Function Space - 逐點收斂與均勻收斂

函數的集合搭配適當的 metric 之後，也可以形成 metric space。問題是函數間該怎麼定義收斂？該怎麼定義距離？接下來的 Function Space 會討論這些性質。

逐點收斂 & 均勻收斂

Def (逐點收斂)
假定

$\{f_n\}$ 是

$[a,b]\to \mathbb{R}$ 的函數形成的函數數列。若存在一個

$f:[a,b]\to \mathbb{R}$，使得：

$$\begin{array}{rl}& \mathrm{\forall }ϵ>0.\mathrm{\forall }x\in [a,b].\mathrm{\exists }N>0.\\ & n>N\Rightarrow |f_n(x)-f(x)|<ϵ\end{array}$$

則稱

$\{f_n\}$ 逐點收斂(converges pointwise)至

$f$

逐點收斂的動機是：

$\{f_n\}$ 裡面的函數全部帶

$x$ 進去之後，就形成了一個

$\mathbb{R}$ 中的數列。接著就可以用實數數列的收斂定義去做。

另外一個定義是「均勻收斂」：

Def (均勻收斂)
假定

$\{f_n\}$ 是

$[a,b]\to \mathbb{R}$ 的函數形成的函數數列。若存在一個

$f:[a,b]\to \mathbb{R}$。

對於任意

$ϵ>0$，存在

$N>0$，使得「每個」

$x\in [a,b]$ 帶入

$\{f_n\}$ 形成的數列

$\{f_n(x)\}$，都有：

$$\begin{array}{rl}& \mathrm{\forall }ϵ>0.\mathrm{\exists }N>0.\mathrm{\forall }x\in [a,b].\\ & n>N\Rightarrow |f_n(x)-f(x)|<ϵ\end{array}$$

可以發現只有量詞是反過來的。這邊是「有一個

$N$ 全體適用」。

為了符號方便，除非特別提到是「逐點收斂」，不然寫

$\{f_n\}\to f$ 時，意思就是是「均勻收斂」。

接下來要問的就是：如果

$\{f_n\}$ 的函數都有某些性質，而且

$\{f_n\}\to f$，那收斂到的那個

$f$，會不會也保留那些性質？這邊有一個：

均勻收斂保連續

Thm (均勻收斂保連續)

假定

$\{f_n\}$ 是

$[a,b]\to \mathbb{R}$ 的函數形成的函數數列，且

$\{f_n\}\to f$ 。若

$\{f_n\}$ 中的函數均連續，則

$f$ 也連續。

1. 均勻連續可以找到在任何點都跟
   $f$ 很接近的
   $f_n$，而且
2. 這個
   $f_n$ 又連續

所以

$x$ 就可以先用

$f_n$ 的連續性當跳板，去接近

$f_n(x_0)$; 然後再從

$f_n(x_0)$ 往

$f_n(x)$ 跳。

因為均勻連續，所以存在

$N$，使得

$n>N$ 之後，所有

$x\in [a,b]$ 都可以達成

$|f(x)-f_n(x)|<ϵ$

另外一方面，因為

$f_n$ 連續，所以當

$|x-x_0|<\delta$ 時，

$|f_n(x)-f_n(x_0)|<ϵ$。

因為目標是

$|f(x)-x(x_0)|$，所以就用三角不等式：

$$|f(x)-f_n(x_0)|\le |f(x)-f_n(x)|+|f_n(x)-f_n(x_0)|+|f_n(x_0)-f(x_0)|<3ϵ$$

然後就解決了。

逐點收斂未必保連續

舉例來說，令

$f_n:[0,1]\to \mathbb{R}$。其中：

$$f_n=x^n$$

可以證明

$f_n$ 逐點收斂至：

$$f_n(x)\to f(x)=\{\begin{array}{ll}1& \text{if }x=1\\ 0& \text{otherwise}\end{array}$$

但

$f(x)$ 很明顯在

$x=1$ 處不連續。

至於證明，直覺看的話，

$x$ 要嘛是在端點，這時從頭到尾

$x^n$ 是一樣的值; 不然就是在

$(0,1)$，這時

$x^n$ 明顯可以讓小。

稍微嚴謹的作法是就

$0\le x\le 1$ 去討論。在

$x=1$ 或

$x=0$ 處，不管

$n$ 多少，

$x^n$ 都是

$0$ 或

$1$。而另一方面，在

$0<x<1$ 處，顯然

$x^n$ 隨著

$n$ 遞減有下界，依照實數完備性知道收斂到最大下界。又因為對於任意

$ϵ>0$，取

$n=\lceil {\log }_xϵ\rceil$ 就可以讓

$x^n<ϵ$，所以

$0$ 就是最大下界。由此得證。

另外一個例子是「逐點收斂，但收斂的函數也連續」的例子。比如：

$$f_n(x)=\{\begin{array}{ll}{n}^{2}x& 0\le x\le \frac{1}{n}\\ 2n-n^{2}x& \frac{1}{n}<x\le \frac{2}{n}\\ 0& \frac{2}{n}<x\le 1\end{array}$$

可以證明：

$$f_n\to f=0$$

一樣分端點跟中間討論。端點顯然成立，因為兩個端點不管

$n$ 多大，帶進去都永遠是

$0$; 而非端點的

$x$ 只要

$n$ 夠大，比如大到能使

$(2/n)<x$ 的時後，

$f_n(x)$ 就會直接帶到

$(2/n)\le x\le 1$ 那條，然後就變成

$0$ 了。

但可以發現：每個

$f_n$ 都連續的，而且最後會收斂到的

$0$ 函數也是連續的。