假定 是一個內積空間。假定 滿足:
則稱 與 「垂直」或「正交」
假定 是一個內積空間, 。
Orthogonal:若對於任意相異的 ,有:
則稱 是一個 orthogonal 的集合。
Orthonormal:若更進一步,對於任意 ,長度都是 :
則稱 為一個 orthonormal 的集合。
在 orthogonal 的定義中,只要求垂直,所以 向量可以在裡面; 但如果是 othonormal,因為有要求每個向量的長度都是 ,所以就不可能有 向量出現在裡面。
假定 是一個內積空間,且 是一個 orthogonal 的集合,並且:
若:
則將 用 的線性組合表示時,其表示法如下:
假定 是 中的元素,由 span 的定義知道 必定具有以下形式:
如果要求 ,可以把 跟 做內積:
因為 中的元素互相垂直,所以只有 會留下來。因此再依照 norm 的定義,就會有:
移項之後,就可以找出 的表示法:
把他帶回 的表示式中,就可以知道 其實可表為:
然後就證完了。
假定 是一個內積空間,。假定 是個 orthogonal 的集合,且當中的向量都是非零的向量:
則 是個線性獨立的集合。
這其實由上面就可以證明了。假定:
由上面的定理知道:對於任意一個 前面的係數 ,他會是下面這個東西:
因為內積的性質有 跟所有向量內積都是 ,所以 對於每個 都是 。因此就得證:
既然只有所以 都是 時,才表得出 。所以 中的向量都是線性獨立的向量。
假定 是一個內積空間,且 是一個 orthonormal 的集合。假定 在 span 出來的空間中:
則將 用 的線性組合表示時,其表示法如下:
這個其實就是 Orthonormal Sets 那個定理的推論。首先,因為 Orthonormal Sets 的定義規定裡面都是長度為 的向量,所以裡面不可能有 向量。接著就可以放心用上面的定理了:因為現在有所有 的長度都是 ,所以係數就變成:
然後就證明完了。