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Topological Space - Basics

這些基於 open setclose set 而建立的理論,可以拿到更基礎的空間來觀察。這樣的基本空間就是拓樸空間。

定義

Def (Topological Space)

假定

\(X\) 是個集合。一個
\(X\)
topology (拓樸) 是一個
\(X\)
的子集形成的集合
\(J = \{u_1, u_2 \dots\}\)
,並且這個子集的集合滿足三件事:

空集合跟自己都在裡面

\[ \bbox[yellow]{X \in J\ \text{and}\ \phi \in J} \]

任意數目的聯集都在

\(J\) 裡面

\[ \bbox[yellow]{\bigcup_{\alpha \in A} u_{\alpha} \in J \qquad (\text{where } u_{\alpha} \in J) } \]

有限數目的交集都在

\(J\)

\[ \bbox[yellow]{\bigcap_{i = 1}^{n} u_{i} \in J \qquad (\text{where } u_{i} \in J, n < \infty) } \]

這樣一個

\((X, J)\)pair 稱作一個 topological space (拓樸空間)。

這樣的例子其實隨隨便便就可以生出來。比如說如果令:

\[ \begin{align} X &= \{1, 2, 3\}\newline J &= \{\{\}, \{1, 2\}, \{1, 2, 3\}\} \end{align} \]

那麼

\((X, J)\) 是一個拓樸空間。

雖然一個拓樸空間那麼好造,但如果拓樸

\(J\) 訂的很隨便,在討論收斂時就會出現一些不理想的行為。

開集的定義

拓樸空間的開集為:

Def (Open Set)
假定

\((X, J)\) 是一個拓樸空間。若集合
\(S \subset X\)
滿足:

\[ S \in J \]

那就稱呼

\(S\)
\(X\)
這個拓樸空間中的 open set

所以可以發現,一個 topology 其實只是定義什麼長相的集合叫做開集,然後保證開集的交集與聯集跟 metric space 中的開集有差不多的性質。

閉集的定義

接著定義閉集。因為不像 metric space 那樣有距離的概念,所以那種跟球有關的定義或是極限的定義都不適用。所以只好用最精簡的:

Def (Closed Set in Topological Space)

假定

\(S \subset X\) 是一個拓墣空間
\((X, J)\)
的子集合。若
\(S\)
滿足:

S 的補集是開集

\[ \bbox[yellow]{S^{c} \text{ is open}} \]

那麼就稱

\(S\) 是個「閉集」。

閉集的性質

拓樸空間的 3 個要求,在閉集中也有類似的行為(因為 take complement 就發現了嘛)。即:

Thm (閉集也有類似的性質)

給定一個拓樸空間

\((X, J)\)
\(X\)
有以下性質:

空集合跟整個空間都是開集

\[ \bbox[pink]{\text{$\phi$ and $X$ are open.}} \]

任意有限數目的閉集,聯集後都是閉集
也就是對於任意:

\[ \text{$ K_1 \dots K_n$ are closed} \]

有:

\[ \bbox[pink]{\bigcup_{i = 1}^{n}K_{i} \text{ is closed }} \]

任意數目的閉集,交集後都是閉集

\[ \bbox[pink]{\bigcap_{\alpha \in A}K_{\alpha} \text{ is closed}} \]

其中:

\[ \text{$K_{\alpha}$ is closed } (\forall \alpha \in A) \]

\(A\) 是某個大小任意的集合。

第一個很依照定義很明顯,因為依照定義:

\[ \begin{align} \phi^c &= X \in J \newline X^c &= \phi \in J \end{align} \]

接著要驗證是不是閉集,所以就看看他的補集是不是開集:

\[ \left(\bigcup_{i = 1}^{n}K_{i}\right)^{c} = \bigcap_{i = 1}^{n}(K_i)^c \]

接下來證 (2) 。既然每個

\(K_i\) 都是閉集,所以由閉集的定義:

\[ K_i \text{ is closed } \Rightarrow (K_i)^c \text{ is open} \]

