Metric Space - Continuity (Part 1)

有了序列之後，就可以定義「連續」的其中一個版本：

Continuity, by Preservation of Convergence

Def (Continuity, Preservation of Convergence)
假定

$(M,d_M)$ 與

$(N,d_N)$ 是兩個 metric space，且

$f:M\to N$。若對於任意序列

$\{p_n\}$，

$f$ 都有：

$$p_n\to p\Rightarrow f(p_n)\to f(p)$$

則稱

$f$ 是個連續函數

這個定義粗略地說，就是「如果序列收斂的話，取極限可以滲透進函數」：

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}f(p_n)=f\left(\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{p}_n\right)$$

第一眼看過去，這個定義跟微積分學的

$ϵ-\delta$ 似乎有一點不一樣。不過後面會證明他們是等價的。微積分時也學過很多連續函數的性質：比如說相加、相乘除、合成都保連續。這展示一個用這個定義證明性質的例子：

Thm (合成保連續)
假定

$M,N,S$ 都是 metric space，且

$f:M\to N$、

$g:N\to S$ 都是連續函數。則：

$$g\circ f:M\to S$$

也是連續函數。

在序列定義的連續下，這件事情就很顯然。因為對於任意

$M$ 中的收斂序列

$\{p_n\}$，對

$f$ 套用連續定義，就會知道

$\{f(p_n)\}$ 收斂到

$f(p)$。但這時

$\{f(p_n)\}$ 又是一個

$N$ 中的收斂數列了，所以就再套一次，得到

$\{g(f(p_n))\}$ 會收斂到

$g(f(p))$。然後就證明完了。

不同的 metric 會導致不同的連續行為。比如說如果是使用 discrete metric，也就是：

$$d(x,y)=\{\begin{array}{ll}0& \text{if }x=y\\ 1& \text{if }x\ne y\end{array}$$

那麼：

Example (Discrete Metric 保連續)
在一個使用 discrete metric 的 metric space，任何函數都是連續的。

這個理由是因為：假定一個數列

$\{p_n\}$ 這樣的 metric space 收斂，那麼把目標設成

$ϵ<1$ 時，

$d(p_k,p)<ϵ$ 的可能就只有

$d(p_k,p)=0$，也就是

$p_k=p$。所以這樣的收斂數列，在

$n$ 夠大時，所有後面的

$p_n$ 都會變成一樣的。所以相應的

$f(p_n)$ 也會都變成一樣的，然後就收斂了。

Continuity, by epsilon-delta

另外一個定義就是

$ϵ-\delta$：

(連續, epsilon-delta)
假定

$M,N$ 是 metric space。假定

$f:M\to N$ 滿足：

$$\mathrm{\forall }ϵ.\mathrm{\exists }\delta >0.|x-y|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(y)|<ϵ$$

則稱

$f$ 是連續函數

突然發現出現了兩個不同的定義。不過這兩個定義是等價的。

很接近=保收斂

Thm (兩種連續定義等價)

$M,N$ 是 metric space，則下列兩個敘述等價：

1.

$f$ 維持序列收斂：

對於任意

$M$ 中的序列

$\{p_n\}$，

$f$ 都有：

$$p_n\to p\Rightarrow f(p_n)\to f(p)$$

2.

$f$ 滿足

$ϵ-\delta$ 敘述：

對於任意

$ϵ>0$，都存在

$\delta >0$，使得：

$$d_N(x,y)<\delta \Rightarrow d_M(f(x),f(y))<ϵ$$

假定有 1. 但是沒有 2. 也就是說：存在某個

$ϵ>0$，使得

$\delta$ 不管怎麼取，都會存在

$x$，使得：

$$\mathrm{\forall }\delta .d_N(x,y)<\delta \text{ and }{d}_M(f(x),f(y))\ge ϵ$$

不過，既然

$\delta$ 多小都辦不到，那麼就讓

$\delta$ 往 0 嚴格遞減。比如說令：

$${\delta }_n=\frac{1}{n}$$

然後建構一個數列

$\{x_n\}$，其中

$x_n$ 是滿足：

$$d_N(x_n,y)<\frac{1}{n}$$

的

$x_n$。這樣一來，很明顯

$x_n\to y$，因為取

$n>1/ϵ$ 就可以讓

$d_N(x_n,y)<ϵ$。

不過矛盾的點就在這裡：剛剛

$x_n$ 的取法知道

$d_M(f(x_n),f(y))\ge ϵ$，所以

$f(x_n)$ 不收斂。但

$x_n$ 都收斂了，1. 版本的連續定義說

$\{f(x_n)\}$ 應該要收斂，所以就造成矛盾了。

假定有 2. ，而且已知有一個數列

$x_n\to y$。因為有

$ϵ-\delta$，所以對於任意

$ϵ>0$，只要

$x$ 離

$y$ 夠近，那

$f(x)$ 就會離

$f(y)$ 任意近：

$$\mathrm{\exists }\delta >0.d_N(x,y)<\delta \Rightarrow d_M(f(x),f(y))<ϵ$$

但這個

$\delta$ 可以用夠大的

$n$ 去接近。由數列收斂的定義知道：

$n$ 夠大之後，

$x_n$ 也可以落在離

$y$ 不到

$\delta$ 的地方：

$$\mathrm{\exists }N\in \mathbb{N}.n>N\Rightarrow d_N(x_n,y)<\delta$$

所以合再一起：這個

$N$ 能夠使

$d_N(x_n,y)$ 小於

$ϵ-\delta$ 給定的

$\delta$; 而一旦這個距離比

$\delta$ 小，

$ϵ-\delta$ 就保證

$d_M(f(x_n),f(y))$ 比

$ϵ$ 小，也就是

$f(x_n)\to f(y)$。

Homeomorphism

Def (Homeomorphism)
假定

$M,N$ 是 metric space，且

$f:M\to N$ 滿足：
1. 連續：

$$f\text{ is continuous}$$

2. 雙射：

$$f\text{ is bijective}$$

3. 反函數也連續

$$f^{-1}\text{ is continuous}$$

則稱

$f$ 是一個 homeomorphism。若

$M,N$ 間存在 homeomorphism，那麼就寫成：

$$M\simeq N$$

前面兩個條件滿足不代表反函數會自動連續。比如說考慮：

$$f:[0,2\pi )\to S^2$$

其中：

$$f(\theta )=(\cos \theta ,\sin \theta )$$

並且都使用歐式空間的 metric。則

$f$ 是連續的，而且

$f$ 是雙射，但

$f^{-1}$ 不連續。因為在

$(1,0)\in S^2$ 這點：

$$f^{-1}(1,0)=0$$

但考慮序列：

$$(\cos (2\pi -1/n),\sin (2\pi -1/n))\to (1,0)$$

會發現

$f^{-1}$ 作用在這個序列之後，會收斂到不合連續函數定義的地方：

$$f^{-1}(\cos (2\pi -1/n),\sin (2\pi -1/n))\nrightarrow f^{-1}(1,0)=0$$

上面這會趨近

$2\pi$ 而不是

$0$。

Lemma (homeo 的性質)
假定

$M,N,S$ 都是 metric space，則：
1. 反身性：

$$M\simeq M$$

2. 對稱性：

$$M\simeq N\Rightarrow N\simeq M$$

3. 遞移性：

$$M\simeq N\text{ and }N\simeq S\Rightarrow M\simeq S$$

這是合成保連續的表現。