vec{u{}} = 0$$

因此也存在一個 $\vec{\psi{}}$ ，使得：

$$\nabla \times \vec{\psi{}} = \vec{u{}}$$

這個 $\vec{\psi{}}$ 雖然是個向量，但是在二維的狀況下，可以簡化成只有一個分量的 $\vec{\psi{}}$ = $(0, 0, \psi)$。所以之後就用「那個分量」 $\psi$ 表示它。

這個 $\psi$ 叫做 Stream Function。聽起來跟 Streamline 有 87% 像，事實上不只 87%，之後會證明它根本就是 streamline。

## Velocity Potential

### 定義

如上面所述，因為我們指定流體非旋，所以：

$$\nabla \times \vec{u{}} = 0$$

工數學過的 Potential Theory 就會跟你說：

$$\exists\ \phi\ st.\ \nabla \phi\ = \vec{u{}}$$

之前工數比較常舉的例子是幫「保守力找位勢函數」，也就是找 「$\nabla 位能$ = $\vec{保守力}$」。現在做的是差不多的事，只是換成幫「速度」找位勢函數。而這個「速度場的位勢函數」 $\phi$ ，就叫做 Velocity Potential。

>> 不過這個「位勢」不是能量
>>(如果想夠快的話會猜在 2D 狀況下這個位勢跟流量有關)
>>(因為是速度對位移積分嘛)
>>(這個答案差不多對，不過也不完全對。需要更精確的講法)

把 $\nabla \phi = \vec{u{}}$，寫出來的話，也就是說在 2D 的狀況下：

$$u = \frac {\partial \phi}{\partial x}, v = \frac {\partial \phi}{\partial y}$$

或是在柱狀座標的狀況下：

$$u_{r} = \frac {\partial \phi}{\partial r}, u_{\theta} = \frac {1}{r}\frac {\partial u_\theta}{\partial \theta}$$

注意 Velocity Potential 存在的條件只用到「非旋」。所以只要非旋，就可以直接丟一個 Velocity Potential 給他。

### Laplace Equation

接著我們加入另外一個條件：「不可壓縮流」。也就是：

$$\nabla \cdot \vec{u{}} = 0$$

把 $\vec{u{}} = \nabla \phi$ 帶進去，就會得到：

$$\nabla \cdot \vec{u{}} = \nabla \cdot (\nabla \phi) = \nabla ^2 \phi = 0$$

可以用 Laplacian 在每個座標的形式把他寫開。不過這實在是有夠大坨的，所以就自己去查每個座標的 Laplacian 長怎樣ㄅ。~~反正考試我一定會把這個寫進大抄裡面。~~ 這裡要特別提 Laplacian 不是要解他，而是因為這表示：

$$\phi 是 Laplace\ Equation 的解$$

既然這樣，就可以利用「++Laplace Equation 是線性 + Homogeneous++」這個特點來使用「++疊加原理++」，把複雜的流場分解成簡單的流場再疊加。

## Stream Function

### 定義

跟剛剛是類似的道理，如果：

$$\nabla \cdot \vec{u{}} = 0$$

那麼我忘記是從哪裡學到(好像是微積分吧)的理論會跟你說：

$$\exists\ \vec{\psi{}}\ st.\ \nabla \times \vec{\psi{}} = \vec{u{}}$$

這個 $\vec{\psi{}}$ 就叫做 「velocity vector potential」。

### 2D 簡化

看到這是個向量，不免產生厭惡的感覺(?)。在 2D 平面上還要寫那麼多分量，真是太麻煩了。所以我們要能湊就湊，能省就省，一起把這個向量的分量變少。首先想一下我們對 $\vec{\psi{}}$ 有什麼要求：

1. 要滿足 ideal flow 的基本假設，及連續方程式
2. 現在是 2D Case。也就是 「$\nabla \times \vec{\psi{}}$ 出來之後只有 $x$, $y$ 的分量。」

所以我們就故意猜一個長像這樣的 Vector Potential :

$$\vec{\psi{}} = (0, 0, \psi(x, y))$$

然後看看能不能賽到什麼。這樣選是有理由的，因為：

1. 顯然可以滿足 $\nabla \cdot \vec{u{}} =0$

因為：

$$\nabla \cdot \vec{u{}} = \nabla \cdot (\nabla \times \vec{\psi{}})$$

但：

$$\nabla \times (0, 0, \psi) = (\frac {\partial \psi}{\partial y}, -\frac {\partial \psi}{\partial x}, 0)
\\ \Rightarrow \nabla \cdot (\nabla \times (0, 0, \psi)) = \frac {\partial ^2 \psi}{\partial x \partial y} - \frac {\partial ^ 2 \psi}{\partial y \partial x} = 0$$

這樣就變成 0 了。

2. 而且：$\nabla \times \vec{\psi{}}$ 只有 $x$, $y$ 分量：

$$\nabla \times (0, 0, \psi) = \vec{u{}}$$

$$\Rightarrow (\frac {\partial \psi}{\partial y}, -\frac {\partial \psi}{\partial x}, 0) = (u, v, 0)$$

$$\Rightarrow u = \frac {\partial \psi}{\partial y},\ v = -\frac {\partial \psi}{\partial x}$$

或著是用極座標寫：

$$u_{r} = \frac {1}{r}\frac {\partial \psi}{\partial \theta}, u_{\theta} = -\frac {\partial \psi}{\partial r}$$

然後就發現不小心賽中了，真的只要一個分量就可以解決。

總和上面兩點，雖然本來覺得 $\vec{\psi{}}$ 要是個「位勢向量」，不過這個向量也只有一個分量而已。因此之後就只要煩惱這個分量 $\psi$ 代表這整個東西就好。

### Laplace Equation

另外，跟剛剛的 Velocity Potential 類似，你也可以用這東西湊出一個 Laplace Equation。首先是：

$$\vec{\omega{}} = \nabla \times \vec{u{}} \\[0.4cm]\ \vec{u{}} = \nabla \times \vec{\psi{}}$$

