代數導論二 - Prime Ideal

• 代數導論二 - Prime Ideal
  • 定義：Prime Ideal
  • 敘述：Prime Ideal = Quotient 之後是 Integral Domain
    • 觀察：交換環中 Maximal Ideal 都是 Prime Ideal
  • 觀察：Prime Ideal 的 Homo. Preimage 都是 Prime Ideal
    • 推論：Prime Ideal 跟子環的交集還是 Prime Ideal

定義：Prime Ideal

從名字來看可以猜到這就是要模擬質數的性質

假定

$R$ 是一個有

$1\ne 0$ 的交換環，

$P⊴R$ 是一個 proper ideal。若「

$P$ 的一個元素能表為兩個元素相乘時，其中至少有一個會是

$P$ 中的成員」，即：

$$\begin{array}{rl}& xy\in P⟺\\ & x\in P\text{ or }y\in P\end{array}$$

則稱

$P$ 是一個 prime ideal。

這個東西是模擬下面的性質：假定

$p$ 是一個質數，則：

$$\underset{ab\in P}{\underbrace{p\mid ab}}⟺\underset{a\in P}{\underbrace{p\mid a}}\text{ or }\underset{b\in P}{\underbrace{P\mid b}}$$

「至少有一個」，所以可以

$a,b$ 同時在

$P$ 裡面，

敘述：Prime Ideal = Quotient 之後是 Integral Domain

假定

$R$ 是一個有

$1\ne 0$ 的交換環。則「

$P$ 是一個 prime ideal」跟「做 Quotient 之後會得到一個 integral domain」等價：

$$\begin{array}{rl}& P\text{ is a prime ideal}\\ & ⟺R/P\text{ is an integral domain}\end{array}$$

(

$\Rightarrow$)：這就是問兩個

$R/P$ 中的 coset 相乘為

$(0+P)$ 的時候，他們的代表元素要有什麼關係。比如說假定：

$$\overline{a}\cdot \overline{b}=\overline{0}$$

依照 coset 的定義：

$$\underset{\overline{a}}{\underbrace{(a+P)}}\underset{\overline{b}}{\underbrace{(b+P)}}=P$$

這就是在說：

$$ab+P=\overline{0}\Rightarrow ab\in P$$

但因為

$P$ 是 prime ideal，由定義可知

$$a\in P\text{ or }b\in P$$

但是由 coset 的性質，這個就是在說：

$$\overline{a}=\overline{0}\text{ or }\overline{b}=\overline{0}$$

所以就證明除完之後的東西就是一個 integral domain。

(

$\Leftarrow$)：也是利用 coset。假定

$a,b\in R$，且

$$ab\in P$$

目標就是證明

$a,b$ 裡面至少有一個在

$P$ 裡面。等價地就是要證明：

$$\overline{a}=0\text{ or }\overline{b}=0$$

這個也很直接，因為

$ab\in P$ 表示：

$$ab+P=(a+P)(b+P)=P$$

因為

$R/P$ 是一個 integral domain，所以

$(a+P)$ 跟

$(b+P)$ 至少要有一個人是

$\overline{0}$。所以就得到：

$$(a\in P)\text{ or }(b\in P)$$

觀察：交換環中 Maximal Ideal 都是 Prime Ideal

假定

$R$ 是一個有

$1\ne 0$ 的交換環，則每一個 maximal ideal 都是 prime ideal。

如果

$M$ 是一個 maximal ideal，這就表示

$R/M$ 是一個 field。但是每一個 field 都是 integral domain，所以用上面的結論就推到他也是個 prime ideal。

觀察：Prime Ideal 的 Homo. Preimage 都是 Prime Ideal

假定

$R,S$ 是兩個環。且：

$$\psi :R\to S$$

是個 ring homomorphism。則：

$$P⊴S\Rightarrow {\psi }^{-1}(P)⊴R$$

假定：

$$ab\in {\psi }^{-1}(P)$$

由 preimage 的定義，這表示

$ab$ 會被

$\psi$ 送到

$P$ 裡面。用 homomorphism 的性質：

$$\psi (ab)=\psi (a)\psi (b)\in P$$

因為

$P$ 是 priem ideal，所以

$\psi (a),\psi (b)$ 裡面至少要有一個在

$P$ 當中：

$$[\psi (a)\in P]\text{ or }[\psi (b)\in P]$$

由 preimage 的定義，這句話的意思等同於

$a,b$ 至少有一個人要在

${\psi }^{-1}(P)$ 裡面：

$$[a\in {\psi }^{-1}(P)]\text{ or }[b\in {\psi }^{-1}(P)]$$

推論：Prime Ideal 跟子環的交集還是 Prime Ideal

假定

$R$ 是一個環，且

$R^{\prime }$ 是一個

$R$ 的子環。若

$P$ 是一個

$R$ 中的 prime ideal，則

$(P\cap R^{\prime })$ 也是一個

$R^{\prime }$ 中的 prime ideal

這是因為 inclusion map 是一個 homomorphism：

$$\begin{array}{rl}\iota :R^{\prime }& \to R\\ x& \mapsto x\end{array}$$

並且觀察：inclusion map 的 preimage 就是跟定義域取交集：

$${\iota }^{-1}(P)=(R^{\prime }\cap P)$$

所以套用上面的定理，就證明了

$(R^{\prime }\cap P)$ 是一個 prime ideal。