# Metric Space - Continuity (Part 2)

除了 *preservation of convergence* 跟 $\epsilon-\delta$ 定義之外，還有另外一種跟連續有關的定義。這個定義跟開集有關。

## Open Set & Closed Set

:::warning
**Def**
假定 $M$ 是一個 *metric sapce* 且 $S \subset M$。則：

++**Open**++：
假定對於任意 $p \in S$，都存在 $r > 0$，使得以 $p$ 為中心，$r$ 為半徑的開球包在 $S$ 裡面：

$$
B(p, r) \subset S
$$

那麼就稱 $S$ 是 *open*

:::

這個跟微積分的 *open* 根本是一樣的。而 *closed* 需要用極限來輔助定義。首先定義什麼是一個 *limit point*：

:::warning

**Def (Limit Point)**
若 $q\in M$，且 $S$ 中存在一個收斂到 $q$ 的序列，那麼就稱 $q$ 是一個 *limit point*。也就是：

$$
\exists \{p_n\} \subset S.p_n \to q
$$

而用「$\lim S$」表示「所有 $S$ 的 *limit point* 形成的集合」：

$$
\lim S = \{\text{all limit points}\}
$$

:::

注意：$S \subset \lim S$，因為只取 $S$ 中同一個元素的數列，顯然是收斂數列; 但反過來 *limit point* 未必會收斂在自己的集合中。比如說有理數列可能收斂到無理數，但無理數不在有理數中。

剛剛提到一個集合未必會包含自己的所有 *limit point*。但如果一個集合包含自己的所有 *limit point*，那就稱這個集合 *closed*：

:::warning
**Def (Closed)**：
假定 $S$ 包含所有自己的 *limit point*，那麼就稱 $S$ 是 *closed*。也就是：

$$
S = \lim S
$$
:::

注意：「不 *open*」不表示這個集合就「*closed*」。有集合是可以既 *open* 又 *closed* 的，比如說實數 $\mathbb R$。$\mathbb R$ 裡面的收斂數列收斂到的點都會在 $\mathbb R$ 中，所以 *closed*。但任意裡面的元素都可以找到包住他的開區間(包含那個點的開區間隨便取，比如 $(x - \epsilon, x + \epsilon)$, 其中 $\epsilon > 0$)，所以按照定義他也 *open*。

*open set* 跟 *closed set* 在不同空間也有很多乍看之下不一樣的定義，但最後拉回 *metric space* 時，就會發現他們其實都是等價的。

## 開的補集是關，關的補集是開

:::danger
**Lemma**
假定 $M$ 是一個 *metric space*，則：
++**開集的補集是閉集**++：
假定 $S$ 是 *open*，則 $S^c$ 是 *closed*：

$$
S\text{ open} \Rightarrow S^c \text{ closed}
$$

++**閉集的補集是開集**++：
假定 $K$ 是 *closed*，則 $K^c$ 是 *closed*：

$$
K\text{ closed} \Rightarrow K^c \text{ open}
$$

:::

第一個證明可以用 $\epsilon-\delta$ 反證。假定有一個 $K^c$ 中的序列 $\{q_n\}$ 收斂到的點 $q$ 在 $S$ 裡面，那麼不管 $\epsilon$ 取多小，$d(q_n, q) < \epsilon$ 的範圍內都一定可以找到 $\{q_n\}$ 序列中的元素。但這樣就表示：沒有任何以 $q$ 為中心的開集會完全包在 $S$ 當中，所以 $S$ 不滿足 *open* 的定義，然後就矛盾了。

第二個證明也是類似：假定 $K$ *closed*，可是 $K^c$ 不 *open*。也就是說：有一個 $p\in K^c$，不管以他為中心取多小的 *ball*，這個 *ball* 都會包到 $K^c$ 以外 (也就是 $K$) 中的元素。讓這個 *ball* 的半徑嚴格遞減下去，每換一個半徑就找一個這樣的 $K$ 中的元素，用他們造一個序列。這個序列會在 $K$ 中，而且跟 $p$ 的距離可以任意小，所以就收斂到 $p \in K^c$。但 $K$ 是 *closed* 的話就應該要包含所有 *limit point* 啊！為什麼現在 $p$ 沒有包進去了呢？所以就矛盾了。

## Continuity, by Open Sets

:::warning
**Def (Continuity, by Open Set)**
假定 $N, M$ 是 *metric space*，且 $f : N \to M$。若對於任意集合 $S \subset M$，$f$ 滿足：

$$
S \text{ open} \Rightarrow f^{pre}(S) \text{ open}
$$

其中，$f^{pre}$ 定義為：

$$
f^{pre}(A) = \{p \in M:f(p)\in A\}
$$

則稱 $f$ 是*連續*的。
:::

