# Banach Space - Riemann Integral

現在討論的範圍是閉區間到實數上的巴拿赫空間的函數：

$$
f : [a, b] \to F
$$

其中 $F$ 是一個實數上的巴拿赫空間。

從這個函數來看，黎曼積分的結果會是一個巴拿赫空間的元素。而巴拿赫空間中的元素並不要求有 *ordering* 的定義，所以會在操作上產生一些影響。比如說：達布積分中「上下和越接近」這種作法，會因為這邊上下和都是 *Banach space* 中的元素而無法比較大小。不過幸好巴拿赫空間是完備的，所以這時就可以用柯西列作為積分是否收斂的判準。

:::warning
**Def (黎曼可積)**

假定 $E$ 是一個 $\mathbb R$ 上的 *Banach space*，$f : [a, b] \to E$。若存在 $z \in E$，使得：

$$
\forall \epsilon > 0.\exists \delta > 0.\|P\| < \delta \Rightarrow \|R(f, P, T) - z\|_F < \epsilon
$$

就稱 $f$ 是黎曼可積的。
:::

因為要用柯西列，所以如果有個 *refinement* 的黎曼和差距的估計方法，會比較方便。這裡有一個：

## Refinement 的進步空間

:::danger
**Lemma (估計 refinement)**

假定 $(P, T)$ 是 $[a, b]$ 的一組 *partition pair*，其中：

$$
\begin{align}
P &= \{p_0 \dots p_{N}\}\newline
T &= \{t_0 \dots t_{N}\}
\end{align}
$$

且 $\|P\| < \delta$。 $\Delta$ 是 $[a, b]$ 的另一個 *partition*。若令：

$$
P' = P \cup \Delta
$$

且已知在 $P'$ 中，存在 $C > 0$，使得對於每個 $[p_{i-1}, p_i]$ 中的第 $j$ 個子區間 $[\rho_{i-1,j-1}, \rho_{i-1,j}]$ 的任意 $x$ 有：

$$
\|f(t_{i}) - f(x)\|_F < C
$$

則對於任意 $P'$ 的 *partition pair* $(P', T')$，有：

$$
\|R(f, P', T') - R(f, P, T)\|_F \leq CN\delta
$$

及：

$$
\|R(f, P', T') - R(f, P, T)\|_F \leq C(b - a)
$$

:::

這些 $\Delta$ 中新加入 $P$ 中的元素，會把 $P$ 中的某些區間進一步細分成更細的子區間。對於原先 $[p_{i-1}, p_i]$，假定他被新加入的點分割成了：

$$
p_{i - 1} < \rho_{i-1,0} < \rho_{i-1,1} \dots < \rho_{i-1,N_i} = p_{i}
$$

如果用 $\rho_{ij}$ 表示 $[p_{i-1}, p_{i}]$ 中的第 $j$ 個點，那麼 $P'$ 的黎曼和就可以「先計算個別 $[p_{i-1}, p_{i}]$ 區間內子區間的黎曼和，再把所有 $[p_{i-1}, p_i]$ 的計算結果加總」。也就是：

$$
\begin{align}
R(f, P', T') = \sum_{i = 1}^{N} \sum_{j = 1}^{N_i}f(\tau_{ij})(\rho_{ij} - \rho_{ij-1})
\end{align}
$$

其中：

$$
T' = \{\tau_{ij} : \tau_{ij} \in [\rho_{ij-1}, \rho_{ij}]\}
$$

而另外一方面，原先的黎曼和為：

$$
R(f, P, T) = \sum_{i = 1}^{N}f(t_i)(p_{i} - p_{i-1})
$$

進一步把 $[p_{i - 1}, p_i]$ 改寫成：

$$
(p_i - p_{i - 1}) = \sum_{i = 1}^{N_k} (\rho_{ij} - \rho_{ij-1})
$$

所以：

$$
\begin{align}
R(f, P, T) &= \sum_{i = 1}^{N}f(t_i)(p_{i} - p_{i-1})\newline
&= \sum_{i = 1}^{N}f(t_i)\left(\sum_{j = 1}^{N_i} (\rho_{ij} - \rho_{ij-1})\right) \newline
&= \sum_{i = 1}^{N}\sum_{j = 1}^{N_i}f(t_i)(\rho_{ij} - \rho_{i j-1})
\end{align}
$$

所以三角不等式拉進去，最後再把上下限塞進去：

$$
\begin{align}
\|R(f, P', T') - R(f, P, T)\|_F
&= \left\|\sum_{i = 1}^{N}\sum_{j = 1}^{N_i}(f(\tau_{ij}) - f(t_i))(\rho_{ij} - \rho_{ij-1})\right\|_F
\newline
& \leq \sum_{i = 1}^{N}\sum_{j = 1}^{N_i}C(\rho_{ij} - \rho_{ij-1})
\newline
\end{align}
$$