所以把 $\vec{u{}}$ 用 $\nabla \times \vec{\psi{}}$ 帶進去，用一點「大家都要會的數學」：

$$\nabla \times \vec{u{}} = \nabla \times (\nabla \times \vec{\psi{}}) = \underbrace{\nabla(\nabla \cdot \vec{\psi{}})}_{0} + \nabla ^ 2 \vec{\psi{}} = \nabla ^ 2 (0, 0, \psi) $$

不過因為我們現在是考慮二維的 Case, 所以 $\vec{\omega{}}$ 只有 $\hat{z{}}$ 分量，也就是：

$$\vec{\omega{}} = (0, 0, \omega)$$

總和以上：

$$\nabla ^ 2 (0, 0, \psi) = (0, 0, \omega)$$

因此：

$$\Rightarrow \omega = \nabla ^ 2 \psi(x, y)$$

這時候你一定覺得很怪。一開始不是說這個流場非旋嗎？「說好的非旋呢？」非旋這就來了：

$$\omega = 0 = \nabla ^ 2 \psi(x, y)$$

於是又變成 Laplace Equation 的形狀了

### Streamline

接下來就要講這東西為什麼叫做stream function 了。這個 $\psi$ 有一個很棒的性質：

$$\psi(x, y) = C\ 畫出來是一條流線$$

其中 $C$ 是某個常數。下面就要來說明為什麼。

<br>

如回想一下要怎麼算出一個流場的流線的話，第一步你會做：

$$\vec{u{}} = (u, v)\ //\ d\vec{s{}} = (dx, dy)$$

$$\Rightarrow \frac {dx}{u} = \frac {dy}{v}$$

接著把他稍微移項一下：

$$
\frac {dx}{u} = \frac {dy}{v} \Rightarrow
-vdx + udy = 0
$$

把速度都用 $\psi$ 的偏微分帶進去，因此：

$$-vdx + udy = 0\Rightarrow -(-\frac {\psi(x, y)}{\partial x})dx + \frac {\partial \psi(x, y)}{\partial y}dy = d(\psi(x, y)) = 0$$

也就是說，上面那個流線的解，如果用 $\psi(x, y)$ 表示的話，就是：

$$\psi(x, y) = C$$

其中 $C$ 是某個常數。所以可以發現

$$「每一個\ \psi(x, y) = C ，都對應到一條流線的方程式」$$

這就是它之所以叫做「Stream Function」的原因：因為解流線最後就會解出他。

### Flux

假定有一條路徑 $S$ 通過兩條流線：

我們現在要有多少流體通過這條線，照理說要做：

$$\int\vec{向量} \cdot \vec{微小的面積向量} = \int \vec{u{}}\cdot \hat{n{}}dA$$

不過這裡是二維，所以對應「面積分」的概念應該是像這樣的積分：

$$\hat{n{}}dA \rightarrow \hat{n{}}ds$$

$$\int \vec{u{}}\cdot \hat{n{}}dA \rightarrow
\int \vec{u{}}\cdot \hat{n{}}ds$$

然後我們知道曲線 $S$ 上面的某一小段是 $d\vec{s{}}$ = $(dx, dy)$，我們要找她的「無限小面積向量」(痾...其實不是面積，不過就大概是這個意思 U know.)。如果是 3 維的話這東西要用 $\nabla$ 來算。不過現在是二維，我們根本可以用高中數學暴力湊一組：

$$d\vec{s{}} = (dx, dy) \Rightarrow \hat{n{}}ds = (dy, -dx)$$

這樣就會發現長度一樣是 $ds$, 而且跟本來向量內積是 0。這樣就把「無限小面積向量」湊出來了(痾...他其實不是面積，不過反正大概意思就是這樣 U Know)。

所以現在就可以算過那條曲線 $S$ 的通量了。對於二維的流場而言，通過這個曲線 $S$ 的所有 Flux 是：

$$Q = \int _{A}^{B} \vec{u{}}\cdot \hat{n{}}ds = \int_{A}^{B}(udy - vdx) = \int_{A}^{B}d\psi = \psi(B) - \psi(A)$$

所以就知道：

$$兩條流線的 \psi 值相減，就是體積流率$$

另外也可以從流線的寬與窄來知道流速有多快。因為兩條流線的 $\psi$ 值差異是一樣的，所以寬的地方表示速度慢，窄的地方表示速度快。

## 樓上跟樓樓上在正交

$\psi$ 和 $\phi$ 兩堆曲線會互相垂直的意思。

高中我們都學過，看兩條線有沒有垂直可以看兩個的法向量有沒有垂直，這裡也是一樣的，我們看 $\phi$ 曲線的法向量 $\nabla \phi$ 與 $\psi$ 曲線的法向量 $\nabla\psi$有沒有垂直：

$$\nabla \phi \cdot \nabla \psi = \frac {\partial \phi}{\partial x}\frac {\partial \psi}{\partial x} + \frac {\partial \phi}{\partial y}\frac {\partial \psi}{\partial y} = u(-v) + vu = 0$$

然後就發現他們有。所以：

$$\nabla \phi \perp \nabla \psi \Rightarrow \phi \perp \psi$$

然後就可以畫出這樣的曲線：


## 八卦

Ideal Flow 的那堆條件跟關係可以用複變很簡單的寫出來。

假定有一個二維流場：

$$\vec{u{}} = (u(x, y), v(x,y ))$$

如果把這兩個分量動點手腳，分別寫進複數平面的實部與虛部，會得到一些有趣的結果：

1. 速度：
$$ \vec{u{}} = (u, v)\ 是\ ideal\ \ flow \\[0.4cm] \Leftrightarrow w(z) = u + (-v)i 是可解析的複變函數\\[0.4cm]$$

理由就是 $\nabla \times \vec{u{}}$ = 0跟 $\nabla \cdot \vec{u{}}$ = 0 剛好湊成 Cauchy-Riemann Equation。

