代數導論二 - Ring Homomorphism

• 代數導論二 - Ring Homomorphism
  • 定義：Ring Homomorphism
    • 性質：Homomorphism 保 subring
    • 定義：Kernel
    • 性質：Kernel 是 Subring

定義：Ring Homomorphism

假定

$R,R^{\prime }$ 是兩個 ring。若函數

$\varphi :R\to R^{\prime }$ 滿足：

1. 加法可拆：

$$\boxed{{\displaystyle \varphi (a+b)=\varphi (a)+\varphi (b)}}$$

2. 乘法可拆：

$$\boxed{{\displaystyle \varphi (ab)=\varphi (a)\varphi (b)}}$$

則稱

$\varphi$ 是一個 ring homomorphism。若更進一步，這個

$\varphi$ 是一個 bijection，則稱其為一個 isomorphism。

因為 ring 配上加法自動是個群，所以這個 ring homomorphism 在加法之下，也自動是 group homomorphism。

性質：Homomorphism 保 subring

假定

$R,R^{\prime }$ 是 ring，

$\varphi :R\to R^{\prime }$ 是一個 ring homomorphism。則：

$$\boxed{{\displaystyle \varphi (R)\text{ is a }\mathbf{subring}\text{ of }{R}^{\prime }}}$$

依照 subring 的定義，要驗證

$\varphi (R)$ 是個 subgroup，以及

$\varphi (R)$ 自己乘法封閉。

不過，subgroup 的部分，因為所有的 ring homomorphism 都同時是個 group homomorphism，所以 subgroup 的部分就可以沿用 group homomorphism 的結論而自動成立。因此，只要證明乘法封閉就好。但這也不難，因為依照 ring homomorphism 的定義：

$$\varphi (a)\varphi (b)=\varphi (ab)\in \varphi (R)$$

定義：Kernel

假定

$R.R^{\prime }$ 是 ring，且

$\varphi :R\to R^{\prime }$ 是一個 homomorphism。則定義

$\varphi$ 的 kernel 為：

$$\boxed{{\displaystyle \ker \varphi =\{r\in R\mid \varphi (r)=0^{\prime }\}}}$$

其中，

$0^{\prime }$ 是

$R^{\prime }$ 中的加法單位元。

關於 kernel 的定義，現在因為有兩種運算，因此可能會納悶究竟是對應到哪個運算的單位元。不過也別忘了：乘法不保證有單位元，所以這邊 kernel 定義的是「被映射到加法單位元」的那些元素。

性質：Kernel 是 Subring

假定

$R,R^{\prime }$ 是 ring，

$\varphi :R\to R^{\prime }$ 是一個 ring homomorphism。則：

$$\boxed{{\displaystyle \ker \varphi \text{ is a }\mathbf{subring}\text{ of }R}}$$

且更進一步，對於任意

$r\in R$，有：

$$\boxed{{\displaystyle \alpha \in \ker \varphi \Rightarrow \{\begin{array}{l}r\alpha \in \ker \varphi \text{; and}\\ \alpha r\in \ker \varphi \end{array}}}$$

類似地，kernel 是個

$R$ 中的 subgroup 直接沿用 group homomorphism 的性質; 而乘法封閉的部分，直接由 ring homomorphism 的性質得到：

$$\{\begin{array}{l}\varphi (a)=0\\ \varphi (b)=0\end{array}\Rightarrow \varphi (ab)=\varphi (a)\varphi (b)=0$$

既然

$\varphi (ab)=0$，這就是在說：

$$ab\in \ker \varphi$$

而第二個部分，也是直接由 ring homomorphism 的定義得出：

$$\varphi (r\alpha )=\varphi (r)\varphi (\alpha )=\varphi (r)0=0$$

另外一個也一樣，只是左右對調：

$$\varphi (\alpha r)=\varphi (\alpha )\varphi (r)=0\varphi (r)=0$$