# 代數導論二 - Ring Homomorphism

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## 定義：Ring Homomorphism

:::warning

假定 $R, R'$ 是兩個 *ring*。若函數 $\phi : R \to R'$ 滿足：

++**1. 加法可拆**++：

$$
\boxed{\phi(a + b) = \phi(a) + \phi(b)}
$$

++**2. 乘法可拆**++：

$$
\boxed{\phi(ab) = \phi(a)\phi(b)}
$$

則稱 $\phi$ 是一個 *ring homomorphism*。若更進一步，這個 $\phi$ 是一個 *bijection*，則稱其為一個 *isomorphism*。

:::

因為 *ring* 配上加法自動是個群，所以這個 *ring homomorphism* 在加法之下，也自動是 *group homomorphism*。

### 性質：Homomorphism 保 subring

:::danger
假定 $R, R'$ 是 *ring*，$\phi : R \to R'$ 是一個 *ring homomorphism*。則：

$$
\boxed{\phi(R) \text{ is a }\mathbf{subring} \text{ of }R'}
$$

:::

依照 *subring* 的定義，要驗證 $\phi(R)$ 是個 *subgroup*，以及 $\phi(R)$ 自己乘法封閉。

不過，*subgroup* 的部分，因為所有的 *ring homomorphism* 都同時是個 *group homomorphism*，所以 *subgroup* 的部分就可以沿用 *group homomorphism* 的結論而自動成立。因此，只要證明乘法封閉就好。但這也不難，因為依照 *ring homomorphism* 的定義：

$$
\phi(a)\phi(b) = \phi(ab) \in \phi(R)
$$

### 定義：Kernel

:::warning

假定 $R. R'$ 是 *ring*，且 $\phi : R \to R'$ 是一個 *homomorphism*。則定義 $\phi$ 的 *kernel* 為：

$$
\boxed{\ker \phi = \{r \in R \mid \phi(r) = 0'\}}
$$

其中，$0'$ 是 $R'$ 中的加法單位元。

:::

關於 *kernel* 的定義，現在因為有兩種運算，因此可能會納悶究竟是對應到哪個運算的單位元。不過也別忘了：乘法不保證有單位元，所以這邊 *kernel* 定義的是「被映射到加法單位元」的那些元素。

### 性質：Kernel 是 Subring

:::danger

假定 $R, R'$ 是 *ring*，$\phi : R \to R'$ 是一個 *ring homomorphism*。則：

$$
\boxed{\ker \phi \text{ is a }\mathbf{subring} \text{ of }R}
$$

且更進一步，對於任意 $r \in R$，有：

$$
\boxed{\alpha \in \ker \phi \Rightarrow \begin{cases}
r\alpha \in \ker \phi \text{; and}
\newline
\alpha r \in \ker \phi
\end{cases}}
$$

:::

類似地，*kernel* 是個 $R$ 中的 *subgroup* 直接沿用 *group homomorphism* 的性質; 而乘法封閉的部分，直接由 *ring homomorphism* 的性質得到：

$$
\begin{cases}
\phi(a) = 0
\newline
\phi(b) = 0
\end{cases}\Rightarrow \phi(ab) = \phi(a)\phi(b) = 0
$$

既然 $\phi(ab) = 0$，這就是在說：

$$
ab \in \ker \phi
$$

而第二個部分，也是直接由 *ring homomorphism* 的定義得出：

$$
\phi(r\alpha) = \phi(r)\phi(\alpha) = \phi(r) 0 = 0
$$

另外一個也一樣，只是左右對調：

$$
\phi(\alpha r) = \phi(\alpha)\phi(r) = 0\phi(r) = 0
$$