# Topological Space - Basics

這些基於 *open set* 跟 *close set* 而建立的理論，可以拿到更基礎的空間來觀察。這樣的基本空間就是拓樸空間。

## 定義

:::warning

**Def (Topological Space)**

假定 $X$ 是個集合。一個 $X$ 的 *topology* (拓樸) 是一個 $X$ 的子集形成的集合 $J = \{u_1, u_2 \dots\}$，並且這個子集的集合滿足三件事：

**空集合跟自己都在裡面**：

$$
\bbox[yellow]{X \in J\ \text{and}\ \phi \in J}
$$

**任意數目的聯集都在 $J$ 裡面**：

$$
\bbox[yellow]{\bigcup_{\alpha \in A} u_{\alpha} \in J
\qquad (\text{where } u_{\alpha} \in J) }
$$

**有限數目的交集都在 $J$ 裡**：

$$
\bbox[yellow]{\bigcap_{i = 1}^{n} u_{i} \in J
\qquad (\text{where } u_{i} \in J, n < \infty) }
$$

這樣一個 $(X, J)$ 的 *pair* 稱作一個 *topological space* (拓樸空間)。
:::

這樣的例子其實隨隨便便就可以生出來。比如說如果令：

$$
\begin{align}
X &= \{1, 2, 3\}\newline
J &= \{\{\}, \{1, 2\}, \{1, 2, 3\}\}
\end{align}
$$

那麼 $(X, J)$ 是一個拓樸空間。

雖然一個拓樸空間那麼好造，但如果拓樸 $J$ 訂的很隨便，在討論收斂時就會出現一些不理想的行為。

## 開集的定義

拓樸空間的開集為：

:::warning
**Def (Open Set)**
假定 $(X, J)$ 是一個拓樸空間。若集合 $S \subset X$ 滿足：

$$
S \in J
$$

那就稱呼 $S$ 是 $X$ 這個拓樸空間中的 *open set*。
:::

所以可以發現，一個 *topology* 其實只是定義什麼長相的集合叫做開集，然後保證開集的交集與聯集跟 *metric space* 中的開集有差不多的性質。

## 閉集的定義

接著定義閉集。因為不像 metric space 那樣有距離的概念，所以那種跟球有關的定義或是極限的定義都不適用。所以只好用最精簡的：

:::warning
**Def (*Closed Set in Topological Space*)**

假定 $S \subset X$ 是一個拓墣空間 $(X, J)$ 的子集合。若 $S$ 滿足：

**S 的補集是開集**：

$$
\bbox[yellow]{S^{c} \text{ is open}}
$$

那麼就稱 $S$ 是個「閉集」。
:::

## 閉集的性質

拓樸空間的 3 個要求，在閉集中也有類似的行為（因為 take complement 就發現了嘛）。即：

:::danger
**Thm (閉集也有類似的性質)**

給定一個拓樸空間 $(X, J)$，$X$ 有以下性質：

**空集合跟整個空間都是開集**：

$$
\bbox[pink]{\text{$\phi$ and $X$ are open.}}
$$

**任意有限數目的閉集，聯集後都是閉集**：
也就是對於任意：

$$
\text{$ K_1 \dots K_n$ are closed}
$$

有：

$$
\bbox[pink]{\bigcup_{i = 1}^{n}K_{i} \text{ is closed }}
$$

**任意數目的閉集，交集後都是閉集**：

$$
\bbox[pink]{\bigcap_{\alpha \in A}K_{\alpha} \text{ is closed}}
$$

其中：

$$
\text{$K_{\alpha}$ is closed } (\forall \alpha \in A)
$$

而 $A$ 是某個大小任意的集合。

:::

