# Function Space - 逐點收斂與均勻收斂

函數的集合搭配適當的 *metric* 之後，也可以形成 *metric space*。問題是函數間該怎麼定義收斂？該怎麼定義距離？接下來的 Function Space 會討論這些性質。

## 逐點收斂 & 均勻收斂

:::warning
**Def (逐點收斂)**
假定 $\{f_n\}$ 是 $[a, b] \to \mathbb R$ 的函數形成的函數數列。若存在一個 $f : [a, b] \to \mathbb R$，使得：

$$
\begin{align}
&\forall\epsilon > 0.\forall x \in [a, b].\exists N > 0. \newline
&n > N \Rightarrow |f_n(x) - f(x)| < \epsilon
\end{align}
$$

則稱 $\{f_n\}$ 逐點收斂(*converges pointwise*)至 $f$
:::

逐點收斂的動機是：$\{f_n\}$ 裡面的函數全部帶 $x$ 進去之後，就形成了一個 $\mathbb R$ 中的數列。接著就可以用實數數列的收斂定義去做。

另外一個定義是「均勻收斂」：

:::warning
**Def (均勻收斂)**
假定 $\{f_n\}$ 是 $[a, b] \to \mathbb R$ 的函數形成的函數數列。若存在一個 $f : [a, b] \to \mathbb R$。

對於任意 $\epsilon > 0$，存在 $N > 0$，使得「每個」 $x \in [a, b]$ 帶入 $\{f_n\}$ 形成的數列 $\{f_n(x)\}$，都有：

$$
\begin{align}
&\forall \epsilon > 0.\exists N > 0.\forall x \in [a, b]. \newline
&n > N \Rightarrow |f_n(x) - f(x)| < \epsilon
\end{align}
$$
:::

可以發現只有量詞是反過來的。這邊是「有一個 $N$ 全體適用」。

為了符號方便，除非特別提到是「逐點收斂」，不然寫 $\{f_n\} \to f$ 時，意思就是是「均勻收斂」。

接下來要問的就是：如果 $\{f_n\}$ 的函數都有某些性質，而且 $\{f_n\} \to f$，那收斂到的那個 $f$，會不會也保留那些性質？這邊有一個：

## 均勻收斂保連續
:::danger
**Thm (均勻收斂保連續)**

假定 $\{f_n\}$ 是 $[a, b] \to \mathbb R$ 的函數形成的函數數列，且 $\{f_n\} \to f$ 。若 $\{f_n\}$ 中的函數均連續，則 $f$ 也連續。
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1. 均勻連續可以找到在任何點都跟 $f$ 很接近的 $f_n$，而且
2. 這個 $f_n$ 又連續

所以 $x$ 就可以先用 $f_n$ 的連續性當跳板，去接近 $f_n(x_0)$; 然後再從 $f_n(x_0)$ 往 $f_n(x)$ 跳。

因為均勻連續，所以存在 $N$，使得 $n > N$ 之後，所有 $x \in [a, b]$ 都可以達成 $|f(x) - f_n(x)| < \epsilon$

另外一方面，因為 $f_n$ 連續，所以當 $|x - x_0| < \delta$ 時，$|f_n(x) - f_n(x_0)| < \epsilon$。

因為目標是 $|f(x) - x(x_0)|$，所以就用三角不等式：

$$
|f(x) - f_n(x_0)| \leq |f(x) - f_n(x)| + |f_n(x) - f_n(x_0)| + |f_n(x_0) - f(x_0)| < 3\epsilon
$$

然後就解決了。

## 逐點收斂未必保連續

舉例來說，令 $f_n : [0, 1] \to \mathbb R$。其中：

$$
f_n = x^n
$$

可以證明 $f_n$ 逐點收斂至：

$$
f_n(x) \to f(x) =
\begin{cases}
1 & \text{if } x = 1 \newline
0 & \text{otherwise}
\end{cases}
$$

但 $f(x)$ 很明顯在 $x = 1$ 處不連續。

至於證明，直覺看的話，$x$ 要嘛是在端點，這時從頭到尾 $x^n$ 是一樣的值; 不然就是在 $(0, 1)$，這時 $x^n$ 明顯可以讓小。

稍微嚴謹的作法是就 $0 \leq x\leq 1$ 去討論。在 $x = 1$ 或 $x = 0$ 處，不管 $n$ 多少，$x^n$ 都是 $0$ 或 $1$。而另一方面，在 $0 < x < 1$ 處，顯然 $x^n$ 隨著 $n$ 遞減有下界，依照實數完備性知道收斂到最大下界。又因為對於任意 $\epsilon > 0$，取 $n = \lceil \log_x \epsilon\rceil$ 就可以讓 $x^n < \epsilon$，所以 $0$ 就是最大下界。由此得證。

另外一個例子是「逐點收斂，但收斂的函數也連續」的例子。比如：

$$
f_n(x) = \begin{cases}
n^2 x & 0 \leq x \leq \frac {1}{n} \newline
2n - n^2 x & \frac {1}{n} < x \leq \frac {2}{n} \newline
0 & \frac {2}{n} < x \leq 1
\end{cases}
$$

可以證明：

$$
f_n \to f = 0
$$

一樣分端點跟中間討論。端點顯然成立，因為兩個端點不管 $n$ 多大，帶進去都永遠是 $0$; 而非端點的 $x$ 只要 $n$ 夠大，比如大到能使 $(2/n) < x$ 的時後，$f_n(x)$ 就會直接帶到 $(2/n) \leq x \leq 1$ 那條，然後就變成 $0$ 了。

但可以發現：每個 $f_n$ 都連續的，而且最後會收斂到的 $0$ 函數也是連續的。