>>其實我是這樣記 Cauchy-Riemann Equation 的

2. Complex Potential

$\phi$ 跟 $\psi$ 一樣也可以塞進複數的實部與虛部，這個東西叫做「Complex Potential」$\chi(z)$。如下：

$$\chi(z) := \phi + i \psi$$

可以注意這東西的微分：

$$\frac {d\chi(z)}{dz} = \underbrace{\frac {\partial \phi}{\partial x}}_{u} + \underbrace{\frac {\partial \psi}{\partial x}i}_{(-v)} = \underbrace{\frac {\partial \psi}{\partial y}}_{u} \underbrace{- \frac {\partial \phi}{\partial y}}_{(-v)}i = u + (-v)i$$

可以發現微完之後剛好就是剛剛定義的，複數上的速度場。

所以稍微總結一下：

1. 從複變的角度來說：微分後「實部 = 實部，虛部 = 虛部」的定義，剛好就湊出 Cauchy-Riemann Equation。

2. 從流力的角度來說：微分後「實部 = 實部，虛部 = 虛部」的定義，恰好對應到「Velocity Potential」跟 「Stream Function」微分的性質。

因此，引入複變後，只用一句話就講完 Ideal Flow 的條件跟各種勢函數的關係：

<br>

$$\begin{align}&
\frac {d\chi(z)}{dz} = u + (-v)i,\ \ where \\ \\ &
\chi(z) = \phi(x,y ) + \psi(x, y)i\end{align}$$

<br>

這東西好處是本來要處理的是 $\phi (x, y)$ 跟 $\psi (x,y )$ 2 個「2 變數的函數」，但現在只要處理一個 $\chi (z)$ 1 個單變數的複變函數，就可以把上面兩個自動一起考慮進去。

除了縮減行數之外， Complex Potential 有什麼用？後面幾個例子就會看到好用的地方了。

# 8.3 Superposition

因為：

$$\nabla ^ 2 \phi = \nabla ^ 2 \psi = 0$$

這兩個函數很顯然都是 laplace equatio 的解。不過我們又知道 laplace equation 是個 linear homogeneous 的微分方程。所以就可用疊加原理：

$$\nabla ^ 2 \phi_{1} = \nabla ^ 2 \phi_{2} = 0 \Rightarrow \nabla^2(A\phi_{1} + B\phi_{2})$$

所以如果我們要看很複雜流場的 streamline, 我們可以把它分解成幾種簡單流場的疊加、算出個每個部分的 stream function，最後把他們的 stream function 疊加起來，就可以得到這個複雜流場的流線了。

# 8.4 Elementary Planar Flow

接下來看幾種基本的流場的解。

## Uniform Flow


streamline 是直線。

$$u = U = \frac {\partial \phi}{\partial x} = \frac {\partial \psi}{\partial y}$$

$$v = 0 = \frac {\partial \phi}{\partial y} = -\frac {\partial \psi}{\partial x}$$

所以解出來就是：

$$\phi = Ux$$

$$\psi = Uy$$

那如果流場是斜斜的均勻流呢？這只要多一個座標轉換就好了，假定這個斜斜的角度離 x 軸正向是 $\alpha$，那麼：

$$\begin{bmatrix}x' \\ y'\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}cos\alpha & sin\alpha \\
-sin\alpha & cos\alpha\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}x \\ y\end{bmatrix}
$$

所以：

$$\phi = Ux' = U(xcos\alpha ysin\alpha )$$
$$\psi = Uy' = U(-xsin\alpha + ycos\alpha)$$


>> 如果覺得看不慣的話可以直接 $Uze^{i\alpha}$

### 八卦

把東西丟到複數平面上，速度向量用一個複數 $U' = u + (-v)i$ 表示的話，這東西的Ｃomplex Potential 就是：

<br>

$$\chi(z) = U'z$$

<br>

## Source / Sink


放射狀往外或往內的點。

所以可以猜等位面都是同心圓。不過這背後的意思是「點對稱」，因此對 $\theta$ 相關的微分都會被砍掉。

$$\nabla ^2 \phi =
\frac {1}{r}\frac {\partial}{\partial r}(r\frac {\partial \phi}{\partial r}) + 0 =
0$$

所以：

$$\phi = Cln(r) + C_{2}$$

不過$C_{2}$ 可以跟後面 $\phi = const.$ 的常數併，所以直接拿掉：

$$\phi = Cln(r)$$

寫這一步就可以看出流線是一個圓了～更進一步可以知道：

$$u_{r} =
\frac {\partial \phi}{\partial r} =
\frac {C}{r} =
\frac {1}{r}\frac {\partial \psi}{\partial \theta}$$

$$u_{\theta} =
\frac {1}{r}\frac {\partial \phi}{\partial \theta}=
0 =
-\frac {\partial \psi}{\partial r}$$

所以：

$$\psi(\theta) = C\theta$$

不過不知道 $C_{1}$ 是什麼。這個主要從流量下手：

$$Q = \int_{A} \vec{u{}}\cdot d\vec{A{}} =
\int_{0}^{2\pi}u_{r}(rd\theta) =
\int_{0}^{2\pi}\frac {C}{r}rd\theta = 2\pi C$$

所以：

$$C = \frac {Q}{2\pi}$$

如果 $Q$ 是正的，就表示是 source; 如果 $Q$ 是負的，就表示這是 Sink。所以總而言之：

$$\begin{cases}\phi(r) = \frac {Q}{2\pi}ln(r) \\ \psi(\theta) = \frac {Q}{2\pi}\theta\end{cases}$$

$$\begin{cases}u_{r} = \frac {Q}{2\pi r} \\ u_{\theta} = 0\end{cases}$$

然後可以驗證一下 $\omega = 0$。

### 八卦

記得之前有提到 Complex Potential 嗎？上面那堆看起來很長的結論，可以用一句話就講完：

<br>

$$\chi(z) = \frac {Q}{2 \pi}ln(z)$$

<br>

其中 $z = x + yi$ 。把他展一下就可以驗證：

$$\begin{align}
\frac {Q}{2\pi}ln(z) & = \frac {Q}{2\pi}ln(re^{i\theta}) \\ \\
& = \frac {Q}{2\pi}(ln(r) + i\theta) \\ \\
& = [\frac {Q}{2\pi}ln(r)] + i[\frac {Q}{2\pi}\theta]
& = \phi+ i\psi
\end{align}$$