第一個很依照定義很明顯，因為依照定義：

$$
\begin{align}
\phi^c &= X \in J \newline
X^c &= \phi \in J
\end{align}
$$

接著要驗證是不是閉集，所以就看看他的補集是不是開集：

$$
\left(\bigcup_{i = 1}^{n}K_{i}\right)^{c} = \bigcap_{i = 1}^{n}(K_i)^c
$$

接下來證 (2) 。既然每個 $K_i$ 都是閉集，所以由閉集的定義：

$$
K_i \text{ is closed } \Rightarrow (K_i)^c \text{ is open}
$$

因為 $J$ 是個 $X$ 的拓樸，根據拓樸的定義可知有限開集的交集也要是開集：

$$
(K_i)^c \text{ is open} \Rightarrow \bigcap_{i = 1}^{n}(K_i)^c \text{ is open}
$$

由此得證。

類似地，(3) 也是用同樣的手法：

$$
\left(\bigcap_{\alpha \in A}K_{\alpha}\right)^c = \bigcup_{\alpha \in A}(K_{\alpha})^c
$$

同樣因為 $K_{\alpha}$ 是閉集，所以閉集定義說 $(K_{\alpha})^c$ 會是開集，然後用 $J$ 是拓樸得證。

## 內部、外部及邊界

:::warning

**Def (Closure, Interior, Exterior and Boundary)**

假定 $X$ 是一個拓樸空間，且 $S \subset X$。定義：

++**1. 集合的閉包**++：

定義 $S$ 的 *closure* (閉包) 為「所有包住 $S$ 的閉集的交集」。也就是：

$$
\bbox[yellow]{\bar{S} = \bigcap_{\alpha} K_{\alpha}}
$$

其中 $K_{\alpha}$ 是所有滿足：

$$
{K_{\alpha} \text{ closed and } S \in K_{\alpha}}
$$

的集合。

++**2. 集合的「內部」**++：

定義 $S$ 的 *interior* (內部) 為「所有被 $S$ 包住的開集的聯集」。也就是：

$$
\bbox[yellow]{int(S) = \bigcup u_{\alpha}}
$$

其中 $u_{\alpha}$ 是任何包含在 $S$ 中的開集：

$$
{u_{\alpha} \text{ open and }u_{\alpha} \subset S}
$$

++**3. 集合的「外部」**++

定義 $S$ 的 *exterior* (外部) 為「$\bar S$ 以外的所有點」。也就是：

$$
\bbox[yellow]{Ext(S) = X \setminus \bar S}
$$

++**4. 集合的邊界**++

定義 $S$ 的 *boundary* 為「不在內部也不在外部的區域」。即：

$$
\bbox[yellow]{\partial S = X \setminus (int(S) \cup Ext(S))}
$$

:::

上面這些定義很自然的有一些觀察。比如說，由拓樸中對於開、閉集的交集聯集性質可以知道：

$$
\boxed{
\begin{align}
Ext(A) &\text{ is }\mathbf{open} \newline
int(A) &\text{ is }\mathbf{open} \newline
\overline A &\text{ is }\mathbf{closed}
\end{align}}
$$

另外，也有：

$$
\boxed{
\begin{align}
A \text{ is closed} &\iff \bar A = A \newline
A \text{ is open} & \iff A = int(A)
\end{align}}
$$

兩個敘述的「$\Leftarrow$」方向很顯然：$\bar A$ 照定義(加上拓樸空間的定義)是個閉集，而 $int(A)$ 照定義(也是加上拓樸空間的定義)一定是個開集。

而分開考慮兩個的「$\Rightarrow$」方向。如果 $A$ 是閉集，依照閉包的定義：

$$
\bar A = \bigcap_{\alpha} K_{\alpha}
$$

因為 $A$ 是閉集，而且顯然 $A \in A$，所以 $A$ 會是其中一個 $K_\alpha$。把它拉出來，然後展開：

$$
\bigcap_{\alpha} K_{\alpha} = A\cap \bigcap_{K_\alpha\neq A} K_{\alpha} = \bigcap_{K_\alpha\neq A} (K_{\alpha} \cap A)
$$

