Topological Space - Basics

這些基於 open set 跟 close set 而建立的理論，可以拿到更基礎的空間來觀察。這樣的基本空間就是拓樸空間。

定義

Def (Topological Space)

假定

$X$ 是個集合。一個

$X$ 的 topology (拓樸) 是一個

$X$ 的子集形成的集合

$J=\{u_1,u_2\dots \}$，並且這個子集的集合滿足三件事：

空集合跟自己都在裡面：

$$\text{bbox}[yellow]X\in J\text{and}\varphi \in J$$

任意數目的聯集都在

$J$ 裡面：

$$\text{bbox}[yellow]\bigcup _{\alpha \in A}{u}_{\alpha }\in J(\text{where }{u}_{\alpha }\in J)$$

有限數目的交集都在

$J$ 裡：

$$\text{bbox}[yellow]\bigcap _{i=1}^n{u}_i\in J(\text{where }{u}_i\in J,n<\mathrm{\infty })$$

這樣一個

$(X,J)$ 的 pair 稱作一個 topological space (拓樸空間)。

這樣的例子其實隨隨便便就可以生出來。比如說如果令：

$$\begin{array}{rl}X& =\{1,2,3\}\\ J& =\{\{\},\{1,2\},\{1,2,3\}\}\end{array}$$

那麼

$(X,J)$ 是一個拓樸空間。

雖然一個拓樸空間那麼好造，但如果拓樸

$J$ 訂的很隨便，在討論收斂時就會出現一些不理想的行為。

開集的定義

拓樸空間的開集為：

Def (Open Set)
假定

$(X,J)$ 是一個拓樸空間。若集合

$S\subset X$ 滿足：

$$S\in J$$

那就稱呼

$S$ 是

$X$ 這個拓樸空間中的 open set。

所以可以發現，一個 topology 其實只是定義什麼長相的集合叫做開集，然後保證開集的交集與聯集跟 metric space 中的開集有差不多的性質。

閉集的定義

接著定義閉集。因為不像 metric space 那樣有距離的概念，所以那種跟球有關的定義或是極限的定義都不適用。所以只好用最精簡的：

Def (Closed Set in Topological Space)

假定

$S\subset X$ 是一個拓墣空間

$(X,J)$ 的子集合。若

$S$ 滿足：

S 的補集是開集：

$$\text{bbox}[yellow]S^c\text{ is open}$$

那麼就稱

$S$ 是個「閉集」。

閉集的性質

拓樸空間的 3 個要求，在閉集中也有類似的行為（因為 take complement 就發現了嘛）。即：

Thm (閉集也有類似的性質)

給定一個拓樸空間

$(X,J)$，

$X$ 有以下性質：

空集合跟整個空間都是開集：

$$\text{bbox}[pink]\varphi \text{ and }X\text{ are open.}$$

任意有限數目的閉集，聯集後都是閉集：
也就是對於任意：

$$K_1\dots K_n\text{ are closed}$$

有：

$$\text{bbox}[pink]\bigcup _{i=1}^n{K}_i\text{ is closed }$$

任意數目的閉集，交集後都是閉集：

$$\text{bbox}[pink]\bigcap _{\alpha \in A}{K}_{\alpha }\text{ is closed}$$

其中：

$$K_{\alpha }\text{ is closed }(\mathrm{\forall }\alpha \in A)$$

而

$A$ 是某個大小任意的集合。

第一個很依照定義很明顯，因為依照定義：

$$\begin{array}{rl}{\varphi }^c& =X\in J\\ X^c& =\varphi \in J\end{array}$$

接著要驗證是不是閉集，所以就看看他的補集是不是開集：

$${\left(\bigcup _{i=1}^n{K}_i\right)}^c=\bigcap _{i=1}^n(K_i{)}^c$$

接下來證 (2) 。既然每個

$K_i$ 都是閉集，所以由閉集的定義：

$$K_i\text{ is closed }\Rightarrow (K_i{)}^c\text{ is open}$$

因為

$J$ 是個

$X$ 的拓樸，根據拓樸的定義可知有限開集的交集也要是開集：

$$(K_i{)}^c\text{ is open}\Rightarrow \bigcap _{i=1}^n(K_i{)}^c\text{ is open}$$

由此得證。

類似地，(3) 也是用同樣的手法：

$${\left(\bigcap _{\alpha \in A}{K}_{\alpha }\right)}^c=\bigcup _{\alpha \in A}(K_{\alpha }{)}^c$$

