# Topological Space - Compactness (Cluster Point)

除了 *open cover* 的定義之外，拓樸空間還可以定義另外一種 *compact*，而這個定義與 *cluster point* 有關：

## 定義

:::warning
**Def (Cluster Point Cmpact)**
假定 $X$ 是一個拓樸空間。若對於任意一個大小無限的集合 $S$，都可以在 $X$ 中找到一個 $S$ 的 *cluster point*：

$$
\begin{align}
&\forall \text{ infinite set }S\subseteq X.
\newline
&\quad \exists x \in X.x\text{ is a cluster point of }S
\end{align}
$$

則稱 $X$ 為 *cluster point compact*。
:::

這個看起來比較有 *metric space* 中的那個 *compact* 的味道，至少現在是跟數列有關係了。事實上，從 *open cover compact* 出發，拓樸越接近 *metric space*，就可以導出越接近 *sequencial compact* 的定義。比如說現在就可以證明：

## Open Cover Compact 有 Cluster Point Compact

:::danger
**Thm (Open Cover Compact 表示 Custer Point Compact)**

假定 $X$ 是一個 *topological space*，則：

$$
\begin{align}
&X\mathbf{\ open\ cover\ compact} \newline
&\Rightarrow X \mathbf{\ cluster\ point\ compact}
\end{align}
$$
:::

對於任意一個大小無限的集合 $S$，假定這樣的 *cluster point* 不存在於 $X$ 中。也就是說：對於任意一個 $x \in X$，都存在一個開集 $u_x$，這個開集最多除了 $x$ 自己以外，沒有交到任何 $S$ 中的元素：

$$
\begin{align}
&\forall x \in X.\exists u_x.
\newline
&\quad (u_x \cap S) = \phi \text{; or }
\newline
&\quad (u_x \cap S) = \{x\}
\end{align}
$$

但這樣一來，如果使用 *open cover compact* 的定義就會矛盾。因為如果把所有這樣的 $u_x$ 都收集起來，就會形成一個 $X$ 的 *open cover*。令其為：

$$
\mathfrak U = \{u_x\}_{x \in X}
$$

既然 $X$ 是 *open cover comapct*，所以 $\mathfrak U$ 存在一個 *finite subcover* $\mathfrak U'$：

$$
\exists \mathfrak U' = \{u_{x_1} \dots u_{x_n}\}\subseteq \mathfrak U. X \subseteq \bigcap_{i = 1}^n u_{x_i}
$$

既然這個 $\mathfrak U'$ 是個 $X$ 的 *open cover*，而 $S \subseteq X$，所以照理說也要可以 *cover* 住整個 $S$。也就是：

$$
S = (X \cap S) \subseteq \bigcup_{i = 1}^n (u_{x_i}\cap S)
$$

但矛盾就在這邊：$S$ 有無限多個元素，但每個 $(u_{x_i} \cap S)$ 要嘛是空集合 $\phi$，要嘛是只有一個元素 $\{x\}$，因此任何一個 $(u_{x_i} \cap S)$ 裡面最多也只有一個元素，所以 $\bigcup_{i = 1}^n(u_{x_i} \cap S)$ 最多最多也就只有 $n$ 個元素。但 $S$ 一開始假定有無限個元素，所以就矛盾了。

## 1st-Countable + Hausdorff + Cluster 有 Sequential Compact

這時候可能會想：要什麼樣的拓樸下，可以從 *cluster point compact* 推到 *sequencial compact*？這邊有一個：

:::danger
**Thm**

假定 $X$ 是一個 *1st-countable* *Hausdorff* *space*，則：

$$
\begin{align}
&X\mathbf{\ cluster\ point\ compact} \newline
&\Rightarrow X \mathbf{\ sequential\ compact}
\end{align}
$$

:::

其中，*1st-countable* 的定義為：

:::warning
若對於任何一個空間 $X$ 中的元素 $p$，都存在一系列的 *nested sequence of neighborhood* $\{B_{i}\}_{i = 1}^{\infty}$，其中 $B_i \supset B_j\ \forall i < j$，使得任何 $x$ 的鄰域 $u_x$，都有夠小的的鄰域 $B_i \subseteq \{B_i\}$，使得 $B_i \subseteq u_x$。即：

$$
\begin{align}
&\forall x \in X.
\newline
&\quad \exists B_1 \supset \dots \supset B_i \supset \dots
\newline
&\qquad\forall u_x. \exists B_i \in \{B_n\}_{n = 1}^{\infty}.B_i \subseteq u_x
\newline
\end{align}
$$

:::

關鍵就是這個 *1st-countable* 有點好過頭了。因為 *Hausdorff space* 中，任何 *cluster point* 的鄰域都有無限多個點。所以對於某個 *cluster point*，*1-st countable* 給定的那堆 $\{B_n\}$ ，每個都包了無限多個點。點這麼多，看起來根本不愁找不到收斂子序列。

比如說：假定現在有 *cluster point compact*，也就是說「任何無限多點的集合，$X$ 都有至少有一個他的 *cluster point*」。那麼給定任一個 $X$ 中的序列：

$$
\mathcal P = \{p_n\}_{n = 1}^{\infty} \subseteq X
$$

那麼：

1. 因為 $\{p_n\}_{n = 1}^{\infty}$ 有無限多個點，所以在 *Hausdorff space* 下，$X$ 中一定會有一個他的 *cluster point*

2. 假定這個 *cluster point* 叫做 $p$。接下來用「*Hausdorff space* 中，*cluster point* 的鄰域必定包含無限多點」以及剛剛的「*1st-countable*」，就可以知道那些 *1st-countable* 的所有 $p$ 的鄰域 $\{B_i\}_{i = 1}^{\infty}$ 都包含了無限多個點。

所以，如果在每個 $B_i \cap \mathcal P$ 都取一個點，並且組成一個序列。也就是令：

$$
\mathcal P' = \{p'_{i}:p'_{i} \in (B_i \cap \mathcal P) \}
$$

因為每個 $B_i$ 都有無限多個點，所以 $B_i \neq \phi$; 又因為 $p$ 是 $\mathcal P$ 的 *cluster point*，所以由 *cluster point* 的定義，任何 $p$ 的鄰域都包含了 $\mathcal P$ 中至少一個 $p$ 以外的點。而既然每個又 $B_i$ 都是 $p$ 的鄰域，因此 $B_i \cap P \neq \phi$; 更進一步：

$$
p'_i \to p
$$

因為任意一個 $p$ 的鄰域 $u_p$，都可以找到一個 $B_N \subseteq u_p$，而因為 $p_i'$ 是從：

$$
B_1 \supset \cdots \supset B_i \supset B_{i + 1} \supset \cdots
$$

選取的，而他們是一堆 *nested set*。所以對於任意 $k > N$，都有：

$$
B_N \supset B_{N + 1} \supset \dots \supset B_k \ni p_k'
$$

所以由收斂的定義，$p_i' \to p$。因此這就是 $\mathcal P$ 的收斂子序列了。