因為對於每一個 $K_{\alpha}$，定義有說要滿足 $A \in K_{\alpha}$，所以 $K_{\alpha} \cap A$ 之後就通通都是 $A$ 了：

$$
\bigcap_{K_\alpha\neq A} (K_{\alpha} \cap A) = \bigcap_{K_\alpha\neq A} A
$$

然後就證出 $\bar A = A$。

open 那條也是類似：依照定義：

$$
int(A) = \bigcup_{\alpha} u_{\alpha} \subseteq A
$$

所以就有了 $int(A) \subseteq A$。

另外一方面，$A$ 是開集，而且 $A \subseteq A$。所以依照 $int(a)$ 的定義，$A$ 是 $int(A)$ 聯集起來的那些開集中的其中一個。故又有 $A\subseteq int(A)$，於是就證出 $A = int(A)$。

這些定義看起來很簡潔，但是感覺有點難用。如果有一些等價的條件來輔助的話，用起來會比較順手：

## 等價條件

:::danger

**Lemma (各種等價條件)**

**內點 = 原集合找得到開集包它的點：**

$$
\bbox[pink]{
\begin{align}
&q \in int(A) \iff \newline
& \exists \text{open set }u.p\in u \text{ and }u \in A
\end{align}}
$$

**外點 = 原集合以外找得到開集包它的點：**

$$
\bbox[pink]{
\begin{align}
&q \in Ext(A) \iff \newline
& \exists \text{open set }u.p\in u \text{ and }u \in X \setminus A
\end{align}}
$$

**邊界點 = 無論如何都會包到兩邊的點：**

$$
\bbox[pink]{
\begin{align}
&q \in \partial A \iff \newline
& \forall \text{u := nbd($P$)}.u\cap A \neq \phi \text{ , } u\cap X\setminus A
\end{align}}
$$

**閉包裡面的點 = 怎麼包都會包到原集合的點：**

$$
\bbox[pink]{
\begin{align}
&q \in \bar A \iff \newline
& \forall \text{$u$ := nbd($P$)}.u \cap A \neq \phi
\end{align}}
\bbox[pink]{ }
$$

**閉包 = 自己 + 邊界 = 內點 + 邊界**

$$
\bbox[pink]{
\begin{align}
\bar A &= A \cup \partial A \newline
&= int(A)\cup \partial A
\end{align}
}
$$
:::

這邊就開始出現跟 metric space 類似的定義：雖然沒有距離，但因為有開集，所以就有鄰域，然後就可以套用各種 metric space 的概念。

**++證明：內點 = 原集合找得到開集包它的點：++**

==「$\Rightarrow$」==

因為 $int(A)$ 定義為所有開集的聯集，而且 $q$ 在裡面：

$$
q \in int(A) = \bigcup u_{\alpha}
$$

所以 $q$ 至少會屬於 $u_\alpha$ 們中的其中一個。

==「$\Leftarrow$」==

$int(A)$ 是所有包在 $A$ 裡面開集的聯集，所以如果存在開集 $q \in u \in A$，那這個開集依照 $int(A)$ 的定義，也會被包進 $int(A)$，即：

$$
\text{ if } q \in u \subseteq A \text{ is open} \Rightarrow u \subset int(A)
$$

**++證明：外點 = 原集合以外找得到開集包它的點：++**

==「$\iff$ 」==

其實就是用上面那條。令 $B = Ext(A)$。由上面的觀察知：$B = Ext(A)$ 是個開集，所以套用第一條：

$$
\begin{align}
&q \in B=int(B) \iff \newline
& \exists \text{open set }u.q\in u \text{ and }u \in B = X\setminus \bar A \subseteq X \setminus A
\end{align}
$$

把所有 $B$ 變回 $Ext(A)$ 就證完了。

**++證明：邊界點 = 無論如何都會包到兩邊的點：++**

==「$\Rightarrow$」==

假定：

$$
p \in X \setminus (int(A) \cup Ext(A))
$$

可知道：

$$
p \not \in int(A) \text{ and } p \not \in Ext(A)
$$

利用反證法：假定 $u \cap A = \phi$，那麼 $q \in X \setminus A$。但根據外點的等價條件，此時應 $q \in Ext(A)$，於是矛盾; 同理，若 $u \cap (X \setminus A) = \phi$，那麼換句話說 $q \in u \subset A$，所以依照內點的等價條件，這樣的開集存在表示 $q \in int(A)$，又矛盾。

