Metric Space - Continuity (Part 2)

除了 preservation of convergence 跟

$ϵ-\delta$ 定義之外，還有另外一種跟連續有關的定義。這個定義跟開集有關。

Open Set & Closed Set

Def
假定

$M$ 是一個 metric sapce 且

$S\subset M$。則：

Open：
假定對於任意

$p\in S$，都存在

$r>0$，使得以

$p$ 為中心，

$r$ 為半徑的開球包在

$S$ 裡面：

$$B(p,r)\subset S$$

那麼就稱

$S$ 是 open

這個跟微積分的 open 根本是一樣的。而 closed 需要用極限來輔助定義。首先定義什麼是一個 limit point：

Def (Limit Point)
若

$q\in M$，且

$S$ 中存在一個收斂到

$q$ 的序列，那麼就稱

$q$ 是一個 limit point。也就是：

$$\mathrm{\exists }\{p_n\}\subset S.p_n\to q$$

而用「

$limS$」表示「所有

$S$ 的 limit point 形成的集合」：

$$limS=\{\text{all limit points}\}$$

注意：

$S\subset limS$，因為只取

$S$ 中同一個元素的數列，顯然是收斂數列; 但反過來 limit point 未必會收斂在自己的集合中。比如說有理數列可能收斂到無理數，但無理數不在有理數中。

剛剛提到一個集合未必會包含自己的所有 limit point。但如果一個集合包含自己的所有 limit point，那就稱這個集合 closed：

Def (Closed)：
假定

$S$ 包含所有自己的 limit point，那麼就稱

$S$ 是 closed。也就是：

$$S=limS$$

注意：「不 open」不表示這個集合就「closed」。有集合是可以既 open 又 closed 的，比如說實數

$\mathbb{R}$。

$\mathbb{R}$ 裡面的收斂數列收斂到的點都會在

$\mathbb{R}$ 中，所以 closed。但任意裡面的元素都可以找到包住他的開區間(包含那個點的開區間隨便取，比如

$(x-ϵ,x+ϵ)$, 其中

$ϵ>0$)，所以按照定義他也 open。

open set 跟 closed set 在不同空間也有很多乍看之下不一樣的定義，但最後拉回 metric space 時，就會發現他們其實都是等價的。

開的補集是關，關的補集是開

Lemma
假定

$M$ 是一個 metric space，則：
開集的補集是閉集：
假定

$S$ 是 open，則

$S^c$ 是 closed：

$$S\text{ open}\Rightarrow S^c\text{ closed}$$

閉集的補集是開集：
假定

$K$ 是 closed，則

$K^c$ 是 closed：

$$K\text{ closed}\Rightarrow K^c\text{ open}$$

第一個證明可以用

$ϵ-\delta$ 反證。假定有一個

$K^c$ 中的序列

$\{q_n\}$ 收斂到的點

$q$ 在

$S$ 裡面，那麼不管

$ϵ$ 取多小，

$d(q_n,q)<ϵ$ 的範圍內都一定可以找到

$\{q_n\}$ 序列中的元素。但這樣就表示：沒有任何以

$q$ 為中心的開集會完全包在

$S$ 當中，所以

$S$ 不滿足 open 的定義，然後就矛盾了。

第二個證明也是類似：假定

$K$ closed，可是

$K^c$ 不 open。也就是說：有一個

$p\in K^c$，不管以他為中心取多小的 ball，這個 ball 都會包到

$K^c$ 以外 (也就是

$K$) 中的元素。讓這個 ball 的半徑嚴格遞減下去，每換一個半徑就找一個這樣的

$K$ 中的元素，用他們造一個序列。這個序列會在

$K$ 中，而且跟

$p$ 的距離可以任意小，所以就收斂到

$p\in K^c$。但

$K$ 是 closed 的話就應該要包含所有 limit point 啊！為什麼現在

$p$ 沒有包進去了呢？所以就矛盾了。

Continuity, by Open Sets

Def (Continuity, by Open Set)
假定

$N,M$ 是 metric space，且

$f:N\to M$。若對於任意集合

$S\subset M$，

$f$ 滿足：

$$S\text{ open}\Rightarrow f^{pre}(S)\text{ open}$$

其中，

$f^{pre}$ 定義為：

