Topological Space - Compactness (Cluster Point)

除了 open cover 的定義之外，拓樸空間還可以定義另外一種 compact，而這個定義與 cluster point 有關：

定義

Def (Cluster Point Cmpact)
假定

$X$ 是一個拓樸空間。若對於任意一個大小無限的集合

$S$，都可以在

$X$ 中找到一個

$S$ 的 cluster point：

$$\begin{array}{rl}& \mathrm{\forall }\text{ infinite set }S\subseteq X.\\ & \mathrm{\exists }x\in X.x\text{ is a cluster point of }S\end{array}$$

則稱

$X$ 為 cluster point compact。

這個看起來比較有 metric space 中的那個 compact 的味道，至少現在是跟數列有關係了。事實上，從 open cover compact 出發，拓樸越接近 metric space，就可以導出越接近 sequencial compact 的定義。比如說現在就可以證明：

Open Cover Compact 有 Cluster Point Compact

Thm (Open Cover Compact 表示 Custer Point Compact)

假定

$X$ 是一個 topological space，則：

$$\begin{array}{rl}& X\mathbf{open}\mathbf{cover}\mathbf{compact}\\ & \Rightarrow X\mathbf{cluster}\mathbf{point}\mathbf{compact}\end{array}$$

對於任意一個大小無限的集合

$S$，假定這樣的 cluster point 不存在於

$X$ 中。也就是說：對於任意一個

$x\in X$，都存在一個開集

$u_x$，這個開集最多除了

$x$ 自己以外，沒有交到任何

$S$ 中的元素：

$$\begin{array}{rl}& \mathrm{\forall }x\in X.\mathrm{\exists }{u}_x.\\ & (u_x\cap S)=\varphi \text{; or }\\ & (u_x\cap S)=\{x\}\end{array}$$

但這樣一來，如果使用 open cover compact 的定義就會矛盾。因為如果把所有這樣的

$u_x$ 都收集起來，就會形成一個

$X$ 的 open cover。令其為：

$$\mathfrak{U}=\{u_x{\}}_{x\in X}$$

既然

$X$ 是 open cover comapct，所以

$\mathfrak{U}$ 存在一個 finite subcover

${\mathfrak{U}}^{\prime }$：

$$\mathrm{\exists }{\mathfrak{U}}^{\prime }=\{u_{x_1}\dots u_{x_n}\}\subseteq \mathfrak{U}.X\subseteq \bigcap _{i=1}^n{u}_{x_i}$$

既然這個

${\mathfrak{U}}^{\prime }$ 是個

$X$ 的 open cover，而

$S\subseteq X$，所以照理說也要可以 cover 住整個

$S$。也就是：

$$S=(X\cap S)\subseteq \bigcup _{i=1}^n(u_{x_i}\cap S)$$

但矛盾就在這邊：

$S$ 有無限多個元素，但每個

$(u_{x_i}\cap S)$ 要嘛是空集合

$\varphi$，要嘛是只有一個元素

$\{x\}$，因此任何一個

$(u_{x_i}\cap S)$ 裡面最多也只有一個元素，所以

$\bigcup _{i=1}^n(u_{x_i}\cap S)$ 最多最多也就只有

$n$ 個元素。但

$S$ 一開始假定有無限個元素，所以就矛盾了。

1st-Countable + Hausdorff + Cluster 有 Sequential Compact

這時候可能會想：要什麼樣的拓樸下，可以從 cluster point compact 推到 sequencial compact？這邊有一個：

Thm

假定

$X$ 是一個 1st-countable Hausdorff space，則：

$$\begin{array}{rl}& X\mathbf{cluster}\mathbf{point}\mathbf{compact}\\ & \Rightarrow X\mathbf{sequential}\mathbf{compact}\end{array}$$

其中，1st-countable 的定義為：

若對於任何一個空間

$X$ 中的元素

$p$，都存在一系列的 nested sequence of neighborhood

$\{B_i{\}}_{i=1}^{\mathrm{\infty }}$，其中

$B_i\supset B_j\mathrm{\forall }i<j$，使得任何

$x$ 的鄰域

$u_x$，都有夠小的的鄰域

$B_i\subseteq \{B_i\}$，使得

$B_i\subseteq u_x$。即：

$$\begin{array}{rl}& \mathrm{\forall }x\in X.\\ & \mathrm{\exists }{B}_1\supset \cdots \supset B_i\supset \dots \\ & \mathrm{\forall }{u}_x.\mathrm{\exists }{B}_i\in \{B_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}.B_i\subseteq u_x\end{array}$$

關鍵就是這個 1st-countable 有點好過頭了。因為 Hausdorff space 中，任何 cluster point 的鄰域都有無限多個點。所以對於某個 cluster point，1-st countable 給定的那堆

$\{B_n\}$ ，每個都包了無限多個點。點這麼多，看起來根本不愁找不到收斂子序列。

比如說：假定現在有 cluster point compact，也就是說「任何無限多點的集合，

$X$ 都有至少有一個他的 cluster point」。那麼給定任一個

$X$ 中的序列：

$$\mathcal{P}=\{p_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}\subseteq X$$

那麼：

1. 因為

   $\{p_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ 有無限多個點，所以在 Hausdorff space 下，
   $X$ 中一定會有一個他的 cluster point

2. 假定這個 cluster point 叫做

   $p$。接下來用「Hausdorff space 中，cluster point 的鄰域必定包含無限多點」以及剛剛的「1st-countable」，就可以知道那些 1st-countable 的所有
   $p$ 的鄰域
   $\{B_i{\}}_{i=1}^{\mathrm{\infty }}$ 都包含了無限多個點。

所以，如果在每個

$B_i\cap \mathcal{P}$ 都取一個點，並且組成一個序列。也就是令：

$${\mathcal{P}}^{\prime }=\{p_i^{\prime }:p_i^{\prime }\in (B_i\cap \mathcal{P})\}$$

因為每個

$B_i$ 都有無限多個點，所以

$B_i\ne \varphi$; 又因為

$p$ 是

$\mathcal{P}$ 的 cluster point，所以由 cluster point 的定義，任何

$p$ 的鄰域都包含了

$\mathcal{P}$ 中至少一個

$p$ 以外的點。而既然每個又

$B_i$ 都是

$p$ 的鄰域，因此

$B_i\cap P\ne \varphi$; 更進一步：

$$p_i^{\prime }\to p$$

因為任意一個

$p$ 的鄰域

$u_p$，都可以找到一個

$B_N\subseteq u_p$，而因為

$p_i^{\prime }$ 是從：

$$B_1\supset \cdots \supset B_i\supset B_{i+1}\supset \cdots$$

選取的，而他們是一堆 nested set。所以對於任意

$k>N$，都有：

$$B_N\supset B_{N+1}\supset \cdots \supset B_k\ni p_k^{\prime }$$

所以由收斂的定義，

$p_i^{\prime }\to p$。因此這就是

$\mathcal{P}$ 的收斂子序列了。