Topological Space - Basics
這些基於 open set 跟 close set 而建立的理論，可以拿到更基礎的空間來觀察。這樣的基本空間就是拓樸空間。
定義
Def (Topological Space)
假定 \(X\) 是個集合。一個 \(X\) 的 topology (拓樸) 是一個 \(X\) 的子集形成的集合 \(J = \{u_1, u_2 \dots\}\)，並且這個子集的集合滿足三件事：
空集合跟自己都在裡面：
\[
\bbox[yellow]{X \in J\ \text{and}\ \phi \in J}
\]
任意數目的聯集都在 \(J\) 裡面：
\[
\bbox[yellow]{\bigcup_{\alpha \in A} u_{\alpha} \in J
\qquad (\text{where } u_{\alpha} \in J) }
\]
有限數目的交集都在 \(J\) 裡：
\[
\bbox[yellow]{\bigcap_{i = 1}^{n} u_{i} \in J
\qquad (\text{where } u_{i} \in J, n < \infty) }
\]
這樣一個 \((X, J)\) 的 pair 稱作一個 topological space (拓樸空間)。
這樣的例子其實隨隨便便就可以生出來。比如說如果令：
\[
\begin{align}
X &= \{1, 2, 3\}\newline
J &= \{\{\}, \{1, 2\}, \{1, 2, 3\}\}
\end{align}
\]
那麼 \((X, J)\) 是一個拓樸空間。
雖然一個拓樸空間那麼好造，但如果拓樸 \(J\) 訂的很隨便，在討論收斂時就會出現一些不理想的行為。
開集的定義
拓樸空間的開集為：
Def (Open Set)
假定 \((X, J)\) 是一個拓樸空間。若集合 \(S \subset X\) 滿足：
\[
S \in J
\]
那就稱呼 \(S\) 是 \(X\) 這個拓樸空間中的 open set。
所以可以發現，一個 topology 其實只是定義什麼長相的集合叫做開集，然後保證開集的交集與聯集跟 metric space 中的開集有差不多的性質。
閉集的定義
接著定義閉集。因為不像 metric space 那樣有距離的概念，所以那種跟球有關的定義或是極限的定義都不適用。所以只好用最精簡的：
Def (Closed Set in Topological Space)
假定 \(S \subset X\) 是一個拓墣空間 \((X, J)\) 的子集合。若 \(S\) 滿足：
S 的補集是開集：
\[
\bbox[yellow]{S^{c} \text{ is open}}
\]
那麼就稱 \(S\) 是個「閉集」。
閉集的性質
拓樸空間的 3 個要求，在閉集中也有類似的行為（因為 take complement 就發現了嘛）。即：
Thm (閉集也有類似的性質)
給定一個拓樸空間 \((X, J)\)，\(X\) 有以下性質：
空集合跟整個空間都是開集：
\[
\bbox[pink]{\text{$\phi$ and $X$ are open.}}
\]
任意有限數目的閉集，聯集後都是閉集：
也就是對於任意：
\[
\text{$ K_1 \dots K_n$ are closed}
\]
有：
\[
\bbox[pink]{\bigcup_{i = 1}^{n}K_{i} \text{ is closed }}
\]
任意數目的閉集，交集後都是閉集：
\[
\bbox[pink]{\bigcap_{\alpha \in A}K_{\alpha} \text{ is closed}}
\]
其中：
\[
\text{$K_{\alpha}$ is closed } (\forall \alpha \in A)
\]
而 \(A\) 是某個大小任意的集合。
第一個很依照定義很明顯，因為依照定義：
\[
\begin{align}
\phi^c &= X \in J \newline
X^c &= \phi \in J
\end{align}
\]
接著要驗證是不是閉集，所以就看看他的補集是不是開集：
\[
\left(\bigcup_{i = 1}^{n}K_{i}\right)^{c} = \bigcap_{i = 1}^{n}(K_i)^c
\]
接下來證 (2) 。既然每個 \(K_i\) 都是閉集，所以由閉集的定義：
\[
K_i \text{ is closed } \Rightarrow (K_i)^c \text{ is open}
\]
因為 \(J\) 是個 \(X\) 的拓樸，根據拓樸的定義可知有限開集的交集也要是開集：
\[
(K_i)^c \text{ is open} \Rightarrow \bigcap_{i = 1}^{n}(K_i)^c \text{ is open}
