# Metric Space - Continuity (Part 1)

有了序列之後，就可以定義「連續」的其中一個版本：

## Continuity, by Preservation of Convergence

:::warning
**Def (Continuity, Preservation of Convergence)**
假定 $(M, d_M)$ 與 $(N, d_N)$ 是兩個 *metric space*，且 $f : M\to N$。若對於任意序列 $\{p_n\}$，$f$ 都有：

$$
p_n \to p \Rightarrow f(p_n) \to f(p)
$$

則稱 $f$ 是個*連續函數*
:::

這個定義粗略地說，就是「如果序列收斂的話，取極限可以滲透進函數」：

$$
\lim_{n\to \infty}f(p_n) = f\left(\lim_{n\to\infty}p_n\right)
$$

第一眼看過去，這個定義跟微積分學的 $\epsilon-\delta$ 似乎有一點不一樣。不過後面會證明他們是等價的。微積分時也學過很多連續函數的性質：比如說相加、相乘除、合成都保連續。這展示一個用這個定義證明性質的例子：

:::danger
**Thm (合成保連續)**
假定 $M, N, S$ 都是 *metric space*，且 $f : M\to N$、$g:N \to S$ 都是連續函數。則：

$$
g\circ f:M \to S
$$

也是連續函數。
:::

在序列定義的連續下，這件事情就很顯然。因為對於任意 $M$ 中的收斂序列 $\{p_n\}$，對 $f$ 套用連續定義，就會知道 $\{f(p_n)\}$ 收斂到 $f(p)$。但這時 $\{f(p_n)\}$ 又是一個 $N$ 中的收斂數列了，所以就再套一次，得到 $\{g(f(p_n))\}$ 會收斂到 $g(f(p))$。然後就證明完了。

不同的 *metric* 會導致不同的連續行為。比如說如果是使用 *discrete metric*，也就是：

$$
d(x, y) = \begin{cases}
0 & \text{if }x = y \newline
1 & \text{if }x \neq y
\end{cases}
$$

那麼：

:::info
**Example (Discrete Metric 保連續)**
在一個使用 *discrete metric* 的 *metric space*，任何函數都是連續的。
:::

這個理由是因為：假定一個數列 $\{p_n\}$ 這樣的 *metric space* 收斂，那麼把目標設成 $\epsilon < 1$ 時， $d(p_k, p) < \epsilon$ 的可能就只有 $d(p_k, p) = 0$，也就是 $p_k = p$。所以這樣的收斂數列，在 $n$ 夠大時，所有後面的 $p_n$ 都會變成一樣的。所以相應的 $f(p_n)$ 也會都變成一樣的，然後就收斂了。

## Continuity, by *epsilon-delta*

另外一個定義就是 $\epsilon-\delta$：

:::warning
**(連續, epsilon-delta)**
假定 $M, N$ 是 *metric space*。假定 $f : M\to N$ 滿足：
$$
\forall \epsilon.\exists \delta > 0.|x-y| < \delta \Rightarrow |f(x) - f(y)| < \epsilon
$$

則稱 $f$ 是*連續函數*
:::

突然發現出現了兩個不同的定義。不過這兩個定義是等價的。

## 很接近=保收斂

:::danger
**Thm (兩種連續定義等價)**
$M, N$ 是 *metric space*，則下列兩個敘述等價：

**++1. $f$ 維持序列收斂++**：

對於任意 $M$ 中的序列 $\{p_n\}$，$f$ 都有：

$$
p_n \to p \Rightarrow f(p_n) \to f(p)
$$

**++2. $f$ 滿足 $\epsilon-\delta$ 敘述++**：

對於任意 $\epsilon > 0$，都存在 $\delta > 0$，使得：

$$
d_N(x, y) < \delta \Rightarrow d_M(f(x), f(y)) < \epsilon
$$
:::

假定有 1. 但是沒有 2. 也就是說：存在某個 $\epsilon > 0$，使得 $\delta$ 不管怎麼取，都會存在 $x$，使得：

$$
\forall \delta. d_N(x, y) < \delta \text{ and } d_M(f(x), f(y)) \geq \epsilon
$$

