# 代數導論二 - Prime Ideal

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## 定義：Prime Ideal

> 從名字來看可以猜到這就是要模擬質數的性質

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假定 $R$ 是一個有 $1 \neq 0$ 的交換環，$P \unlhd R$ 是一個 *proper ideal*。若「$P$ 的一個元素能表為兩個元素相乘時，其中至少有一個會是 $P$ 中的成員」，即：

$$
\begin{align}
&xy \in P \iff
\newline
&x \in P \text{ or }y \in P
\end{align}
$$

則稱 $P$ 是一個 *prime ideal*。

:::

這個東西是模擬下面的性質：假定 $p$ 是一個質數，則：

$$
\underbrace{p \mid ab}_{ab \in P} \iff \underbrace{p \mid a}_{a \in P} \text{ or }\underbrace{P \mid b}_{b \in P}
$$

「至少有一個」，所以可以 $a, b$ 同時在 $P$ 裡面，

## 敘述：Prime Ideal = Quotient 之後是 Integral Domain

:::danger

假定 $R$ 是一個有 $1 \neq 0$ 的交換環。則「$P$ 是一個 *prime ideal*」跟「做 *Quotient* 之後會得到一個 *integral domain*」等價：

$$
\begin{align}
&P \text{ is a prime ideal}
\newline
& \iff R/P \text{ is an integral domain}
\end{align}
$$

:::

($\Rightarrow$)：這就是問兩個 $R/P$ 中的 *coset* 相乘為 $(0 + P)$ 的時候，他們的代表元素要有什麼關係。比如說假定：

$$
\bar a \cdot \bar b = \bar 0
$$

依照 *coset* 的定義：

$$
\underbrace{(a + P)}_{\bar a}\underbrace{(b + P)}_{\bar b} = P
$$

這就是在說：

$$
ab + P = \bar 0 \Rightarrow ab \in P
$$

但因為 $P$ 是 *prime ideal*，由定義可知

$$
a \in P \text{ or }b \in P
$$

但是由 *coset* 的性質，這個就是在說：

$$
\bar a = \bar 0 \text{ or }\bar b = \bar 0
$$

所以就證明除完之後的東西就是一個 *integral domain*。

($\Leftarrow$)：也是利用 *coset*。假定 $a, b \in R$，且

$$
ab \in P
$$

目標就是證明 $a, b$ 裡面至少有一個在 $P$ 裡面。等價地就是要證明：

$$
\bar a = 0 \text{ or }\bar b = 0
$$

這個也很直接，因為 $ab \in P$ 表示：

$$
ab + P = (a + P)(b + P) = P
$$

因為 $R/P$ 是一個 *integral domain*，所以 $(a + P)$ 跟 $(b + P)$ 至少要有一個人是 $\bar 0$。所以就得到：

$$
(a \in P)\text{ or }(b \in P)
$$

### 觀察：交換環中 Maximal Ideal 都是 Prime Ideal

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假定 $R$ 是一個有 $1 \neq 0$ 的交換環，則每一個 *maximal ideal* 都是 *prime ideal*。

:::

如果 $M$ 是一個 *maximal ideal*，這就表示 $R/M$ 是一個 *field*。但是每一個 *field* 都是 *integral domain*，所以用上面的結論就推到他也是個 *prime ideal*。

## 觀察：Prime Ideal 的 Homo. Preimage 都是 Prime Ideal

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假定 $R, S$ 是兩個環。且：

$$
\psi : R \to S
$$

是個 *ring homomorphism*。則：

$$
P \unlhd S \Rightarrow \psi^{-1}(P) \unlhd R
$$

:::

假定：

$$
ab \in \psi^{-1}(P)
$$

由 *preimage* 的定義，這表示 $ab$ 會被 $\psi$ 送到 $P$ 裡面。用 *homomorphism* 的性質：

$$
\psi(ab) = \psi(a)\psi(b) \in P
$$

因為 $P$ 是 *priem ideal*，所以 $\psi(a), \psi(b)$ 裡面至少要有一個在 $P$ 當中：

$$
[\psi(a) \in P] \text{ or }[\psi(b) \in P]
$$

由 *preimage* 的定義，這句話的意思等同於 $a, b$ 至少有一個人要在 $\psi^{-1}(P)$ 裡面：

$$
[a \in \psi^{-1}(P)] \text{ or }[b \in \psi^{-1}(P)]
$$

### 推論：Prime Ideal 跟子環的交集還是 Prime Ideal

:::danger

假定 $R$ 是一個環，且 $R'$ 是一個 $R$ 的子環。若 $P$ 是一個 $R$ 中的 *prime ideal*，則 $(P \cap R')$ 也是一個 $R'$ 中的 *prime ideal*

:::

這是因為 *inclusion map* 是一個 *homomorphism*：

$$
\begin{align}
\iota : R' &\to R
\newline
x & \mapsto x
\end{align}
$$

並且觀察：*inclusion map* 的 *preimage* 就是跟定義域取交集：

$$
\iota^{-1}(P) = (R'\cap P)
$$

所以套用上面的定理，就證明了 $(R' \cap P)$ 是一個 *prime ideal*。