其中，這個結果有兩種估計方法。一種是把 $C$ 拉出最裡面的 $\sum$，得到：

$$
\begin{align}
& \sum_{i = 1}^{N}C\underbrace{\sum_{j = 1}^{N_i}(\rho_{ij} - \rho_{ij-1})}_{=\ (p_i - p_{i-1})\ <\ \delta}
= \sum_{i = 1}^{N}C \delta
= CN\delta
\end{align}
$$

這樣一來，就有：

$$
\|R(f, P', T') - R(f, P, T)\|_F \leq CN\delta
$$

另外一方面，如果把 $C$ 拉出所有的 $\sum$ 之外，就會有：

$$
\begin{align}
& C\underbrace{\left(\sum_{i = 1}^{N}\sum_{j = 1}^{N_i}(\rho_{ij} - \rho_{ij-1})\right)}_{=\ (b - a)}
= C(b-a)
\end{align}
$$

因此：

$$
\|R(f, P', T') - R(f, P, T)\|_F \leq C(b - a)
$$

## 等價條件

黎曼積分是很強的條件，所以如果有一些比較好用的等價定義，那麼可能會比較好操作。這邊有一個等價的敘述：

:::danger
**Thm (等價條件)**
假定 $F$ 是一個 $\mathbb R$ 上的 *Banach space*，$f : [a, b] \to F$。則：

$$
\begin{align}
&f \mathbf {\ Riemann\ integrable} \iff \exists z \in F.\newline
&\forall \epsilon > 0.\exists P_{\epsilon}.\forall \text{ refinement } P \text{ of } P_\epsilon.\|R(f, P, T) - z\|_F < \epsilon
\end{align}
$$
:::

這個敘述有「如果任何 $\epsilon$ 都存在一個最鬆 *refinement*，那就黎曼可積」的味道。

==$\Rightarrow$==：假定 $f$ 黎曼可積，也就是說存在 $z$，使得給定 $\epsilon > 0$ 之後，存在 $\delta$，使得任何 *partition* 的 *grid* 一但比 $\delta$ 小，就可以跟 $z$ 很近：

$$
\|P\| < \delta \Rightarrow \|R(f, P, T) - z\|_F < \epsilon
$$

雖便挑一個滿足 $\|P\| < \delta$ 的 *partition* $P_0$ 就可以滿足要求了。因為任意 $P_0$ 的 *refinement* $P_0'$，都有：

$$
\|P_0'\| \leq \|P_0\| < \delta \Rightarrow \|R(f, P_0', T) - z\|_F < \epsilon
$$

然後就成立了。

> TODO：*Banach space* 必須存在 $M > 0$，使得 $\|f(x)\|_F < M$ 才黎曼可積。

==$\Leftarrow$==：假定對於任意的 $\epsilon > 0$，這樣的 $P_\epsilon$ 都存在。任務是找 $\delta > 0$，使得任何 $\|P\| < \delta$ 的 *partition* $P$，有 $\|R(f, P, T) - z \|_F < \epsilon$。

這個計畫是使用三角不等式：

$$
\begin{align}
&\|R(f, P, T) - z\|_F \newline
&\quad \leq \|R(f, P, T) - R(f, P', T')\|_F + {\|R(f, P', T') - z\|_F}
\end{align}
$$

這樣一來，只要分別有：

$$
\begin{align}
\|R(f, P, T) - R(f, P', T')\|_F &< \epsilon
\newline
{\|R(f, P', T') - z\|_F} &< \epsilon
\end{align}
$$

就可以讓整坨東西很小。首先，因為 $P'$ 是 $P_{\epsilon}$ 的 *refinement*，根據前提，有：

$$
\|R(f, P', T') - z\|_F < \epsilon
$$

另外一方面，$P'$ 是 $P$ 的 *refinement*，而且 $\|P\| < \delta$，所以用上面的估計 *Lemma* 知道：

$$
\|R(f, P', T') - R(f, P, T)\|_F \leq CN\delta
$$

因為 $f$ 有界，所以存在 $M$，使得 $P$ 在加入 $P_{\epsilon}$ 的點之後：

$$
\|f(x)\|_F < M \Rightarrow \|f(\rho_{ij}) - f(\rho_{ij-1})\|_F < 2M
$$

所以就可以把 $C$ 取代成 $2M$：

$$
\|R(f, P', T') - R(f, P, T)\|_F \leq (2M)N\delta
$$

因此，若取：

$$
\delta < \frac {\epsilon}{2MN}
$$

就可以讓整坨東西比很小。比如說取：

$$
\delta = \frac {\epsilon}{4MN} < \frac {\epsilon}{2MN}
$$

這樣一來：

$$
\begin{align}
&\|R(f, P', T') - R(f, P, T)\|_F \newline
&\quad\leq 2MN\delta = 2MN\left(\frac {\epsilon} {4MN}\right) = \frac {\epsilon}{2} < \epsilon
\end{align}
$$