不過，既然 $\delta$ 多小都辦不到，那麼就讓 $\delta$ 往 0 嚴格遞減。比如說令：

$$
\delta_n = \frac {1}{n}
$$

然後建構一個數列 $\{x_n\}$，其中 $x_n$ 是滿足：

$$
d_N(x_n, y) < \frac {1}{n}
$$

的 $x_n$。這樣一來，很明顯 $x_n \to y$，因為取 $n > 1/\epsilon$ 就可以讓 $d_N(x_n, y) < \epsilon$。

不過矛盾的點就在這裡：剛剛 $x_n$ 的取法知道 $d_M(f(x_n), f(y)) \geq \epsilon$，所以 $f(x_n)$ 不收斂。但 $x_n$ 都收斂了，1. 版本的連續定義說 $\{f(x_n)\}$ 應該要收斂，所以就造成矛盾了。

假定有 2. ，而且已知有一個數列 $x_n \to y$。因為有 $\epsilon-\delta$，所以對於任意 $\epsilon > 0$，只要 $x$ 離 $y$ 夠近，那 $f(x)$ 就會離 $f(y)$ 任意近：

$$
\exists \delta > 0.d_N(x, y) < \delta \Rightarrow d_M(f(x), f(y)) < \epsilon
$$

但這個 $\delta$ 可以用夠大的 $n$ 去接近。由數列收斂的定義知道：$n$ 夠大之後，$x_n$ 也可以落在離 $y$ 不到 $\delta$ 的地方：

$$
\exists N \in \mathbb N. n > N \Rightarrow d_N(x_n, y) < \delta
$$

所以合再一起：這個 $N$ 能夠使 $d_N(x_n, y)$ 小於 $\epsilon-\delta$ 給定的 $\delta$; 而一旦這個距離比 $\delta$ 小，$\epsilon-\delta$ 就保證 $d_M(f(x_n), f(y))$ 比 $\epsilon$ 小，也就是 $f(x_n) \to f(y)$。

## Homeomorphism

:::warning
**Def (Homeomorphism)**
假定 $M, N$ 是 *metric space*，且 $f:M\to N$ 滿足：
++1. 連續++：

$$
f \text{ is continuous}
$$

++2. 雙射++：

$$
f \text{ is bijective}
$$

++3. 反函數也連續++

$$
f^{-1}\text{ is continuous}
$$

則稱 $f$ 是一個 *homeomorphism*。若 $M, N$ 間存在 *homeomorphism*，那麼就寫成：

$$
M \simeq N
$$

:::

前面兩個條件滿足不代表反函數會自動連續。比如說考慮：

$$
f : [0, 2\pi) \to S^2
$$

其中：

$$
f(\theta) = (\cos\theta, \sin\theta)
$$

並且都使用歐式空間的 *metric*。則 $f$ 是連續的，而且 $f$ 是雙射，但 $f^{-1}$ 不連續。因為在 $(1, 0) \in S^2$ 這點：

$$
f^{-1}(1, 0) = 0
$$

但考慮序列：

$$
(\cos(2\pi - 1/n), \sin(2\pi - 1/n)) \to (1, 0)
$$

會發現 $f^{-1}$ 作用在這個序列之後，會收斂到不合連續函數定義的地方：

$$
f^{-1}(\cos(2\pi - 1/n), \sin(2\pi - 1/n)) \not\to f^{-1}(1, 0) = 0
$$

上面這會趨近 $2\pi$ 而不是 $0$。

:::danger
**Lemma (homeo 的性質)**
假定 $M, N, S$ 都是 *metric space*，則：
++1. 反身性++：

$$
M \simeq M
$$

++2. 對稱性++：

$$
M \simeq N \Rightarrow N\simeq M
$$

++3. 遞移性++：
$$
M \simeq N \text{ and } N \simeq S \Rightarrow M \simeq S
$$
:::

這是合成保連續的表現。