因為

\(J\) 是個
\(X\)
的拓樸,根據拓樸的定義可知有限開集的交集也要是開集:

\[ (K_i)^c \text{ is open} \Rightarrow \bigcap_{i = 1}^{n}(K_i)^c \text{ is open} \]

由此得證。

類似地,(3) 也是用同樣的手法:

\[ \left(\bigcap_{\alpha \in A}K_{\alpha}\right)^c = \bigcup_{\alpha \in A}(K_{\alpha})^c \]

同樣因為

\(K_{\alpha}\) 是閉集,所以閉集定義說
\((K_{\alpha})^c\)
會是開集,然後用
\(J\)
是拓樸得證。

內部、外部及邊界

Def (Closure, Interior, Exterior and Boundary)

假定

\(X\) 是一個拓樸空間,且
\(S \subset X\)
。定義:

1. 集合的閉包

定義

\(S\)closure (閉包) 為「所有包住
\(S\)
的閉集的交集」。也就是:

\[ \bbox[yellow]{\bar{S} = \bigcap_{\alpha} K_{\alpha}} \]

其中

\(K_{\alpha}\) 是所有滿足:

\[ {K_{\alpha} \text{ closed and } S \in K_{\alpha}} \]

的集合。

2. 集合的「內部」

定義

\(S\)interior (內部) 為「所有被
\(S\)
包住的開集的聯集」。也就是:

\[ \bbox[yellow]{int(S) = \bigcup u_{\alpha}} \]

其中

\(u_{\alpha}\) 是任何包含在
\(S\)
中的開集:

\[ {u_{\alpha} \text{ open and }u_{\alpha} \subset S} \]

3. 集合的「外部」

定義

\(S\)exterior (外部) 為「
\(\bar S\)
以外的所有點」。也就是:

\[ \bbox[yellow]{Ext(S) = X \setminus \bar S} \]

4. 集合的邊界

定義

\(S\)boundary 為「不在內部也不在外部的區域」。即:

\[ \bbox[yellow]{\partial S = X \setminus (int(S) \cup Ext(S))} \]

上面這些定義很自然的有一些觀察。比如說,由拓樸中對於開、閉集的交集聯集性質可以知道:

\[ \boxed{ \begin{align} Ext(A) &\text{ is }\mathbf{open} \newline int(A) &\text{ is }\mathbf{open} \newline \overline A &\text{ is }\mathbf{closed} \end{align}} \]

另外,也有:

\[ \boxed{ \begin{align} A \text{ is closed} &\iff \bar A = A \newline A \text{ is open} & \iff A = int(A) \end{align}} \]

兩個敘述的「

\(\Leftarrow\)」方向很顯然:
\(\bar A\)
照定義(加上拓樸空間的定義)是個閉集,而
\(int(A)\)
照定義(也是加上拓樸空間的定義)一定是個開集。

而分開考慮兩個的「

\(\Rightarrow\)」方向。如果
\(A\)
是閉集,依照閉包的定義:

\[ \bar A = \bigcap_{\alpha} K_{\alpha} \]

因為

\(A\) 是閉集,而且顯然
\(A \in A\)
,所以
\(A\)
會是其中一個
\(K_\alpha\)
。把它拉出來,然後展開:

\[ \bigcap_{\alpha} K_{\alpha} = A\cap \bigcap_{K_\alpha\neq A} K_{\alpha} = \bigcap_{K_\alpha\neq A} (K_{\alpha} \cap A) \]

因為對於每一個

\(K_{\alpha}\),定義有說要滿足
\(A \in K_{\alpha}\)
,所以
\(K_{\alpha} \cap A\)
之後就通通都是
\(A\)
了:

\[ \bigcap_{K_\alpha\neq A} (K_{\alpha} \cap A) = \bigcap_{K_\alpha\neq A} A \]

然後就證出

\(\bar A = A\)

open 那條也是類似:依照定義:

\[ int(A) = \bigcup_{\alpha} u_{\alpha} \subseteq A \]

