代數導論 (21) - Sylow Theorem (相關推論)

• 代數導論 (21) - Sylow Theorem (相關推論)
  • 推論：當有人說他是唯一的 Sylow p-Subgroup 時
    • 1 和 2 等價
    • 2 和 3 等價
    • 1, 2, 3 推到 4
    • 4 推到 1

這裡主要是講一些西羅定理的推論。

推論：當有人說他是唯一的 Sylow p-Subgroup 時

Corollary

假定

$G$ 是一個群，

$P$ 是一個 Sylow p-subgroup。則下列敘述等價：

1. 整個

   $G$ 當中只有
   $P$ 這一個 Sylow
   $p$-subgroup：
   $$n_p(G)=1$$

2. $P$ 是
   $G$ 的 normal subgroup：
   $$P⊲G$$

3. $P$ 被任意
   $G$ Automorphism 作用之後，仍然是自己。即：
   $$\psi (P)=P\mathrm{\forall }\psi \in \text{Aut}(G)$$

   這個性質又稱為「charcteristic」。

4. $G$ 中任何 order 為
   $p$ 的冪次的元素們，其所生成的群都是 p-group。即：若
   $X$ 中任意元素有：
   $$o(x)=p^k\text{fore some }k$$

   則：

   $$|⟨X⟩|=p^i\text{for some }i$$

這邊會先證明 1, 2, 3 等價，然後用 2 推 跟上面三個等價。

1 和 2 等價

1 跟 2 等價是因為：所有的 Sylow p-subgroup 都互相共軛。所以如果只有這樣一個 Sylow p-subgroup，那就表示：不管跟

$G$ 中哪個余素取共軛，他都是他自己。也就是說：

$$gP{g}^{-1}=P\mathrm{\forall }g\in G$$

但上面這個敘述根本就是

$P$ 是個

$G$ 的 normal subgroup 的定義。反之，如果已知

$P$ 是個 Sylow p-group，且

$P⊲G$，那麼套用定義就得到上面那行。但因為所有 Sylow p-subgroup 必定互相共軛，但現在

$P$ 共軛的結果就最多就只有

$P$ 自己，所以唯一的可能就是只有

$P$ 自己這個 Sylow p-subgroup：

$$\begin{array}{rl}& P⊲G\\ & ⟺gP{g}^{-1}=P\mathrm{\forall }g\in G\\ & ⟺P\text{ is the only possible Sylow p-subgroup}\end{array}$$

2 和 3 等價

2 跟 3 等價是因為：前面證明 Sylow p-group 時有提到：Sylow p-subgroup 被 automorphism 作用之後，結果還是一個 Sylow p-subgroup。因此，套用 Sylow theorem，這個做出來的結果

$\psi (P)$ 就跟原先的 Sylow p-group

$P$ 互相共軛：

$$\psi (P)=gP{g}^{-1}\text{ for some }g\in G$$

但另外一方面，

$P$ normal，所以：

$$gP{g}^{-1}=P$$

由此得證：

$$\psi (P)=gP{g}^{-1}=P$$

而另外一方面，如果有 3 ，那對於任意

$g\in G$，下列這個都是一個 automotphism：

$$\begin{array}{rl}{\psi }_h:G& \to G\\ g& \to hg{h}^{-1}\end{array}$$

既然每一個

${\psi }_h$ 都有：

$${\psi }_h(P)=(hP{h}^{-1})=P\mathrm{\forall }h\in G$$

那麼就得證

$P$ normal

1, 2, 3 推到 4

1, 2, 3 推 4 只要證明：所有 order 為

$p$ 的冪次的元素，都必定會在

$P$ 當中就好了，剩下的因為

$P$ 是個群，再加上所有 order 為

$p$ 的冪次的元素通通都在

$P$ 當中所以

$X\subseteq P$，因此就證明了

$⟨X⟩\subseteq P$。

那要怎麼證明所有 order 為

$p$ 冪次的元素都在

$P$ 中呢？用反證法。假定存在一個

$x$，且：

$$o(x)=p^n\text{ and }x\notin P$$

這樣一個元素，考慮：

$$H=⟨x⟩$$

因為 1, 2, 3 中，2 有

$P⊲G$。所以可知：

$HP$ 可以構成一個群。即：

$$H⊲G\Rightarrow HP\le G$$

但另外一方面，套用 Diamond Isomorphism Theorem：

$$|HP|=\frac{|H|\cdot |P|}{|H\cap P|}$$

首先，因為

$|H|=p^n$，而且

$P$ 是個 Sylow p-subgroup 所以

$|P|=p^{\alpha }$。因此，如果

$|HP|$ 要是個整數，那唯一的可能就是

$|H\cap P|$ 也是

$p$ 的冪次，也就是要有

$p^m$ 的形式。但這樣一來，因為

$H\cap P$ 是

$H$ 的子群，所以：

$$|H\cap P|\le |H|\Rightarrow \frac{|H|}{|H\cap P|}\ge 1$$

因此：

$$|HP|=\left(\frac{|H|}{|H\cap P|}\right)\cdot |P|$$

但現在大家的大小都是

$p$ 的冪次，而且

$|HP|$ 當中，

$p$ 的冪次不可能比

$|P|$ 的更大，因為 Sylow p-subgroup 的定義可知：如果

$P$ 是 Sylow p-group，那麼沒有任何 p-subgroup 的大小能比

$P$ 大。因此，唯一的可能是：

$$\frac{|H|}{|H\cap P|}=1\Rightarrow H\subseteq P$$

但

$H$ 就是

$⟨x⟩$，而且前面一開始就說好要找

$x\notin P$ 的元素，但邊又證出了：

$$H=⟨x⟩\subseteq P$$

因此矛盾。

4 推到 1

利用反證法，假定

$n_p\ne 1$，也就是說至少有兩個 Sylow p-subgroup

$P_1$,

$P_2$。把他們組合起來，令：

$$Q=⟨P_1,P_2⟩$$

但由 3. 可知：這樣組成的

$Q$ 必定是個 p-group，但 p-group 的 order 不可能比 Sylow p-subgroup 大。所以唯一的可能就是：

$$\begin{array}{r}{P}_1\subseteq Q\text{ and }|P_1|\le |Q|\Rightarrow P_1=Q\\ P_2\subseteq Q\text{ and }|P_2|\le |Q|\Rightarrow P_2=Q\end{array}$$

由此得證：

$$P_1=P_2$$

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