\]
由此得證。
類似地，(3) 也是用同樣的手法：
\[
\left(\bigcap_{\alpha \in A}K_{\alpha}\right)^c = \bigcup_{\alpha \in A}(K_{\alpha})^c
\]
同樣因為 \(K_{\alpha}\) 是閉集，所以閉集定義說 \((K_{\alpha})^c\) 會是開集，然後用 \(J\) 是拓樸得證。
內部、外部及邊界
Def (Closure, Interior, Exterior and Boundary)
假定 \(X\) 是一個拓樸空間，且 \(S \subset X\)。定義：
1. 集合的閉包：
定義 \(S\) 的 closure (閉包) 為「所有包住 \(S\) 的閉集的交集」。也就是：
\[
\bbox[yellow]{\bar{S} = \bigcap_{\alpha} K_{\alpha}}
\]
其中 \(K_{\alpha}\) 是所有滿足：
\[
{K_{\alpha} \text{ closed and } S \in K_{\alpha}}
\]
的集合。
2. 集合的「內部」：
定義 \(S\) 的 interior (內部) 為「所有被 \(S\) 包住的開集的聯集」。也就是：
\[
\bbox[yellow]{int(S) = \bigcup u_{\alpha}}
\]
其中 \(u_{\alpha}\) 是任何包含在 \(S\) 中的開集：
\[
{u_{\alpha} \text{ open and }u_{\alpha} \subset S}
\]
3. 集合的「外部」
定義 \(S\) 的 exterior (外部) 為「\(\bar S\) 以外的所有點」。也就是：
\[
\bbox[yellow]{Ext(S) = X \setminus \bar S}
\]
4. 集合的邊界
定義 \(S\) 的 boundary 為「不在內部也不在外部的區域」。即：
\[
\bbox[yellow]{\partial S = X \setminus (int(S) \cup Ext(S))}
\]
上面這些定義很自然的有一些觀察。比如說，由拓樸中對於開、閉集的交集聯集性質可以知道：
\[
\boxed{
\begin{align}
Ext(A) &\text{ is }\mathbf{open} \newline
int(A) &\text{ is }\mathbf{open} \newline
\overline A &\text{ is }\mathbf{closed}
\end{align}}
\]
另外，也有：
\[
\boxed{
\begin{align}
A \text{ is closed} &\iff \bar A = A \newline
A \text{ is open} & \iff A = int(A)
\end{align}}
\]
兩個敘述的「\(\Leftarrow\)」方向很顯然：\(\bar A\) 照定義(加上拓樸空間的定義)是個閉集，而 \(int(A)\) 照定義(也是加上拓樸空間的定義)一定是個開集。
而分開考慮兩個的「\(\Rightarrow\)」方向。如果 \(A\) 是閉集，依照閉包的定義：
\[
\bar A = \bigcap_{\alpha} K_{\alpha}
\]
因為 \(A\) 是閉集，而且顯然 \(A \in A\)，所以 \(A\) 會是其中一個 \(K_\alpha\)。把它拉出來，然後展開：
\[
\bigcap_{\alpha} K_{\alpha} = A\cap \bigcap_{K_\alpha\neq A} K_{\alpha} = \bigcap_{K_\alpha\neq A} (K_{\alpha} \cap A)
\]
因為對於每一個 \(K_{\alpha}\)，定義有說要滿足 \(A \in K_{\alpha}\)，所以 \(K_{\alpha} \cap A\) 之後就通通都是 \(A\) 了：
\[
\bigcap_{K_\alpha\neq A} (K_{\alpha} \cap A) = \bigcap_{K_\alpha\neq A} A
\]
然後就證出 \(\bar A = A\)。
open 那條也是類似：依照定義：
\[
int(A) = \bigcup_{\alpha} u_{\alpha} \subseteq A
\]
所以就有了 \(int(A) \subseteq A\)。
另外一方面，\(A\) 是開集，而且 \(A \subseteq A\)。所以依照 \(int(a)\) 的定義，\(A\) 是 \(int(A)\) 聯集起來的那些開集中的其中一個。故又有 \(A\subseteq int(A)\)，於是就證出 \(A = int(A)\)。