同樣因為

$K_{\alpha }$ 是閉集，所以閉集定義說

$(K_{\alpha }{)}^c$ 會是開集，然後用

$J$ 是拓樸得證。

內部、外部及邊界

Def (Closure, Interior, Exterior and Boundary)

假定

$X$ 是一個拓樸空間，且

$S\subset X$。定義：

1. 集合的閉包：

定義

$S$ 的 closure (閉包) 為「所有包住

$S$ 的閉集的交集」。也就是：

$$\text{bbox}[yellow]\overline{S}=\bigcap _{\alpha }{K}_{\alpha }$$

其中

$K_{\alpha }$ 是所有滿足：

$$K_{\alpha }\text{ closed and }S\in K_{\alpha }$$

的集合。

2. 集合的「內部」：

定義

$S$ 的 interior (內部) 為「所有被

$S$ 包住的開集的聯集」。也就是：

$$\text{bbox}[yellow]int(S)=\bigcup u_{\alpha }$$

其中

$u_{\alpha }$ 是任何包含在

$S$ 中的開集：

$$u_{\alpha }\text{ open and }{u}_{\alpha }\subset S$$

3. 集合的「外部」

定義

$S$ 的 exterior (外部) 為「

$\overline{S}$ 以外的所有點」。也就是：

$$\text{bbox}[yellow]Ext(S)=X\setminus \overline{S}$$

4. 集合的邊界

定義

$S$ 的 boundary 為「不在內部也不在外部的區域」。即：

$$\text{bbox}[yellow]\partial S=X\setminus (int(S)\cup Ext(S))$$

上面這些定義很自然的有一些觀察。比如說，由拓樸中對於開、閉集的交集聯集性質可以知道：

$$\boxed{{\displaystyle \begin{array}{rl}Ext(A)& \text{ is }\mathbf{open}\\ int(A)& \text{ is }\mathbf{open}\\ \bar{A}& \text{ is }\mathbf{closed}\end{array}}}$$

另外，也有：

$$\boxed{{\displaystyle \begin{array}{rl}A\text{ is closed}& ⟺\overline{A}=A\\ A\text{ is open}& ⟺A=int(A)\end{array}}}$$

兩個敘述的「

$\Leftarrow$」方向很顯然：

$\overline{A}$ 照定義(加上拓樸空間的定義)是個閉集，而

$int(A)$ 照定義(也是加上拓樸空間的定義)一定是個開集。

而分開考慮兩個的「

$\Rightarrow$」方向。如果

$A$ 是閉集，依照閉包的定義：

$$\overline{A}=\bigcap _{\alpha }{K}_{\alpha }$$

因為

$A$ 是閉集，而且顯然

$A\in A$，所以

$A$ 會是其中一個

$K_{\alpha }$。把它拉出來，然後展開：

$$\bigcap _{\alpha }{K}_{\alpha }=A\cap \bigcap _{K_{\alpha }\ne A}{K}_{\alpha }=\bigcap _{K_{\alpha }\ne A}(K_{\alpha }\cap A)$$