然後剛剛也講過：

$$\frac {d\chi(z)}{dz} = u + (-v)i$$

所以就給她照做：
$$\frac {Q}{2\pi}\frac{1}{z} = \frac {Q}{2\pi r}(cos\theta- isin\theta) = u + (-v)i$$

$$\Rightarrow u = \frac {Q}{2\pi r}cos\theta, v = \frac {Q}{2\pi r}sin\theta$$

結論：就發現上面那一大坨結論有了 Complex Potential 之後，每個都可以很快生出來。

## Point Vortex(Axisymetric Streamline)

其實就是剛剛$\psi$ 跟 $\phi$ 相反。

這個就是反過來先解 $\psi$ 了：

$$\nabla ^2 \psi =
\frac {1}{r}\frac {\partial}{\partial r}(r\frac {\partial \phi}{\partial r}) + 0 =
0$$

所以：

$$\psi(r) = Cln(r)$$

接著用微分解速度，並藉由速度與 $\phi$ 微分的關係，進一步解出 $\phi$：

$$u_{r} =
\frac {1}{r}\frac {\partial \psi}{\partial \theta} = 0 = \frac {\partial \phi}{\partial r}$$

$$u_{\theta} = -\frac {\partial \psi}{\partial r} = -\frac {C}{r} = \frac {1}{r}\frac {\partial \phi}{\partial \theta}$$

第一條說「$\phi$ 不是 $r$ 的函數」，所以 $\phi = \phi(\theta)$; 第二進一步推得 $\frac {d\phi(\theta)}{d\theta} = -C$。因此最後就解到：

$$\phi = -C\theta$$

這裡一樣不知道 $C$ 是什麼。這時候是用 Circulation 來計算：

$$\Gamma = \oint_{C}\vec{u{}}\cdot d\vec{x{}} = \int_{0}^{2\pi}u_{\theta}rd\theta = -2\pi C $$

因此：

$$C = -\frac {\Gamma}{2\pi}$$

所以就得到：

$$\psi = -\frac {\Gamma}{2\pi}ln(r)$$

$\psi$ 也是類似的解法。第一條說「$\psi$ 不是 $r$ 的函數」，所以 $\psi =\psi(r)$; 第二條說「$\frac {d\psi (r)}{dr} = C$」，所以就解到：

所以：

$$\phi = \frac {\Gamma}{2\pi}\theta$$

接著可以用速度的關係解到 $\psi$，不過這裡省略。總之最後就得到：

$$\begin{cases}\phi = \frac {\Gamma}{2\pi}\theta \\ \psi = -\frac {\Gamma}{2\pi}ln(r)\end{cases}$$
$$\begin{cases}u_{r} = 0 \\ u_{\theta} = \frac {\Gamma}{2\pi r}\end{cases}$$

比較有趣的地方是這東西到底有旋還無旋？明明處處沒有 $\omega$ ，但是 Circulation , $\Gamma$, 居然還有值？這個問題的關鍵是原點有一個 Singular Point。

直白的看法是說：這是個同心圓的流場，而且越往圓心，環繞圓心的速度越快。所以當半徑非常趨近於 0 ，「環繞圓心」的行為就會趨近「圓心該點自己轉動」，而且原點轉動速度還趨近無限大，所以圓心自己的角速度還趨近無窮。更進一步可以說：圓心那點可以當成視為「有 delta function 行為的 $\omega$」，因為面積分過去之後還必須要是有限值嘛。

### 八卦

這個東西的 Complex Potential 是：

<br>

$$\chi (z) = \frac {\Gamma}{2\pi i}ln(z)$$

<br>

## Doublet (A Pair of Source ancd Sink)


### 圓柱座標

主要是求出 $r_{1}$, $r_{2}$，接著使用 Velocity Potential，最後找速度。

假定：

$$\begin{cases}source\ 在\ P_{1}(-\frac {a}{2}, 0)\ \\
sink\ 在\ P_{2}(\frac {a}{2}, 0)\end{cases}$$

並假定有一個點在 $P[r, \theta]$。所以：

$$r_{1}^2 = (rcos\theta + \frac {a}{2})^2 + (rsin\theta)^2$$
$$r_{2}^2 = (rcos\theta - \frac {a}{2})^2 + (rsin\theta)^2$$

其中：

$$\theta_{1} = tan^{-1}(\frac {rsin\theta}{rcos\theta + \frac {a}{2}})$$

$$\theta_{2} = tan^{-1}(\frac {rsin\theta}{rcos\theta - \frac {a}{2}})$$

>>等一下要近似。
>>這裡會用一個東西近似：
>>$$ln(1 - x) = - x - \frac{x^2}{2} - \frac {x^3}{3} - \frac {x^4}{4}...$$
>>
>> 如果省略高階項的話，也就是：
>>
>> $$ln(1-x) \approx -x$$
>> 同樣的道理：
>> $$ln(1 + x) \approx x - \frac {x^2}{2} + \frac {x^3}{3} ... $$
>> 因此省略高階項的話：
>> $$ln(1 + x) \approx x$$

### -- 近似手法

因為 Source 的 stream function 是：

$$\phi_{source} = \frac {q}{2\pi}ln(r_{1}) = \frac {q}{4\pi}ln(r_{1}^2)$$

這裡為了方便，故意把「距離」湊出平方，因為距離平方比較好畫簡。把 $r_{1}^2$ 帶進去：

$$
\begin{align}
\phi_{source} & = \frac {q}{4\pi}ln[(rcos\theta + \frac {a}{2})^2 + (rsin\theta)^2]\\ \\
& = \frac {q}{4\pi}ln{(r^2[1 + \frac {a}{r}cos\theta + (\frac {a}{2r})^2]})\\ \\
\end{align}$$