這已經是目前第三個跟連續有關的敘述了。乍看之下跟 $\epsilon-\delta$ 差很多，但某些程度來說其實也沒差太多。因為當說到「$d_N(x, y) < \delta$」與「$d_M(f(x), f(y)) < \epsilon$」這類的敘述時，某些程度來說就是在討論「$\delta$-ball」跟 「$\epsilon$-ball」這一系列 $N, M$ 中的開集之間的關係。

既然會這樣說，不意外的接下來就是要說：這些連續在 *metric space* 中都等價：

## 連續的等價敘述

:::danger
**Thm (連續的等價敘述)**

假定 $N, M$ 是 *metric space*，且 $f : N \to M$。則以下四個敘述是等價的：

**++1. Continuity, by $\epsilon-\delta$++**：
對於任意 $\epsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，使得：

$$
d_N(x, y) < \delta \Rightarrow d_M(f(x), f(y)) < \epsilon
$$

**++2. Continuity, by Preservation of Convergence++**：
假定 $\{p_n\} \subset N$，則：

$$
p_n \to p \Rightarrow f(p_n) \to f(p)
$$

**++3. Closed Set 都從 Closed Set 來++**：
假定 $K \in M$ 是 *closed*，則：

$$
f^{pre}(K) \text{ is closed}
$$

**++4. Open Set 都從 Open Set 來++**：
假定 $S \in M$ 是 *open*，則：

$$
f^{pre}(S) \text{ is open}
$$

:::

1 跟 2 等價已經證明過了。

2 證 3 用因為條件有數列收斂，*closed* 的定義又跟 *limit point* 有關，所以方向就是嘗試往 *closed* 的定義。目標是證明 $(f^{pre}(K))$ *closed*，或者說「在 $(f^{pre}(K))$ 裡面隨便挑一個收斂的序列 $\{p_n\}$，其中 $p_n \to p$。目標是 $p \in (f^{pre}(K))$，也就是 $f(p) \in K$。所以就考慮 $\{f(p_n)\}$ 這個序列，因為保收斂的關係，$f(p_n) \to f(p)$; 又因為 $\{p_n\}$ 在 $(f^{pre}(K))$ 裡，所以 $\{f(p_n)\} \subset K$。而且 $K$ 又 *closed*，所以 $p \in K$。然後就證完了。

3 跟 4 是一體兩面，只是取補集。對於 *pre-image*，可以觀察到：

$$
\begin{align}
a \in f^{pre}(S^c)
&\iff f(a) \in S^c \newline
&\iff f(a) \not \in S \newline
&\iff a \not \in f^{pre}(S) \iff a \in (f^{pre}(S))^c
\end{align}
$$

$S$ 是 *open* ，表示 $S^c$ 是 *closed* 。既然是 *closed* ，就可以用 3. 。搭配上面的推論，知：

$$
f^{pre}(S^c) = (f^{pre}(S))^c \text{ is closed}
$$

所以 $(f^{pre}(K))^c$ 的補集，也就是 $f^{pre}(K)$，依照上面的 Lemma 就是 *closed*：

$$
((f^{pre}(S))^c)^c = f^{pre}(S) \text{ is open}
$$

4 回到 1 就非常容易，因為 $\forall x.d_N(x, y) < \delta$ 這句話就是在說 $B(y, \delta)$ 這個開球中的所有元素，而 $\forall x.d_M(f(x), f(y)) < \epsilon$ 類似地就是在說 $B(f(y), \epsilon)$ 中的所有元素。

給定 $\epsilon$ 之後，考慮 $B_{\epsilon} := B(f(y), \epsilon) \subset M$ 這個開集。$f^{pre}(B_\epsilon) \subset N$ 會是一個開集，而且 $y \in f^{pre}(B_\epsilon)$。既然 $y$ 在一個開集裡面，就存在一個開球 $B_{\delta} := B(y, \delta)$ ，使得 $B_{\delta} \subset f^{pre}(B(\epsilon))$ 中。把 $\delta$ 取這個半徑，則：

$$
\begin{align}
d_N(x, y) < \delta
&\Rightarrow x \in B_\delta \subset f^{pre}(B_{\epsilon})\newline
&\Rightarrow f(x) \in B_{\epsilon} \newline
&\Rightarrow d_M(f(x), f(y)) < \epsilon
\end{align}
$$