這些定義看起來很簡潔，但是感覺有點難用。如果有一些等價的條件來輔助的話，用起來會比較順手：
等價條件
Lemma (各種等價條件)
內點 = 原集合找得到開集包它的點：
\[
\bbox[pink]{
\begin{align}
&q \in int(A) \iff \newline
& \exists \text{open set }u.p\in u \text{ and }u \in A
\end{align}}
\]
外點 = 原集合以外找得到開集包它的點：
\[
\bbox[pink]{
\begin{align}
&q \in Ext(A) \iff \newline
& \exists \text{open set }u.p\in u \text{ and }u \in X \setminus A
\end{align}}
\]
邊界點 = 無論如何都會包到兩邊的點：
\[
\bbox[pink]{
\begin{align}
&q \in \partial A \iff \newline
& \forall \text{u := nbd($P$)}.u\cap A \neq \phi \text{ , } u\cap X\setminus A
\end{align}}
\]
閉包裡面的點 = 怎麼包都會包到原集合的點：
\[
\bbox[pink]{
\begin{align}
&q \in \bar A \iff \newline
& \forall \text{$u$ := nbd($P$)}.u \cap A \neq \phi
\end{align}}
\bbox[pink]{ }
\]
閉包 = 自己 + 邊界 = 內點 + 邊界
\[
\bbox[pink]{
\begin{align}
\bar A &= A \cup \partial A \newline
&= int(A)\cup \partial A
\end{align}
}
\]
這邊就開始出現跟 metric space 類似的定義：雖然沒有距離，但因為有開集，所以就有鄰域，然後就可以套用各種 metric space 的概念。
證明：內點 = 原集合找得到開集包它的點：
「\(\Rightarrow\)」
因為 \(int(A)\) 定義為所有開集的聯集，而且 \(q\) 在裡面：
\[
q \in int(A) = \bigcup u_{\alpha}
\]
所以 \(q\) 至少會屬於 \(u_\alpha\) 們中的其中一個。
「\(\Leftarrow\)」
\(int(A)\) 是所有包在 \(A\) 裡面開集的聯集，所以如果存在開集 \(q \in u \in A\)，那這個開集依照 \(int(A)\) 的定義，也會被包進 \(int(A)\)，即：
\[
\text{ if } q \in u \subseteq A \text{ is open} \Rightarrow u \subset int(A)
\]
證明：外點 = 原集合以外找得到開集包它的點：
「\(\iff\) 」
其實就是用上面那條。令 \(B = Ext(A)\)。由上面的觀察知：\(B = Ext(A)\) 是個開集，所以套用第一條：
\[
\begin{align}
&q \in B=int(B) \iff \newline
& \exists \text{open set }u.q\in u \text{ and }u \in B = X\setminus \bar A \subseteq X \setminus A
\end{align}
\]
把所有 \(B\) 變回 \(Ext(A)\) 就證完了。
證明：邊界點 = 無論如何都會包到兩邊的點：
「\(\Rightarrow\)」
假定：
\[
p \in X \setminus (int(A) \cup Ext(A))
\]
可知道：
\[
p \not \in int(A) \text{ and } p \not \in Ext(A)
\]
利用反證法：假定 \(u \cap A = \phi\)，那麼 \(q \in X \setminus A\)。但根據外點的等價條件，此時應 \(q \in Ext(A)\)，於是矛盾; 同理，若 \(u \cap (X \setminus A) = \phi\)，那麼換句話說 \(q \in u \subset A\)，所以依照內點的等價條件，這樣的開集存在表示 \(q \in int(A)\)，又矛盾。
「\(\Leftarrow\)」
假定這樣的鄰域存在，那麼：
- 因為 \(u \cap A \neq \phi\)，依照等價條件 \(u \not \in Ext(A)\)，或說 \(u \in Ext(A)^c\)
- 同理 \(u \cap (X\setminus A) \neq \phi\)，等價條件有 \(u \not \in int(A)\)，也就是 \(u \in int(A)^c\)