接著做如下的化簡：

1. 省略 $a$ 的高階項：所以 $(\frac {a}{2r})^2$ 被省去。也就是：
$$\begin{align} & \frac {q}{4\pi}ln({r^2[1 + \frac {a}{r}cos\theta + \require{cancel}\cancelto{0}{(\frac {a}{2r})^2]}}) \\ \\
& \approx \frac {q}{4\pi}ln({r^2[1 + \frac {a}{r}cos\theta]})\end{align}$$

2. 把 $ln$ 裡面的東西展開：

$$\begin{align} & \frac {q}{4\pi}ln({r^2[1 + \frac {a}{r}cos\theta]}) \\ \\
& = \frac {q}{4\pi}ln(r^2) + \frac {q}{4\pi}ln(1 + \frac{a}{r}cos\theta)\end{align}$$

3. 因為 $a$ 很小，也就是 $a\to 0$ ，所以可以跟著知道 $\frac {a}{r}cos\theta \to 0$，顯然遠小於 1 ，因此使用剛剛提到的近似：

$$\begin{align} & ln(1 + x) \approx x \\ \\ & \Rightarrow ln(1 + \frac{a}{r}cos\theta) \approx \frac{a}{r}cos\theta\end{align}$$

因此：

$$\begin{align} \phi_{source} &= \frac {q}{4\pi}ln(r^2) + \frac {q}{4\pi}ln(1 + \frac{a}{r}cos\theta) \\ \\
& \approx \frac {q}{4\pi}ln(r^2) + \frac {q}{4\pi}(\frac {a}{r}cos\theta)\end{align}$$

<!--$$ = \frac {q}{4\pi}lnr^2 + \frac {q}{4\pi}[\frac {a}{r}cos\theta - \frac {a^2}{4r^2}cos^2\theta + \frac {a^3}{12r^3}cos^3\theta ...]$$-->

Sink 也是一樣的道理：

$$\phi_{sink} = -\frac {q}{2\pi}ln(r_{2}) = -\frac {q}{4\pi} ln(r_{2}^2)$$

一樣是把距離帶進去：

$$\begin{align}
\phi_{sink} & = -\frac {q}{4\pi}ln{(r^2[1 - \frac {a}{r}cos\theta + (\frac {a}{2r})^2]}\\ \\
& \approx -\frac {q}{4\pi}ln(r^2) + \frac {q}{4\pi}(\frac {a}{r}cos\theta) \end{align}$$

### -- Velocity Potential

所以：

$$\begin{align}
& \phi_{source} + \phi_{sink} \\ \\
&= [\require{cancel}\cancelto{}{\frac {q}{4\pi}ln(r^2)} + \frac {q}{4\pi}(\frac {a}{r}cos\theta)] + [\require{cancel}\cancelto{}{-\frac {q}{4\pi}ln(r^2)} + \frac {q}{4\pi}(\frac {a}{r}cos\theta)] \\ \\
& = \frac {qa}{2\pi r}cos\theta
\end{align}$$

然後令：

$$qa = \Lambda$$

所以就是 $a\to 0$ 的時候：

$$\begin{align}\phi & = \lim_{a\to 0}(\phi_{source} + \phi_{sink}) \\ \\
& = \frac {qa}{2\pi r}cos\theta \\ \\
&= \frac {\Lambda}{2\pi r}cos\theta\end{align}$$

這樣就求出來 $\phi$ 了。

### -- 速度

然後就可以偏微分得到速度：

$$\begin{align}
u_{r} & = \frac {\partial \phi}{\partial r}\\
& = -\frac {\Lambda}{2\pi r^2}cos\theta = \frac {1}{r}\frac {\partial \psi}{\partial \theta}\\
\\
u_{\theta} & = \frac {1}{r}\frac {\partial \phi}{\partial \theta} \\
&= -\frac {\Lambda}{2\pi r^2}sin\theta= -\frac{\partial \psi}{\partial r}\end{align}$$

### -- Stream Function

解上面那個偏微分關係得到 $\psi$：

$$\psi = -\frac {\Lambda}{2\pi r}sin\theta$$

把他看成：

$$\nabla \psi = (-(-\frac {\Lambda}{2\pi r^2}sin\theta),-\frac {\Lambda}{2\pi r^2}cos\theta)$$

然後就可以一路積回去得到 $\psi$：

$$\psi = \int_{r_{0}}^{r}\frac {\Lambda}{2\pi r^2}sin\theta dr + \int_{0}^{\theta}(-\frac {\Lambda}{2\pi r_{0}^2}cos\theta) r_{0} d\theta $$

### 八卦

如果有 Follow 八卦的話，可以直接從 Complex Potential 下手：

$$\begin{align}
\chi_{doublex} = \chi_{source} + \chi_{sink} & = \frac {q}{2\pi}ln(z + \frac {a}{2}) - \frac {q}{2\pi}ln(z - \frac {a}{2}) \\ \\
& \approx \frac {q}{2\pi}[(\frac {d}{dz}ln(z)) \cdot a] = \frac {q}{2\pi}\frac {a}{z} \\ \\
&=\frac {\Lambda}{2\pi}\frac {}{}z^{-1}\\ \\
\end{align}$$

有了 Complex Potential 之後，展開實部與需部就可以得到 $\phi$ 跟 $\psi$

$$
\begin{align}
\chi_{doublex} =\phi + i\psi & = \frac {\Lambda}{2\pi}\frac {1}{r}(cos\theta - isin\theta) \\ \\ &
= \frac {\Lambda}{2\pi r}cos\theta + i[-\frac {\Lambda}{2\pi r}sin\theta]
&
\end{align}
$$

