Function Space - Weiestrass Function

Weiestrass Function 是一個處處連續，而且處處不可微分的函數。這樣的函數乍看之下很難想像，感覺例子也很少。但事實上：這樣的函數 dense 在所有連續函數中，而且還是很多的那種 dense。

Def (Weiestrass Function)
定義三角波函數：

$${\sigma }_0=\{\begin{array}{ll}x-2n& \text{if }2n\le x\le 2n+1\\ 2n+2-x& \text{if }2n+1\le x\le 2n+2\end{array}$$

以及

$${\sigma }_k={\left(\frac{3}{4}\right)}^k{\sigma }_0\left(4^{k}x\right)$$

則：

$$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{\sigma }_k(x)$$

均勻收斂。並且收斂到的那個函數稱作 Weiestrass Function

這樣的函數在圖形上來看，是一堆三角波的疊加。

${\sigma }_0$ 是一個週期

$2$ 的三角波，而

${\sigma }_k$ 則是經過不斷壓縮的三角波。而且：

1. ${\sigma }_k$ 的週期是
   $2\cdot 4^{-k}$：因為
   ${\sigma }_0$ 的週期是
   $2$，再壓縮
   $4^k$ 倍即得。
2. ${\sigma }_k$ 的斜率是
   $3^k$：
   ${\sigma }_0$ 的斜率是
   $\pm 1$，因此微分連鎖率之後就得到這樣的結果。

除了壓縮之外，前面的振幅也被壓縮了。明顯可以發現前面的係數是湊給 Weiestrass M-Test 的。因為對於任意

$k$：

$$|{\sigma }_k|\le {\left(\frac{3}{4}\right)}^k$$

但：

$$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{3}{4}\right)}^k=3$$

所以 Weiestrass M-test 說他收斂，而且還是均勻收斂。

Thm
Weiestrass Function 處處連續，但處處不可微分。

處處連續

因為通過 Weiestrass M-Test，所以他這個級數是均勻收斂的。均勻收斂保連續，所以收斂的結果仍然是連續的。

處處不可微

只要找到一個

$\{{\delta }_n\}$，這個

${\delta }_n\to 0$，但是：

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{f(x+{\delta }_n)-f(x)}{{\delta }_n}$$

會爆掉，就可以讓微分爛掉了。更進一步，左極限或右極限有一個炸掉就好了。至於要用左極限或是右極限？答案是：往哪邊找有嚴格遞增或遞減的區短，就從哪邊逼近。

首先，造一個跟週期的整數倍有關的

${\delta }_n$：

$${\delta }_n=\frac{1}{2}\frac{1}{4^n}$$

會這樣取

${\delta }_n$ 的用意就是「

${\sigma }_n$ 週期的

$1/4$」，這樣就可以分類討論不同週期的三角波在

${\delta }_n$ 長度的區間內可能出現的割線斜率。

寫出這個微分型：

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\left(\frac{\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}({\sigma }_k(x+{\delta }_n)-{\sigma }_k(x))}{{\delta }_n}\right)$$

接著就如剛剛說的，用週期討論：

1. 週期比

   ${\delta }_n$ 大：也就是
   $k>n$ 的狀況。因為恰好處在整數個週期，所以就是同一個相位上的點，所以割線斜率就是 0。
   
   $${\delta }_n(x+h)-\delta (x)=0$$

2. 週期小於或等於

   ${\delta }_n$：也就是
   $k\le n$ 的狀況下。因為這樣構造的
   ${\delta }_n$ 在
   $k=n-1$ 時，會剛好週期等於
   ${\delta }_n$，而再往下就會直接變成
   $1/4$，所以往左或往右都會找到長度是
   ${\delta }_n$ 的嚴格地增或遞減區段。因此斜率就剛好是
   $\pm 3^k$

因此可以發現：

$$\begin{array}{rl}& \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}[{\sigma }_k(x+{\delta }_n)-{\sigma }_k(x)]}{{\delta }_n}\\ =& \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\sum _{k=0}^n[{\sigma }_k(x+{\delta }_n)-{\sigma }_k(x)]}{{\delta }_n}\\ =& \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{k=0}^n\left(\frac{{\sigma }_k(x+{\delta }_n)-{\sigma }_k(x)}{{\delta }_n}\right)\\ =& \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{k=0}^n\left(\frac{3}{4}\right)4^k\to \mathrm{\infty }\end{array}$$

因此任何一點都可以照這樣構造出一個讓微分爆掉的逼近方法。所以極限不存在。