因為對於每一個

$K_{\alpha }$，定義有說要滿足

$A\in K_{\alpha }$，所以

$K_{\alpha }\cap A$ 之後就通通都是

$A$ 了：

$$\bigcap _{K_{\alpha }\ne A}(K_{\alpha }\cap A)=\bigcap _{K_{\alpha }\ne A}A$$

然後就證出

$\overline{A}=A$。

open 那條也是類似：依照定義：

$$int(A)=\bigcup _{\alpha }{u}_{\alpha }\subseteq A$$

所以就有了

$int(A)\subseteq A$。

另外一方面，

$A$ 是開集，而且

$A\subseteq A$。所以依照

$int(a)$ 的定義，

$A$ 是

$int(A)$ 聯集起來的那些開集中的其中一個。故又有

$A\subseteq int(A)$，於是就證出

$A=int(A)$。

這些定義看起來很簡潔，但是感覺有點難用。如果有一些等價的條件來輔助的話，用起來會比較順手：

等價條件

Lemma (各種等價條件)

內點 = 原集合找得到開集包它的點：

$$\text{bbox}[pink]\begin{array}{rl}& q\in int(A)⟺\\ & \mathrm{\exists }\text{open set }u.p\in u\text{ and }u\in A\end{array}$$

外點 = 原集合以外找得到開集包它的點：

$$\text{bbox}[pink]\begin{array}{rl}& q\in Ext(A)⟺\\ & \mathrm{\exists }\text{open set }u.p\in u\text{ and }u\in X\setminus A\end{array}$$

邊界點 = 無論如何都會包到兩邊的點：

$$\text{bbox}[pink]\begin{array}{rl}& q\in \partial A⟺\\ & \mathrm{\forall }\text{u := nbd(}P\text{)}.u\cap A\ne \varphi \text{ , }u\cap X\setminus A\end{array}$$

閉包裡面的點 = 怎麼包都會包到原集合的點：

$$\text{bbox}[pink]\begin{array}{rl}& q\in \overline{A}⟺\\ & \mathrm{\forall }u\text{ := nbd(}P\text{)}.u\cap A\ne \varphi \end{array}\text{bbox}[pink]$$

閉包 = 自己 + 邊界 = 內點 + 邊界

$$\text{bbox}[pink]\begin{array}{rl}\overline{A}& =A\cup \partial A\\ & =int(A)\cup \partial A\end{array}$$

這邊就開始出現跟 metric space 類似的定義：雖然沒有距離，但因為有開集，所以就有鄰域，然後就可以套用各種 metric space 的概念。

證明：內點 = 原集合找得到開集包它的點：

「

$\Rightarrow$」

因為

$int(A)$ 定義為所有開集的聯集，而且

$q$ 在裡面：

$$q\in int(A)=\bigcup u_{\alpha }$$

所以

$q$ 至少會屬於

$u_{\alpha }$ 們中的其中一個。

「

$\Leftarrow$」

$int(A)$ 是所有包在

$A$ 裡面開集的聯集，所以如果存在開集

$q\in u\in A$，那這個開集依照

$int(A)$ 的定義，也會被包進

$int(A)$，即：

$$\text{ if }q\in u\subseteq A\text{ is open}\Rightarrow u\subset int(A)$$

證明：外點 = 原集合以外找得到開集包它的點：

「

$⟺$ 」

其實就是用上面那條。令

$B=Ext(A)$。由上面的觀察知：

$B=Ext(A)$ 是個開集，所以套用第一條：

$$\begin{array}{rl}& q\in B=int(B)⟺\\ & \mathrm{\exists }\text{open set }u.q\in u\text{ and }u\in B=X\setminus \overline{A}\subseteq X\setminus A\end{array}$$

把所有

$B$ 變回

$Ext(A)$ 就證完了。

證明：邊界點 = 無論如何都會包到兩邊的點：

「

$\Rightarrow$」

假定：

$$p\in X\setminus (int(A)\cup Ext(A))$$

可知道：

$$p\notin int(A)\text{ and }p\notin Ext(A)$$

利用反證法：假定

$u\cap A=\varphi$，那麼

$q\in X\setminus A$。但根據外點的等價條件，此時應

$q\in Ext(A)$，於是矛盾; 同理，若

$u\cap (X\setminus A)=\varphi$，那麼換句話說

$q\in u\subset A$，所以依照內點的等價條件，這樣的開集存在表示

$q\in int(A)$，又矛盾。

「

$\Leftarrow$」

假定這樣的鄰域存在，那麼：

1. 因為
   $u\cap A\ne \varphi$，依照等價條件
   $u\notin Ext(A)$，或說
   $u\in Ext(A{)}^c$
2. 同理
   $u\cap (X\setminus A)\ne \varphi$，等價條件有
   $u\notin int(A)$，也就是
   $u\in int(A{)}^c$