剩下的 $u_{r}$, $u_{\theta}$ 挑一個喜歡的 Potential 微就好。或是直接對 $z$ 微分：

$$\begin{align}
\frac {d\chi}{dz} & = -\frac {\Lambda}{2 \pi z^2} \\ \\
& = -\frac {\Lambda}{2 \pi r ^ 2}[cos(-2\theta) + isin(-2\theta)]
& = u + (-v)i
\end{align}$$

不過，因為這是 $u, v$，但是要算的東西是 $u_{r}, u_{\theta}$，剛好要逆時針轉 $\theta$ 度。所以：

$$\begin{align}
u_{r} + (-u_{\theta})i & = e^{i\theta}[u + (-v)i]\\ \\
& = -\frac {\Lambda}{2 \pi r ^ 2}[cos(-\theta) + isin(-\theta)] \\ \\
& = [-\frac {\Lambda}{2 \pi r^2}cos\theta] + i[\frac {\Lambda}{2\pi r^2}sin\theta]
\end{align}$$

可以發現推導短了很多。

上面的推導的過程中，也可以知道這個東西的 Complex Potential 是：

<br>

$$\chi (z) = \frac {\Lambda}{2\pi}z^{-1}$$

<br>

# 8.5 Superposition of Elementary Flows

接下來大致會遵循一下的步驟：

1. 用疊加原理找 $\phi$ 或 $\psi$。
2. 對算出來的 $\phi$ 或 $\psi$ 做偏微，就可以得到 $\vec{u{}}$，藉此解出另外一個位勢。
3. Divided Streamline : 有 $\vec{u{}}$ 跟 $\psi$ 之後，就可以算這個「假想物體的邊界」或是說「Divided Streamline」(因為這個邊界其實就是某一條特定的流線)。

$$\psi(x, y) = \psi(\vec{x{}}_{stag})$$

4. 沿用 Boundary Layer 的假設，套用 Bernoulli Equation 去算表面附近的壓力跟壓力梯度，進而估計哪邊 Boundary Layer 會好好長; 哪邊容易爆開變成 Seperation。

Bonus : 最後用壓力計算附近的升力跟阻力(然後就發現會出事)(還有為什麼壓力梯度造成升力的講法會大錯特錯～)。

不過如果有在 Follow 八卦的話：

$$吃我的複變啦！$$

## Uniform Flow + 1 Source

這個東西又叫做 Ranline halfbody/nose)


如果要快的推導可以用 Complex Potential：

$$\chi = Uz + \frac {q}{2\pi }ln(z)$$

1. Stream Function:

$$\psi = Im(\chi) = Ursin\theta + \frac {q}{2\pi}\theta$$

2. Stagination Point

$$\frac {d\chi}{dz} = 0 \Rightarrow U + \frac {q}{2\pi z} = 0 \Rightarrow z_{stag} = -\frac {q}{2\pi U} = [\frac {q}{2\pi U},\pi]$$

3. devided streamline：將$[\frac {q}{2\pi U},\pi]$帶入 $\psi$：
$$\psi(z_{stag}) = 0 + \frac {q\pi}{2\pi} = \frac {q}{2}$$

因此：

$$\psi = \frac {q}{2}$$

即：

$$Ursin\theta + \frac {q}{2\pi}\theta = \frac {q}{2}$$

就是 devided streamline。如果令

$$\frac {q}{2\pi U} := b$$

則：

$$Ursin\theta + Ub\theta = U\pi b$$
$$\Rightarrow rsin\theta = b(\pi - \theta)$$

為什麼叫做 halfbody ? 因為後面會先幫你推一個 full body 的東西出來。所以我們來看 full body 的版本。

## Uniform + 1 Source + 1 Sink

像這樣：



雖然說是一組 source 跟 sink，裡面什麼物體都沒有，不過最後形成的流場，就像是有一個「假想的東西」擺在 uniform flow 裡面，然後流體撞到這個東西一樣。這個「假想的東西」的邊界其實就是某條封閉的流線。那條流線就叫「Divided Streamline」。

不過注意這假想的東西「不是」橢圓。

### Velocity Potential

用疊加原理，把標題上的 Stream Function 通通加起來。所以這東西的 Velocity Potential 就是：

$$\begin{align}
\phi & = \phi_{uf} + \phi_{sc} + \phi_{sk}\\
& = Ux + \frac {q}{2\pi}ln(r_{1}) - \frac {q}{2\pi}ln(r_{2})\\
& =Ux + \frac {q}{4\pi}(ln(r_{1}^2) - ln(r_{2}^2))
\end{align}$$

然後把 $r_{1}$, $r_{2}$ 用相應的擲筊座標寫出來，就會得到：

$$Ux + \frac {q}{4\pi}[ln((x + a)^2 + y^2) - ln((x - a)^2 + y^2)] $$

### Stream Function

也是同樣用疊加原理：

$$\begin{align}\psi & = Uy + \frac {q}{2\pi}\theta_{1} + \frac {q}{2\pi}\theta_{2}\\ \\
& =Uy + \frac {q}{2\pi}[tan^{-1}(\frac {y}{x + a}) - tan^{-1}(\frac {y}{x-a})]
\end{align}$$

然後因為：

$$tan(\theta_{1} - \theta_{2}) = \frac {tan\theta_{1} + tan\theta_{2}}{1 + tan\theta_{1}tan\theta_{2}} = -\frac {2ay}{x^2 + y^2 - a^2}$$

因此：

$$\psi = Uy - \frac {q}{2\pi}tan^{-1}\frac {2ay}{x^2 + y^2 - a^2}$$

然後就可以算速度了：

### 速度

主要是對剛剛的 Velocity Potential 或 Stream Function 做偏微分來找出速度。

這裡微分 Velocity Potential 來做：

$$u = \frac {\partial \phi}{\partial x} =
U + \frac {q}{4\pi}[\frac {2(x + a)}{(x + a)^2 + y^2} - \frac {2(x - a)}{(x - a)^2 + y^2}]$$

$$v = \frac {\partial \phi}{\partial y} = \frac {q}{2\pi}[\frac {2y}{(x + a)^2 + y^2} - \frac {2y}{(x - a)^2 + y^2}]$$