所以三角不等式塞進去，就有：

$$
\begin{align}
&\|R(f, P, T) - z\|_F
\newline
&\quad \leq \underbrace{\|R(f, P, T) - R(f, P', T')\|_F}_{<\epsilon} + \underbrace{\|R(f, P', T') - z\|_F}_{< \epsilon}
\newline
& \quad < \epsilon + \epsilon
\end{align}
$$

## 連續保可積

:::danger
**Thm**

假定 $F$ 是一個 $\mathbb R$ 上的 *Banach space*，$f : [a, b] \to F$。則：

$$
\begin{align}
&f\ \mathbf{continuous} \Rightarrow \newline
&f\ \mathbf{Riemann\ integrable}
\end{align}
$$

:::

關鍵是 $f$ 定義在實數的閉集之上，而任何實數中的閉集都 *compact*，所以 $f$ 自動從連續升級成均勻連續，而均勻連續可以讓黎曼和變得很好控制。因為如果把均勻連續的誤差 $\epsilon > 0$ 給定了，那麼均勻連續的定義可知：存在 $\delta > 0$，使得：

$$
|p_{i}- p_{i-1}| < \delta \Rightarrow \|f(p_i) - f(p_{i-1})\|_F < \epsilon
$$

> 看到這邊就會很想用 *Lemma*。不過，上一個定理可以直接用 Lemma 是因為積分結果已經給定了，但這邊並沒有給定積分結果，所以就要多做一點事。在這種不知道結果，空間又完備的狀況下，就可以考慮用柯西列說他收斂。

==在均勻連續下，只要兩個 *partition* 的 *mesh* 都比均勻連續給出的 $\delta$ 小，那麼黎曼和就不會差太多==。因為對於任意 $P_1, P_2$ 兩個滿足 $\|P_2\|$, $\|P_1\| < \delta$ 的 *partition*，考慮：

$$
P = P_1 \cup P_2
$$

這時，$\|P\| < \delta$，所以由均勻連續知道：$P$ 這個分割相鄰的兩點 $p_{i-1}, p_i$ 有：

$$
\|f(p_{i}) - f(p_{i-1})\|_F < \epsilon
$$

既然有 *partition* 內部相鄰點的差距上限，由 *Lemma* 可以知道：

$$
\begin{align}
\|R(f, P, T) - R(f, P_1, T_1)\|_F &< \epsilon(b - a)
\newline
\|R(f, P, T) - R(f, P_2, T_2)\|_F &< \epsilon(b - a)
\end{align}
$$

所以三角不等式一用，就有：

$$
\|f(R, P_1, T_1) - f(R, P_2, T_2)\|_F < 2\epsilon(b - a)
$$

這也就是「黎曼和不會差太大」的意思。而且這樣的性質就可以用來構造柯西列。比如說令：

$$
\begin{align}
P_n &= \{0 \leq i \leq n : a + (b - a)(i/n) \}\newline
T_n &= \{0 \leq i < n : a + (b - a)(i/n) \}
\end{align}
$$

也就是 $P_n$ 是用 $n$ 個點把 $[a, b]$ 均分成 $n-1$ 等分得到的分割，而 $T_n$ 就取所有子區間左邊的那個端點 (其實 $T_n$ 隨便取也沒差，這邊只是偷懶都取左端點)。則：

$$
\{R(f, P_n, T_n)\}_{n = 1}^{\infty}
$$

是個柯西列。這是因為任何 $\epsilon > 0$，都可以先用這個 $\epsilon$ 當作均勻連續的誤差，找出均勻連續保證的，使得：

$$
|p_{i}- p_{i-1}| < \delta \Rightarrow \|f(p_i) - f(p_{i-1})\|_F < \epsilon
$$

的 $\delta0$ 。而如果把這個當作是 *mesh*，當 $m, n$ 都夠大，使得：

$$
\|P_m\|, \|P_n\| < \delta
$$

> 比如說，可以取滿足：
>
> $$
> \begin{align}
> \frac {(b - a)}{m} < \delta \quad \text{and}\quad \frac {(b - a)}{n} < \delta
> \end{align}
> $$
>
> 的 $m$ 與 $n$。換句話說，就是「$m$ 等分跟 $n$ 等分之後，寬度都比 $\delta$ 的 $m$, $n$」

就有：

$$
\|R(f, P_n, T_n) - R(f, P_m, T_m)\|_F < 2\epsilon(b - a)
$$

因此得證這是一個柯西列。

## Riemann-Lebesgue Theorem

巴拿赫空間沒有 *Riemann-Lebesgue Theorem*。其中一種解釋是：證明這個定理的時候仰賴了把不連續轉化為 $Osc$ 的概念而這會牽扯到 $\sup$ 跟 $\inf$。但巴拿赫空間中的元素沒有實數這種上界下界的概念。