所以就有了

\(int(A) \subseteq A\)

另外一方面,

\(A\) 是開集,而且
\(A \subseteq A\)
。所以依照
\(int(a)\)
的定義,
\(A\)
\(int(A)\)
聯集起來的那些開集中的其中一個。故又有
\(A\subseteq int(A)\)
,於是就證出
\(A = int(A)\)

這些定義看起來很簡潔,但是感覺有點難用。如果有一些等價的條件來輔助的話,用起來會比較順手:

等價條件

Lemma (各種等價條件)

內點 = 原集合找得到開集包它的點:

\[ \bbox[pink]{ \begin{align} &q \in int(A) \iff \newline & \exists \text{open set }u.p\in u \text{ and }u \in A \end{align}} \]

外點 = 原集合以外找得到開集包它的點:

\[ \bbox[pink]{ \begin{align} &q \in Ext(A) \iff \newline & \exists \text{open set }u.p\in u \text{ and }u \in X \setminus A \end{align}} \]

邊界點 = 無論如何都會包到兩邊的點:

\[ \bbox[pink]{ \begin{align} &q \in \partial A \iff \newline & \forall \text{u := nbd($P$)}.u\cap A \neq \phi \text{ , } u\cap X\setminus A \end{align}} \]

閉包裡面的點 = 怎麼包都會包到原集合的點:

\[ \bbox[pink]{ \begin{align} &q \in \bar A \iff \newline & \forall \text{$u$ := nbd($P$)}.u \cap A \neq \phi \end{align}} \bbox[pink]{ } \]

閉包 = 自己 + 邊界 = 內點 + 邊界

\[ \bbox[pink]{ \begin{align} \bar A &= A \cup \partial A \newline &= int(A)\cup \partial A \end{align} } \]

這邊就開始出現跟 metric space 類似的定義:雖然沒有距離,但因為有開集,所以就有鄰域,然後就可以套用各種 metric space 的概念。

證明:內點 = 原集合找得到開集包它的點:

\(\Rightarrow\)

因為

\(int(A)\) 定義為所有開集的聯集,而且
\(q\)
在裡面:

\[ q \in int(A) = \bigcup u_{\alpha} \]

所以

\(q\) 至少會屬於
\(u_\alpha\)
們中的其中一個。

\(\Leftarrow\)

\(int(A)\) 是所有包在
\(A\)
裡面開集的聯集,所以如果存在開集
\(q \in u \in A\)
,那這個開集依照
\(int(A)\)
的定義,也會被包進
\(int(A)\)
,即:

\[ \text{ if } q \in u \subseteq A \text{ is open} \Rightarrow u \subset int(A) \]

證明:外點 = 原集合以外找得到開集包它的點:

\(\iff\)

其實就是用上面那條。令

\(B = Ext(A)\)。由上面的觀察知:
\(B = Ext(A)\)
是個開集,所以套用第一條:

\[ \begin{align} &q \in B=int(B) \iff \newline & \exists \text{open set }u.q\in u \text{ and }u \in B = X\setminus \bar A \subseteq X \setminus A \end{align} \]

把所有

\(B\) 變回
\(Ext(A)\)
就證完了。

證明:邊界點 = 無論如何都會包到兩邊的點:

\(\Rightarrow\)

假定:

\[ p \in X \setminus (int(A) \cup Ext(A)) \]

可知道:

\[ p \not \in int(A) \text{ and } p \not \in Ext(A) \]

利用反證法:假定

\(u \cap A = \phi\),那麼
\(q \in X \setminus A\)
。但根據外點的等價條件,此時應
\(q \in Ext(A)\)
,於是矛盾; 同理,若
\(u \cap (X \setminus A) = \phi\)
,那麼換句話說
\(q \in u \subset A\)
,所以依照內點的等價條件,這樣的開集存在表示
\(q \in int(A)\)
,又矛盾。

\(\Leftarrow\)

假定這樣的鄰域存在,那麼:

  1. 因為
    \(u \cap A \neq \phi\)
    ,依照等價條件
    \(u \not \in Ext(A)\)
    ,或說
    \(u \in Ext(A)^c\)
  2. 同理
    \(u \cap (X\setminus A) \neq \phi\)
    ,等價條件有
    \(u \not \in int(A)\)
    ,也就是
    \(u \in int(A)^c\)

因此由迪摩根:

\[ u \in int(A)^c \cap Ext(A)^c = (int(A) \cup Ext(A))^c \]

不過因為母空間就是

\(X\),所以:
\[ \begin{align} (int(A) \cup Ext(A))^c &= X \setminus (int(A) \cup Ext(A))\newline &= \partial A \end{align} \]

證明:閉包裡面的點 = 怎麼包都會包到原集合的點:

\(\Rightarrow\)

反證:假定

\(A \cap u = \phi\),那麼換句話說:

\[ u \in X \setminus A \]

根據等價條件 2,若

\(p\) 存在這樣的鄰域,則:

\[ p \in Ext(A) = X \setminus \bar A \]

然後就跟原先的矛盾了。

\(\Leftarrow\)

反證:假定

\(p \not \in \bar A\),那麼:

\[ p \in X \setminus \bar A = Ext(A) \]

因為

\(Ext(A)\) 必定是開集,所以依照開集的等價條件:

\[ \exists u.p \in u \text{ and } u \subset Ext(A) \subseteq X \setminus A \]

\(u \in X \setminus A\) 表示
\(u \cap A = \phi\)
,這個開集就矛盾了。

證明:閉包 = 自己 + 邊界 = 內點 + 邊界:

證明方法是左右互包。不過,由閉包的定義已經知道

\(int(A) \subseteq A \subseteq \bar A\) 了,所以只要再證
\(\partial A \subset \bar A\)
就可以把一邊解決掉了。

首先照定義寫出來之後,用迪摩根展開。並且把

\(Ext(A)\) 用定義帶掉:

\[ \begin{align} \partial A &= (X \setminus int(A)) \cap (X\setminus Ext(A))\newline &= (X \setminus int(A)) \cap (X\setminus (X \setminus \bar A)) \newline &= (X \setminus int(A))\cap \bar A \end{align} \]

不過,寫到這邊之後,就會發現:

\[ \partial A \subset \bar A \]

因此,可以知道:

\[ \begin{align} A \cup \partial A &\subseteq \bar A\newline int(A) \cup \partial A &\subseteq \bar A \end{align} \]

這樣就解決其中一邊了。另外一方面,從

\(\bar A\) 出發,自己就是母空間扣掉「扣掉自己之後的母空間」:

\[ \begin{align} \bar A &= X \setminus (X \setminus \bar A) \newline &= X \setminus Ext(A) \end{align} \]

再挖掉

\(A\) 之後補回來:

\[ X \setminus Ext(A) = ((X \setminus Ext(A))\setminus A)\cup A \]

「挖

\(A\)
\(A\)
」跟「挖
\(int(A)\)
\(A\)
」比起來,因為
\(int(A) \subseteq A\)
,挖比較小的補比較大的,所以前者會包在後者裡面。然後就發現這東西可以寫成邊界:

\[ \begin{align} ((X \setminus Ext(A))\setminus &A)\cup A \newline \subseteq ((X \setminus Ext(A))\setminus &int(A))\cup A \subseteq \partial A \cup A \end{align} \]

也就是:

\[ \bar A \subseteq \partial A \cup A \]

另外一方面,把上面過程中的「挖

\(A\)
\(A\)
」改成「挖
\(int(A)\)
\(int(A)\)
」,就會發現這個可以寫成邊界的樣子:

\[ \begin{align} \bar A = X \setminus Ext(A) &= ((X \setminus Ext(A))\setminus int(A))\cup int(A)\newline &= \partial A \cup int(A) \end{align} \]

因此:

\[ \bar A \subseteq \partial A \cup int(A) \]