>接下來會算的東西是「Divided Streamline」。
>
>白話一點就是那個「假想的物體」的形狀的曲線。不過因為 Stagination Point 會在物體的邊界上，所以只要:
>
>1. 先算出 Stagination Point
>2. 找出過 Stagination Point 的流線
>
>這條流線就是「Devided Streamline」了。

### Stagination Point

就是解：

$$(x, y),\ s.t.\ \begin{cases}u = 0 \\ v = 0\end{cases}$$

首先是看 $v = 0$ ，這個可以立刻得到 $y = 0$ ，所以只要接著帶進去解 $u = 0$ 就好。把 $y = 0$帶進去：

$$0 = U + \frac {q}{4\pi}(\frac {2}{x+a} - \frac {2}{x-a}) = U - \frac {aq}{\pi}(\frac {1}{x^2 - a^2})$$

所以：

$$x^2 = a^2 + \frac {aq}{\pi U}\Rightarrow x = \pm\sqrt{a^2 + \frac {qa}{\pi U}}$$

假定停滯點距離原點是 $l$, source 間的距離是 $a$，那麼也可以說：

$$\frac {l}{a} = \sqrt{1 + \frac {q}{\pi Ua}}$$

### Divided Streamline

就是那個「假想的 body 」的邊界曲線。

假定這條流線是：

$$\psi =C $$

因為這個邊界過 staginaton point，所以把他帶進去：

$$\psi(x_{stag}) = U\cdot 0 - \frac {q}{2\pi}tan^{-1}(0) = 0$$

所以：

$$C = 0$$

因此就求到那條流線了，他就是：

$$\psi = 0$$

或是把它寫開：

$$\psi = Uy - \frac {q}{2\pi}tan^{-1}\frac {2ay}{x^2 + y^2 - a^2} =0 $$

### Thickness of Rankine Body

就是那個 body 跟 y 軸的交點。不過就是把：

$$\psi = 0$$

這條東西用 $x = 0$ 帶下去，然後解 $y$ 是多少就好了。假定這個高度是 $h$ ，所以也就是解：

$$Uh - \frac {q}{2\pi}tan^{-1}(\frac {2ah}{h^2 - a^2}) = 0 \\[0.8cm] \Rightarrow \frac {h}{a}
= \frac {1}{2}[(\frac {h}{a})^2 - 1]tan[2\frac {\pi U a}{q}\frac {h}{a}]$$

不過這東西不太能手解，主要還是透過迭代(~~或是用萬能的計算機算~~)(~~啊還不是一樣是迭代~~)。

### Complex Potential 的推導

Complex Potential 在這裡並沒有特別有效。因為照定義寫開之後都長那個樣子。比如說：

$$\chi = Uz + \frac {q}{2\pi}ln(z + a) - \frac {q}{2\pi}ln(z - a)$$

不過再寫開 $ln(z + a)$ 的時候，還是會寫到跟上面一樣複雜的東西。唯一的好處可能是比較好記。同樣的事發生在解 Devided Streamline 跟 Thickness 上面。因為做的事情都是暴力帶進去(然後發現手解不出來)，所以也都沒比較快。

另外一個比較快的是解 Stagination Point，可以直接解：

$$\frac {d\chi}{dz} = 0 \Rightarrow U + \frac {q}{2\pi}(\frac {1}{z + a} - \frac {1}{z - a})$$

不過就會發現解這個跟解上面的那個是一模一樣的方程式。我個人覺得這個看起沒有快很多。

比較快的是下一個例子。不過這之前先看看力的分析。

### 力

首先可以用伯努力定律算壓力：

$$p + \frac {\rho}{2}(u^2 + v^2)= P_{\infty} + \frac {\rho U^2}{2}$$

算到 $p$ 之後，作用在物體上的力就可知道是：

$$F_{x} = F_{D} = \oint_{R.B.}(-p)dy$$
$$F_{y} = F_{D} = \oint_{R.B.}(-p)dx$$

不過，因為：

$$u(-x, y) = u(x, y); v(-x, y) = -v(x, y)$$

$$u(x, -y) = u(x, y); v(x, -y) = -v(x, y)$$

這個看起來有點複雜，不過示意圖大概是這樣：


所以 $p - P_{\infty} = \frac{\rho}{2}(U^2 - u^2 - v^2)$ 上下對稱，且左右對稱，但是這個曲線也上下左右對稱。因此積分就互相抵銷掉。也就是：

$$F_{D} = F_{L} = 0$$

## Uniform + Doublet


這個東西神奇的地方在於流線疊加後，結果會跟「Uniform Flow 流過圓柱」的流線長得一樣。所以又可以當 Flow past around cylinder 。

### Complex Potential 的推導

放這裡是因為他很短，每個東西大概都 2, 3 行就解決了。

$$\begin{align}\chi & = \chi_{unf} +\chi_{doublet} \\ \\ &= U{z} + \frac {\Lambda}{2\pi}z^{-1} \end{align}$$

令 $z = re^{i\theta}$ 代入即得 $\phi$, $\psi$：

$$\begin{align}\chi(re^{i\theta}) & = Ure^{i\theta} + \frac {\Lambda}{2\pi r}e^{-i\theta} \\ \\
& = [Urcos\theta + \frac {\Lambda}{2\pi r}cos\theta] + [Ursin\theta - \frac {\Lambda}{2\pi r}sin\theta]i \\ \\
& = \phi + \psi i
\end{align}$$

