# Metric Space - Compactness (Part 2)

這裡討論的是 *nested sequence of compact*，也就是對於任意 $i > j$ 有 $A_j \subset A_i$ 的集合組成的序列：

:::warning
**Def (Sequence of Nested Set)**
一個 *sequence of nested set* 是一個集合的序列 $(A_n)_{n = 1}^{\infty}$，且該序列滿足：

$$
A_1 \supset A_2 \supset \dots \supset A_n \supset \dots
$$

:::

如果更進一步，這個集合的序列中的集合都非空且 *compact* ，那麼就有：

:::danger
**Lemma**
假定 $M$ 是個 *metric space*，$(A_n)_{n = 1}^{\infty}$ 是 $M$ 中的 *sequence of nested set*，且 $(A_n)$ 的集合都「非空」且「*compact*」。則所有序列中集合的交集：

$$
A = \bigcap_{n = 1}^{\infty}A_n
$$

$A$ 也是「非空」且「*compact*」的。

:::

因為 $(A_n)$ 中所有元素均為 *compact*，所以序列裡面所有集合都 *closed*; 又因為 *metric space* 也是一種 *topological space*，所以閉集的交集都是閉集，因此 $A$ 是個閉集。又因為這是 $A_1$ 這個 *compact set* 下的閉集，所以 $A$ 也 *compact*。

接著要證明非空。從每個 $A_n$ 中挑出一個元素，構造一個序列 $\{a_n\}$。其中：

$$
a_n \in A_n
$$

因為這邊的前提是 $(A_n)$ 中的集合均非空，所以這樣的元素必定$A_1$ *compact*，所以 $\{a_n\}$ 存在收斂的子序列 $\{a_{n_k}\}$，假定這個序列收斂到 $a$：

$$
a_{n_k} \to a
$$

這個收斂到的點 $a$ 就會在任意 $A_j \in (A_n)$ 中。這是因為把 $(A_{n_k})$ 這個序列從第 $j$ 元素開始取，就有：

$$
(a_{n_k})_{k = j}^{\infty} \subset (a_n)_{n = j}^{\infty} \subset A_j
$$

這是因為 $n_k$ 之間的間隔至少是 1，所以 $a_{n_k}$ 砍掉前 $j - 1$ 個元素，一定會砍掉 $a_n$ 前 $j$ 個元素。更進一步，因為 $(a_{n_k})_{k = j}^{\infty}$ 是 $(a_{n_k})_{k = 1}^{\infty}$ 這個收斂序列的子序列，所以也收斂到 $a$。但 $A_j$ *closed*，所以 $(a_{n_k})_{k = 1}^{\infty}$ 收斂到的點 $a \in A_j$，因此 $a \in A_j$。

既然對於任意 $A_j$ 都有 $a \in A_j$，那麼就可以知道 $a \in A$：

$$
\forall j \in \mathbb N.a \in A_j\Rightarrow a \in \bigcap_{j = 1}^{\infty} A_j
$$

所以就證明 $A$ 是非空的。

更進一步，如果這個集合元素之間的距離趨近於 0，那麼最後的交集裡面就只會有唯一的元素。要敘述這樣的現象，首先要定義集合的 *diameter*：

:::warning
**Def (Diameter of Set)**
假定 $M$ 是一個 *metric space*，且 $S \subset M$。則 $S$ 的 *diameter* 定義為：

$$
\text{dia}(S) = \sup \{d(x, y):x, y \in S\}
$$

:::

而顯然：

$$
S \text{ bounded } \iff \text{dia} (S) < \infty
$$

因為 *bounded* 表示存在某個有限半徑的開球可以包住 $S$，表示 $S$ 中元素的距離均不大於這個開球的直徑; 反之，如果 $\text{dia}(S)$ 有限，那麼挑最遠的那對 $x, y$，以 $x$ 為中心，$\text{dia}(S)$ 為半徑取開球，因為不會有元素的距離比 $\text{dia}(S)$ 更遠，所以這個開球就可以包住整個集合。

加上這個條件之後，就可以對 *nest sequece of compact* 有更強的結論：

:::danger
**Lemma**
假定 $M$ 是個 *metric space*，$(A_n)_{n = 1}^{\infty}$ 是 $M$ 中的 *sequence of nested set*，且 $(A_n)$ 的集合都「非空」且「*compact*」，並且：

$$
\text{dia}(A_n) \to 0
$$

則：

$$
\bigcap_{n = 1}^{\infty}A_n = \{a\}
$$

:::

這個意思是：把半徑趨近零的 *sequence of nested compact* 交集起來，最後就只會剩下一個元素在裡面。

這個證明用上一個 *lemma* 可以立刻有：

$$
A = \bigcap_{n = 1}^{\infty} A_n \neq \phi
$$

然後用 $\text{dia}(A_n) \to 0$。所以假定 $A$ 裡面存在元素 $p, q$，那麼這兩點的距離：

$$
d(p, q) < \text{dia}(A_n) \to 0
$$

既然距離是 $0$，用 *metric* 的定義知道這兩個元素必定要是相同元素。由此得證。