$$f^{pre}(A)=\{p\in M:f(p)\in A\}$$

則稱

$f$ 是連續的。

這已經是目前第三個跟連續有關的敘述了。乍看之下跟

$ϵ-\delta$ 差很多，但某些程度來說其實也沒差太多。因為當說到「

$d_N(x,y)<\delta$」與「

$d_M(f(x),f(y))<ϵ$」這類的敘述時，某些程度來說就是在討論「

$\delta$-ball」跟 「

$ϵ$-ball」這一系列

$N,M$ 中的開集之間的關係。

既然會這樣說，不意外的接下來就是要說：這些連續在 metric space 中都等價：

連續的等價敘述

Thm (連續的等價敘述)

假定

$N,M$ 是 metric space，且

$f:N\to M$。則以下四個敘述是等價的：

1. Continuity, by

$ϵ-\delta$：
對於任意

$ϵ>0$，存在

$\delta >0$，使得：

$$d_N(x,y)<\delta \Rightarrow d_M(f(x),f(y))<ϵ$$

2. Continuity, by Preservation of Convergence：
假定

$\{p_n\}\subset N$，則：

$$p_n\to p\Rightarrow f(p_n)\to f(p)$$

3. Closed Set 都從 Closed Set 來：
假定

$K\in M$ 是 closed，則：

$$f^{pre}(K)\text{ is closed}$$

4. Open Set 都從 Open Set 來：
假定

$S\in M$ 是 open，則：

$$f^{pre}(S)\text{ is open}$$

1 跟 2 等價已經證明過了。

2 證 3 用因為條件有數列收斂，closed 的定義又跟 limit point 有關，所以方向就是嘗試往 closed 的定義。目標是證明

$(f^{pre}(K))$ closed，或者說「在

$(f^{pre}(K))$ 裡面隨便挑一個收斂的序列

$\{p_n\}$，其中

$p_n\to p$。目標是

$p\in (f^{pre}(K))$，也就是

$f(p)\in K$。所以就考慮

$\{f(p_n)\}$ 這個序列，因為保收斂的關係，

$f(p_n)\to f(p)$; 又因為

$\{p_n\}$ 在

$(f^{pre}(K))$ 裡，所以

$\{f(p_n)\}\subset K$。而且

$K$ 又 closed，所以

$p\in K$。然後就證完了。

3 跟 4 是一體兩面，只是取補集。對於 pre-image，可以觀察到：

$$\begin{array}{rl}a\in f^{pre}(S^c)& ⟺f(a)\in S^c\\ & ⟺f(a)\notin S\\ & ⟺a\notin f^{pre}(S)⟺a\in (f^{pre}(S){)}^c\end{array}$$

$S$ 是 open ，表示

$S^c$ 是 closed 。既然是 closed ，就可以用 3. 。搭配上面的推論，知：

$$f^{pre}(S^c)=(f^{pre}(S){)}^c\text{ is closed}$$

所以

$(f^{pre}(K){)}^c$ 的補集，也就是

$f^{pre}(K)$，依照上面的 Lemma 就是 closed：

$$((f^{pre}(S){)}^c{)}^c=f^{pre}(S)\text{ is open}$$

4 回到 1 就非常容易，因為

$\mathrm{\forall }x.d_N(x,y)<\delta$ 這句話就是在說

$B(y,\delta )$ 這個開球中的所有元素，而

$\mathrm{\forall }x.d_M(f(x),f(y))<ϵ$ 類似地就是在說

$B(f(y),ϵ)$ 中的所有元素。

給定

$ϵ$ 之後，考慮

$B_{ϵ}:=B(f(y),ϵ)\subset M$ 這個開集。

$f^{pre}(B_{ϵ})\subset N$ 會是一個開集，而且

$y\in f^{pre}(B_{ϵ})$。既然

$y$ 在一個開集裡面，就存在一個開球

$B_{\delta }:=B(y,\delta )$ ，使得

$B_{\delta }\subset f^{pre}(B(ϵ))$ 中。把

$\delta$ 取這個半徑，則：

$$\begin{array}{rl}{d}_N(x,y)<\delta & \Rightarrow x\in B_{\delta }\subset f^{pre}(B_{ϵ})\\ & \Rightarrow f(x)\in B_{ϵ}\\ & \Rightarrow d_M(f(x),f(y))<ϵ\end{array}$$