速度場則是：

$$\frac {d\chi}{dz} = U - \frac {\Lambda}{2\pi}z^{-2} = u + (-v)i$$

令 $z = re^{i\theta}$ 帶入即可得 $u, (-v)$。即：

$$u + (-v)i = U - \frac {\Lambda}{2 \pi r^2}e^{-2i\theta}$$

如果希望解到 $u_{r}, u_{\theta}$，那麼再逆時針旋轉 $\theta$ 角即可：

$$\begin{align}
u_{r} + (-u_{\theta})i & = e^{i\theta}(u + (-v)i) \\ \\
& = Ue^{i\theta} - \frac {\Lambda}{2 \pi r^2}e^{-i\theta}\\ \\
& = [Ucos\theta - \frac {\Lambda}{2 \pi r^2}] + [Usin\theta + \frac {\Lambda}{2 \pi r^2}sin\theta]i
\end{align}
$$

Stagination Point 可以直接解 $z$ 的函數：

$$\frac{d\chi}{dz} = U - \frac {\Lambda}{2 \pi }z^{-2} = 0 \Rightarrow z = \pm \sqrt{\frac {\Lambda}{2 \pi U}} + 0i$$

兩個點表成極座標是：

$$[\sqrt{\frac {\Lambda}{2 \pi U}}, 0], [\sqrt{\frac {\Lambda}{2 \pi U}}, \pi]$$

帶回 $\psi$ 得到 devided Streamline 方程式為：

$$Ursin\theta - \frac {\Lambda}{2\pi r}sin\theta = 0$$

即：

$$r = \sqrt{\frac {\Lambda}{2 \pi U}}$$

可以知道是一個圓。

下面是課堂上的推導。

### Velocity Potential

疊加起來：

$$\begin{align}
\phi & = \phi_{unf} + \phi_{db}\\
& = Ux + \frac {\Lambda}{2\pi r}cos\theta \\
& = Urcos\theta + \frac {\Lambda}{2\pi r}cos\theta
\end{align}$$

### 速度

一樣是依照定義去微分：

$$\begin{align}
u_{r}& = \frac {\partial \phi}{\partial r} \\
& = Ucos\theta - \frac {\Lambda}{2\pi r^2}cos\theta \\
& = Ucos\theta(1 - \frac {\Lambda}{2\pi U}\frac {1}{r^2})\\ \\
u_{\theta} & = \frac {1}{r}\frac {\partial \phi}{\partial \theta}\\
& = -Usin\theta(1 + \frac {\Lambda}{2 \pi U}\frac {1}{r^2})\\ \\
\phi & = Urcos\theta(1 + \frac {\Lambda}{2\pi U}\frac {1}{r^2}) \\ \\
\psi & = Ursin\theta(1 - \frac {\Lambda}{2\pi r}\frac {1}{r^2})\end{align}$$

### Stagination Point

$$u_{\theta} = 0 \Rightarrow sin\theta = 0 \Rightarrow \theta = 0 \ or\ \pi$$

$$u_{r} = 0 \Rightarrow r = \sqrt{\frac {\Lambda}{2\pi U}} := R$$

### Divided Streamline

所以說這個 body 就好像是「圓柱形的東西」。

如果把上面的東西通通都用 $R$ 帶掉的話，會得到：

<br>

$$\begin{cases}\phi = Urcos\theta(1 + \frac {R^2}{r^2})\\[0.1cm]
\psi = Ursin\theta(1 - \frac {R^2}{r^2})\\[0.1cm]
u_{r}= Ucos\theta(1 - \frac {R^2}{r^2})\\[0.1cm]
u_{\theta} = -Usin\theta(1 + \frac {R^2}{r^2})
\end{cases}$$

<br>

可以注意到 $r = R$ ，也就是在圓柱表面的時候：

$$\begin{cases}u_{r}(R) = 0 \\
u_{\theta}(R) = -2Usin\theta
\end{cases}$$

上面的速度隨角度增減。

### 力

一樣是套 Bernoulli Equation：

$$p + \frac {\rho}{2}(u_{r}^2 + u_{\theta}^2) = P_{\infty} + \frac {\rho U^2}{2}$$

因為是想算「作用在圓柱上的力」，所以把剛剛 Devided Streamline 的速度場帶進去的話：

$$\begin{cases}u_{r}(R) = 0 \\
u_{\theta}(R) = -2Usin\theta
\end{cases} \\ $$

$$\Rightarrow P - P_{\infty} = \frac {\rho U^2}{2}(1 - 4sin^2\theta)$$

大致上是這樣：


如果從邊界層理論來看，$\frac {dP}{ds} = -\frac {1}{R}\frac {dP}{d\theta}$ 可以知道迎接流場的半個圓 $\frac {dP}{ds} < 0$，所以可以讓 boundary layer 乖乖長好; 後面半個圓的$\frac {dP}{ds} > 0$就很容易產生 seperation 讓流體亂流：


所以這東西應該會受到一些力吧。

但是如果你把力如果積分起來：

$$F_{D} = \oint_{cylinder}(-p)dx = \int_{0}^{2\pi}(4sin^2\theta - 1)Rcos\theta d\theta = 0$$

$$F_{L} = \oint(-p)dy = \int_{0}^{2\pi}(4sin^2\theta - 1)Rsin\theta d\theta = 0$$

然後就發現升力阻力又都是 0 了。然後就很黑人問號，為什麼都是 0 ？這就是接下來要講的 D'Almbert's Paradox

# 8.6 D'Alembert's Paradox

For ideal flow, the drag force is 0 on a body moving with constant velocity to fluid.

This 0-drag statement is in direct contraction to the observation of substantial drag on bodies moving relative to fluid in real flow.

This is due to the existence of flow seperation during the adverse pressure gradient region on the body.

白話文就是說：可以證明在 ideal flow 中的物體，受到的 Drag Force 永遠都是 0。但是實驗做出來明明就不是這樣。

破解這個悖論的方法可以用 Boundary Layer 解釋。看上一個例子，會發現在圓柱背面的壓力梯度 > 0 ，之前學過這會讓 Boundary Layer 亂長，最後就發生 Seperation 外加一大坨紊流，ideal flow 的預設就錯光光，所以推論會跟實驗不合也不是什麼意外。

| Ideal | reality |
|--|--|
|||

所以比照壓力梯度的話，就會變成下面那樣：