# Function Space - Weiestrass Function

Weiestrass Function 是一個處處連續，而且處處不可微分的函數。這樣的函數乍看之下很難想像，感覺例子也很少。但事實上：這樣的函數 *dense* 在所有連續函數中，而且還是很多的那種 *dense*。

:::warning
**Def (Weiestrass Function)**
定義三角波函數：
$$
\sigma_0 = \begin{cases}
x - 2n & \text{if } 2n \leq x \leq 2n + 1 \newline
2n + 2 - x & \text{if }2n + 1 \leq x \leq 2n + 2
\end{cases}
$$

以及

$$
\sigma_k = \left(\frac {3}{4}\right)^k\sigma_0\left(4^k x\right)
$$

則：

$$
\sum_{k = 0}^{\infty}{\sigma_k(x)}
$$

均勻收斂。並且收斂到的那個函數稱作 *Weiestrass Function*
:::

這樣的函數在圖形上來看，是一堆三角波的疊加。$\sigma_0$ 是一個週期 $2$ 的三角波，而 $\sigma_k$ 則是經過不斷壓縮的三角波。而且：

1. ==$\sigma_k$ 的週期是 $2 \cdot 4^{-k}$==：因為$\sigma_0$ 的週期是 $2$，再壓縮 $4^k$ 倍即得。
3. ==$\sigma_k$ 的斜率是 $3^k$==：$\sigma_0$ 的斜率是 $\pm 1$，因此微分連鎖率之後就得到這樣的結果。

除了壓縮之外，前面的振幅也被壓縮了。明顯可以發現前面的係數是湊給 *Weiestrass M-Test* 的。因為對於任意 $k$：

$$
|\sigma_k| \leq \left(\frac {3}{4}\right)^k
$$

但：

$$
\sum_{k = 0}^{\infty} \left(\frac {3}{4}\right)^k = 3
$$

所以 *Weiestrass M-test* 說他收斂，而且還是均勻收斂。

:::danger
**Thm**
Weiestrass Function 處處連續，但處處不可微分。
:::

==處處連續==

因為通過 *Weiestrass M-Test*，所以他這個級數是均勻收斂的。均勻收斂保連續，所以收斂的結果仍然是連續的。

==處處不可微==

只要找到一個 $\{\delta_n\}$，這個 $\delta_n \to 0$，但是：

$$
\lim_{n\to\infty} \frac {f(x + \delta_n) - f(x)}{\delta_n}
$$

會爆掉，就可以讓微分爛掉了。更進一步，左極限或右極限有一個炸掉就好了。至於要用左極限或是右極限？答案是：往哪邊找有嚴格遞增或遞減的區短，就從哪邊逼近。

首先，造一個跟週期的整數倍有關的 $\delta_n$：

$$
\delta_n = \frac {1}{2}\frac {1}{4^n}
$$

會這樣取 $\delta_n$ 的用意就是「$\sigma_n$ 週期的 $1/4$」，這樣就可以分類討論不同週期的三角波在 $\delta_n$ 長度的區間內可能出現的割線斜率。

寫出這個微分型：

$$
\lim_{n\to\infty}\left(\frac {\sum_{k = 0}^{\infty}\left(\sigma_k(x + \delta_n) - \sigma_k(x)\right)}{\delta_n}\right)
$$

接著就如剛剛說的，用週期討論：

1. 週期比 $\delta_n$ 大：也就是 $k > n$ 的狀況。因為恰好處在整數個週期，所以就是同一個相位上的點，所以割線斜率就是 0。
$$
\delta_n(x + h) - \delta(x) = 0
$$

2. 週期小於或等於 $\delta_n$：也就是 $k \leq n$ 的狀況下。因為這樣構造的 $\delta_n$ 在 $k = n - 1$ 時，會剛好週期等於 $\delta_n$，而再往下就會直接變成 $1/4$，所以往左或往右都會找到長度是 $\delta_n$ 的嚴格地增或遞減區段。因此斜率就剛好是 $\pm 3^k$

因此可以發現：

$$
\begin{align}
&\lim_{n\to\infty}\frac {\sum_{k = 0}^{\infty}[\sigma_k(x + \delta_n) - \sigma_k(x)]}{\delta_n} \newline
=&
\lim_{n\to\infty}\frac {\sum_{k = 0}^{n}[\sigma_k(x + \delta_n) - \sigma_k(x)]}{\delta_n}
\newline
=&
\lim_{n\to\infty}\sum_{k = 0}^{n}\left(\frac {\sigma_k(x + \delta_n) - \sigma_k(x)}{\delta_n}\right)
\newline
=&
\lim_{n\to\infty}\sum_{k = 0}^{n}\left(\frac {3}{4}\right)4^k \to \infty
\end{align}
$$

因此任何一點都可以照這樣構造出一個讓微分爆掉的逼近方法。所以極限不存在。