因此由迪摩根：

$$u\in int(A{)}^c\cap Ext(A{)}^c=(int(A)\cup Ext(A){)}^c$$

不過因為母空間就是

$X$，所以：

$$\begin{array}{rl}(int(A)\cup Ext(A){)}^c& =X\setminus (int(A)\cup Ext(A))\\ & =\partial A\end{array}$$

證明：閉包裡面的點 = 怎麼包都會包到原集合的點：

「

$\Rightarrow$」

反證：假定

$A\cap u=\varphi$，那麼換句話說：

$$u\in X\setminus A$$

根據等價條件 2，若

$p$ 存在這樣的鄰域，則：

$$p\in Ext(A)=X\setminus \overline{A}$$

然後就跟原先的矛盾了。

「

$\Leftarrow$」

反證：假定

$p\notin \overline{A}$，那麼：

$$p\in X\setminus \overline{A}=Ext(A)$$

因為

$Ext(A)$ 必定是開集，所以依照開集的等價條件：

$$\mathrm{\exists }u.p\in u\text{ and }u\subset Ext(A)\subseteq X\setminus A$$

但

$u\in X\setminus A$ 表示

$u\cap A=\varphi$，這個開集就矛盾了。

證明：閉包 = 自己 + 邊界 = 內點 + 邊界：

證明方法是左右互包。不過，由閉包的定義已經知道

$int(A)\subseteq A\subseteq \overline{A}$ 了，所以只要再證

$\partial A\subset \overline{A}$ 就可以把一邊解決掉了。

首先照定義寫出來之後，用迪摩根展開。並且把

$Ext(A)$ 用定義帶掉：

$$\begin{array}{rl}\partial A& =(X\setminus int(A))\cap (X\setminus Ext(A))\\ & =(X\setminus int(A))\cap (X\setminus (X\setminus \overline{A}))\\ & =(X\setminus int(A))\cap \overline{A}\end{array}$$

不過，寫到這邊之後，就會發現：

$$\partial A\subset \overline{A}$$

因此，可以知道：

$$\begin{array}{rl}A\cup \partial A& \subseteq \overline{A}\\ int(A)\cup \partial A& \subseteq \overline{A}\end{array}$$

這樣就解決其中一邊了。另外一方面，從

$\overline{A}$ 出發，自己就是母空間扣掉「扣掉自己之後的母空間」：

$$\begin{array}{rl}\overline{A}& =X\setminus (X\setminus \overline{A})\\ & =X\setminus Ext(A)\end{array}$$

再挖掉

$A$ 之後補回來：

$$X\setminus Ext(A)=((X\setminus Ext(A))\setminus A)\cup A$$

「挖

$A$ 補

$A$」跟「挖

$int(A)$ 補

$A$」比起來，因為

$int(A)\subseteq A$，挖比較小的補比較大的，所以前者會包在後者裡面。然後就發現這東西可以寫成邊界：

$$\begin{array}{rl}((X\setminus Ext(A))\setminus & A)\cup A\\ \subseteq ((X\setminus Ext(A))\setminus & int(A))\cup A\subseteq \partial A\cup A\end{array}$$

也就是：

$$\overline{A}\subseteq \partial A\cup A$$

另外一方面，把上面過程中的「挖

$A$ 補

$A$」改成「挖

$int(A)$ 補

$int(A)$」，就會發現這個可以寫成邊界的樣子：

$$\begin{array}{rl}\overline{A}=X\setminus Ext(A)& =((X\setminus Ext(A))\setminus int(A))\cup int(A)\\ & =\partial A\cup int(A)\end{array}$$

因此：

$$\overline{A}\subseteq \partial A\cup int(A)$$