==「$\Leftarrow$」==

假定這樣的鄰域存在，那麼：

1. 因為 $u \cap A \neq \phi$，依照等價條件 $u \not \in Ext(A)$，或說 $u \in Ext(A)^c$
2. 同理 $u \cap (X\setminus A) \neq \phi$，等價條件有 $u \not \in int(A)$，也就是 $u \in int(A)^c$

因此由迪摩根：

$$
u \in int(A)^c \cap Ext(A)^c = (int(A) \cup Ext(A))^c
$$

不過因為母空間就是 $X$，所以：
$$
\begin{align}
(int(A) \cup Ext(A))^c &= X \setminus (int(A) \cup Ext(A))\newline
&= \partial A
\end{align}
$$

**++證明：閉包裡面的點 = 怎麼包都會包到原集合的點：++**

==「$\Rightarrow$」==

反證：假定 $A \cap u = \phi$，那麼換句話說：

$$
u \in X \setminus A
$$

根據等價條件 2，若 $p$ 存在這樣的鄰域，則：

$$
p \in Ext(A) = X \setminus \bar A
$$

然後就跟原先的矛盾了。

==「$\Leftarrow$」==

反證：假定 $p \not \in \bar A$，那麼：

$$
p \in X \setminus \bar A = Ext(A)
$$

因為 $Ext(A)$ 必定是開集，所以依照開集的等價條件：

$$
\exists u.p \in u \text{ and } u \subset Ext(A) \subseteq X \setminus A
$$

但 $u \in X \setminus A$ 表示 $u \cap A = \phi$，這個開集就矛盾了。

**++證明：閉包 = 自己 + 邊界 = 內點 + 邊界：++**

證明方法是左右互包。不過，由閉包的定義已經知道 $int(A) \subseteq A \subseteq \bar A$ 了，所以只要再證 $\partial A \subset \bar A$ 就可以把一邊解決掉了。

首先照定義寫出來之後，用迪摩根展開。並且把 $Ext(A)$ 用定義帶掉：

$$
\begin{align}
\partial A &= (X \setminus int(A)) \cap (X\setminus Ext(A))\newline
&= (X \setminus int(A)) \cap (X\setminus (X \setminus \bar A)) \newline
&= (X \setminus int(A))\cap \bar A
\end{align}
$$

不過，寫到這邊之後，就會發現：

$$
\partial A \subset \bar A
$$

因此，可以知道：

$$
\begin{align}
A \cup \partial A &\subseteq \bar A\newline
int(A) \cup \partial A &\subseteq \bar A
\end{align}
$$

這樣就解決其中一邊了。另外一方面，從 $\bar A$ 出發，自己就是母空間扣掉「扣掉自己之後的母空間」：

$$
\begin{align}
\bar A
&= X \setminus (X \setminus \bar A) \newline
&= X \setminus Ext(A)
\end{align}
$$

再挖掉 $A$ 之後補回來：

$$
X \setminus Ext(A) = ((X \setminus Ext(A))\setminus A)\cup A
$$

「挖 $A$ 補 $A$」跟「挖 $int(A)$ 補 $A$」比起來，因為 $int(A) \subseteq A$，挖比較小的補比較大的，所以前者會包在後者裡面。然後就發現這東西可以寫成邊界：

$$
\begin{align}
((X \setminus Ext(A))\setminus &A)\cup A \newline
\subseteq ((X \setminus Ext(A))\setminus &int(A))\cup A \subseteq \partial A \cup A
\end{align}
$$

也就是：

$$
\bar A \subseteq \partial A \cup A
$$

另外一方面，把上面過程中的「挖 $A$ 補 $A$」改成「挖 $int(A)$ 補 $int(A)$」，就會發現這個可以寫成邊界的樣子：

$$
\begin{align}
\bar A = X \setminus Ext(A) &= ((X \setminus Ext(A))\setminus int(A))\cup int(A)\newline
&= \partial A \cup int(A)
\end{align}
$$

因此：

$$
\bar A \subseteq \partial A \cup int(A)
$$