因此由迪摩根：
\[
u \in int(A)^c \cap Ext(A)^c = (int(A) \cup Ext(A))^c
\]
不過因為母空間就是 \(X\)，所以：
\[
\begin{align}
(int(A) \cup Ext(A))^c &= X \setminus (int(A) \cup Ext(A))\newline
&= \partial A
\end{align}
\]
證明：閉包裡面的點 = 怎麼包都會包到原集合的點：
「\(\Rightarrow\)」
反證：假定 \(A \cap u = \phi\)，那麼換句話說：
\[
u \in X \setminus A
\]
根據等價條件 2，若 \(p\) 存在這樣的鄰域，則：
\[
p \in Ext(A) = X \setminus \bar A
\]
然後就跟原先的矛盾了。
「\(\Leftarrow\)」
反證：假定 \(p \not \in \bar A\)，那麼：
\[
p \in X \setminus \bar A = Ext(A)
\]
因為 \(Ext(A)\) 必定是開集，所以依照開集的等價條件：
\[
\exists u.p \in u \text{ and } u \subset Ext(A) \subseteq X \setminus A
\]
但 \(u \in X \setminus A\) 表示 \(u \cap A = \phi\)，這個開集就矛盾了。
證明：閉包 = 自己 + 邊界 = 內點 + 邊界：
證明方法是左右互包。不過，由閉包的定義已經知道 \(int(A) \subseteq A \subseteq \bar A\) 了，所以只要再證 \(\partial A \subset \bar A\) 就可以把一邊解決掉了。
首先照定義寫出來之後，用迪摩根展開。並且把 \(Ext(A)\) 用定義帶掉：
\[
\begin{align}
\partial A &= (X \setminus int(A)) \cap (X\setminus Ext(A))\newline
&= (X \setminus int(A)) \cap (X\setminus (X \setminus \bar A)) \newline
&= (X \setminus int(A))\cap \bar A
\end{align}
\]
不過，寫到這邊之後，就會發現：
\[
\partial A \subset \bar A
\]
因此，可以知道：
\[
\begin{align}
A \cup \partial A &\subseteq \bar A\newline
int(A) \cup \partial A &\subseteq \bar A
\end{align}
\]
這樣就解決其中一邊了。另外一方面，從 \(\bar A\) 出發，自己就是母空間扣掉「扣掉自己之後的母空間」：
\[
\begin{align}
\bar A
&= X \setminus (X \setminus \bar A) \newline
&= X \setminus Ext(A)
\end{align}
\]
再挖掉 \(A\) 之後補回來：
\[
X \setminus Ext(A) = ((X \setminus Ext(A))\setminus A)\cup A
\]
「挖 \(A\) 補 \(A\)」跟「挖 \(int(A)\) 補 \(A\)」比起來，因為 \(int(A) \subseteq A\)，挖比較小的補比較大的，所以前者會包在後者裡面。然後就發現這東西可以寫成邊界：
\[
\begin{align}
((X \setminus Ext(A))\setminus &A)\cup A \newline
\subseteq ((X \setminus Ext(A))\setminus &int(A))\cup A \subseteq \partial A \cup A
\end{align}
\]
也就是：
\[
\bar A \subseteq \partial A \cup A
\]
另外一方面，把上面過程中的「挖 \(A\) 補 \(A\)」改成「挖 \(int(A)\) 補 \(int(A)\)」，就會發現這個可以寫成邊界的樣子：
\[
\begin{align}
\bar A = X \setminus Ext(A) &= ((X \setminus Ext(A))\setminus int(A))\cup int(A)\newline
&= \partial A \cup int(A)
\end{align}
\]
因此：
\[
\bar A \subseteq \partial A \cup int(A)
\]
HackMD