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線性代數 - Orthogonal Sets & Orthonormal Sets

定義:向量垂直

假定

V 是一個內積空間。假定
x,yV
滿足:

x,y=0

則稱

x
y
「垂直」或「正交」

定義:Orthogonal Set & Orthonormal Set

假定

V 是一個內積空間,
SV

  1. Orthogonal:若對於任意相異的

    x,yS,有:

    x,y=0

    則稱

    S 是一個 orthogonal 的集合。

  2. Orthonormal:若更進一步,對於任意

    xS,長度都是
    1

    x=1xS

    則稱

    S 為一個 orthonormal 的集合。

orthogonal 的定義中,只要求垂直,所以

0 向量可以在裡面; 但如果是 othonormal,因為有要求每個向量的長度都是
1
,所以就不可能有
0
向量出現在裡面。

定理:線性組合的分量 (Orthogonal Sets)

假定

V 是一個內積空間,且
S={v1vk}
是一個 orthogonal 的集合,並且:

0S

若:

xspan(S)

則將

x
S
的線性組合表示時,其表示法如下:

x=i=1kx,vivivivi

假定

x
span(S)
中的元素,由 span 的定義知道
x
必定具有以下形式:

x=j=1|S|ajvj

如果要求

ai,可以把
x
vi
做內積:

x,vi=j=1|S|ajvj,vi=aivi,vi

因為

S 中的元素互相垂直,所以只有
aivi,vi
會留下來。因此再依照 norm 的定義,就會有:

x,vi=avi,vi=aivi2

移項之後,就可以找出

ai 的表示法:

ai=x,vivi2

把他帶回

x 的表示式中,就可以知道
x
其實可表為:

x=i=1|S|x,vivi2aivi

然後就證完了。

推論:「正交 + 非零」則線性獨立

假定

V 是一個內積空間,
SV
。假定
S
是個 orthogonal 的集合,且當中的向量都是非零的向量:

0S

S 是個線性獨立的集合。

這其實由上面就可以證明了。假定:

i=1|S|aivi=0

由上面的定理知道:對於任意一個

vi 前面的係數
ai
,他會是下面這個東西:

ai=0,vivi2

因為內積的性質有

0 跟所有向量內積都是
0
,所以
0,vi
對於每個
vi
都是
0
。因此就得證:

ai=0i

既然只有所以

ai 都是
0
時,才表得出
0
。所以
S
中的向量都是線性獨立的向量。

定理:線性組合的分量 (Orthonormal Sets)

假定

V 是一個內積空間,且
S={v1vk}
是一個 orthonormal 的集合。假定
x
S
span 出來的空間中:

xspan(S)

則將

x
S
的線性組合表示時,其表示法如下:

x=i=1kx,vivi

這個其實就是 Orthonormal Sets 那個定理的推論。首先,因為 Orthonormal Sets 的定義規定裡面都是長度為

1 的向量,所以裡面不可能有
0
向量。接著就可以放心用上面的定理了:因為現在有所有
vi
的長度都是
1
,所以係數就變成:

x,vivivivi=x,vivi

然後就證明完了。