Metric Space - Compactness (Part 2)

這裡討論的是 nested sequence of compact，也就是對於任意

$i>j$ 有

$A_j\subset A_i$ 的集合組成的序列：

Def (Sequence of Nested Set)
一個 sequence of nested set 是一個集合的序列

$(A_n{)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$，且該序列滿足：

$$A_1\supset A_2\supset \cdots \supset A_n\supset \dots$$

如果更進一步，這個集合的序列中的集合都非空且 compact ，那麼就有：

Lemma
假定

$M$ 是個 metric space，

$(A_n{)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ 是

$M$ 中的 sequence of nested set，且

$(A_n)$ 的集合都「非空」且「compact」。則所有序列中集合的交集：

$$A=\bigcap _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_n$$

$A$ 也是「非空」且「compact」的。

因為

$(A_n)$ 中所有元素均為 compact，所以序列裡面所有集合都 closed; 又因為 metric space 也是一種 topological space，所以閉集的交集都是閉集，因此

$A$ 是個閉集。又因為這是

$A_1$ 這個 compact set 下的閉集，所以

$A$ 也 compact。

接著要證明非空。從每個

$A_n$ 中挑出一個元素，構造一個序列

$\{a_n\}$。其中：

$$a_n\in A_n$$

因為這邊的前提是

$(A_n)$ 中的集合均非空，所以這樣的元素必定

$A_1$ compact，所以

$\{a_n\}$ 存在收斂的子序列

$\{a_{n_k}\}$，假定這個序列收斂到

$a$：

$$a_{n_k}\to a$$

這個收斂到的點

$a$ 就會在任意

$A_j\in (A_n)$ 中。這是因為把

$(A_{n_k})$ 這個序列從第

$j$ 元素開始取，就有：

$$(a_{n_k}{)}_{k=j}^{\mathrm{\infty }}\subset (a_n{)}_{n=j}^{\mathrm{\infty }}\subset A_j$$

這是因為

$n_k$ 之間的間隔至少是 1，所以

$a_{n_k}$ 砍掉前

$j-1$ 個元素，一定會砍掉

$a_n$ 前

$j$ 個元素。更進一步，因為

$(a_{n_k}{)}_{k=j}^{\mathrm{\infty }}$ 是

$(a_{n_k}{)}_{k=1}^{\mathrm{\infty }}$ 這個收斂序列的子序列，所以也收斂到

$a$。但

$A_j$ closed，所以

$(a_{n_k}{)}_{k=1}^{\mathrm{\infty }}$ 收斂到的點

$a\in A_j$，因此

$a\in A_j$。

既然對於任意

$A_j$ 都有

$a\in A_j$，那麼就可以知道

$a\in A$：

$$\mathrm{\forall }j\in \mathbb{N}.a\in A_j\Rightarrow a\in \bigcap _{j=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_j$$

所以就證明

$A$ 是非空的。

更進一步，如果這個集合元素之間的距離趨近於 0，那麼最後的交集裡面就只會有唯一的元素。要敘述這樣的現象，首先要定義集合的 diameter：

Def (Diameter of Set)
假定

$M$ 是一個 metric space，且

$S\subset M$。則

$S$ 的 diameter 定義為：

$$\text{dia}(S)=sup\{d(x,y):x,y\in S\}$$

而顯然：

$$S\text{ bounded }⟺\text{dia}(S)<\mathrm{\infty }$$

因為 bounded 表示存在某個有限半徑的開球可以包住

$S$，表示

$S$ 中元素的距離均不大於這個開球的直徑; 反之，如果

$\text{dia}(S)$ 有限，那麼挑最遠的那對

$x,y$，以

$x$ 為中心，

$\text{dia}(S)$ 為半徑取開球，因為不會有元素的距離比

$\text{dia}(S)$ 更遠，所以這個開球就可以包住整個集合。

加上這個條件之後，就可以對 nest sequece of compact 有更強的結論：

Lemma
假定

$M$ 是個 metric space，

$(A_n{)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ 是

$M$ 中的 sequence of nested set，且

$(A_n)$ 的集合都「非空」且「compact」，並且：

$$\text{dia}(A_n)\to 0$$

則：

$$\bigcap _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_n=\{a\}$$

這個意思是：把半徑趨近零的 sequence of nested compact 交集起來，最後就只會剩下一個元素在裡面。

這個證明用上一個 lemma 可以立刻有：

$$A=\bigcap _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_n\ne \varphi$$

然後用

$\text{dia}(A_n)\to 0$。所以假定

$A$ 裡面存在元素

$p,q$，那麼這兩點的距離：

$$d(p,q)<\text{dia}(A_n)\to 0$$

既然距離是

$0$，用 metric 的定義知道這兩個元素必定要是相同元素。由此得證。