# Riemann Integral

目標：==$f$ 黎曼可積 $\iff$ $f$ 「幾乎處處」連續==

## 定義

在定義黎曼可積之前，先定義什麼就做「分割」：

:::warning
**Def (分割)**
假定 $f$ 是一個定義在 $[a, b]$ 的函數。一個 *partition pair* 是兩個有限集合 $S, T$ 形成的 pair：

$$
\begin{align}
P &= \{x_0, x_1 \dots x_n\}\newline
T &= \{t_1 \dots t_n\}
\end{align}
$$

其中 $P$ 中的點滿足：

$$
a = x_0 < x_1 < \dots < x_n = b
$$

稱作一個 $[a, b]$ 的 *partition*。而 $T$ 滿足：

$$
t_i \in [x_{i - 1}, x_i]
$$

並且定義這個分割的 *mesh*, $\|P\|$, 為「最大的分割間距」：

$$
\|P\| = \max\{\Delta x_i\}
$$

:::

給定函數跟分割之後，接著定義函數的「黎曼和」：

:::warning
**Def (黎曼和)**
假定 $f$ 是一個定義在 $[a, b]$ 的函數，$(P, T)$ 是個 $[a, b]$ 的 *partition pair*。則定義這個 *partition pair* 對應的黎曼和 $R(f, P, T)$ 為：

$$
R(f, P, T) = \sum_{i = 1}^{n}f(t_i)\Delta x_i
$$

其中，$\Delta x_i = x_i - x_{i - 1}$。
:::

最後，黎曼可積的定義：

:::warning
**Def (Riemann Integrable)**

假定 $f$ 是一個定義在 $[a, b]$ 的函數。若存在 $I \in \mathbb R$，對於任意 $\epsilon > 0$，都存在 $\delta > 0$，使得對於任何滿足 $\|P\| < \delta$ 的 *partition pair* $(P, T)$，都有：

$$
|R(f, P, T) - I| < \epsilon
$$

則稱 $f$ 在 $[a, b]$ *黎曼可積*。並且用下列的符號表示 $I$：

$$
\int_{a}^{b}f(x)dx = I
$$

:::

這個定義是個有點強的條件：對於任意 $\|P\| < \delta$，而且在這個 $P$ 下還要任選 $T$ 都滿足。聽起來使用上不是很方便。因此會期待一些等價的條件。

### 黎曼可積必有界

:::danger
**Lemma (黎曼可積必有界)**

假定 $f$ 在 $[a, b]$ 黎曼可積，那麼 $f$ 在 $[a, b]$ 有界。
:::

直覺上來說：*unbounded* 就表示值可以拉的任意大，但黎曼可積又要求總和距離某一個值任意小。所以任何你覺得夠小的 $R(f, P, T)$，最後都可以因為 $T$ 裡面包了某些取值可以讓他任意大的點來讓黎曼和炸開。

假定 $f$ 在某個 $[x_{i_0 - 1}, x_{i_0}]$ *unbounded*，這表示存在一個 $t \in [x_{i_0 - 1}, x_{i_0}]$，使得 $|f(t) - f(t_{i_0})|$ 可以任意大。比如說就==令他底乘高比 2 大==：

$$
|f(t) - f(t_{i_0})||\Delta x_i| > 2
$$

而另外一方面，假定這樣的狀況下，$f$ 在 $[a, b]$ 仍然黎曼可積，也就是：給定任意 $\epsilon$，只要某個 *partition pair* 滿足 $\|P\| < \delta$ 。==現在令那個 $\epsilon=1$==，那麼就有：

$$
|R(f, P, T) - I| < 1
$$

對於任意滿足這樣的 *partition pair* $(P, T)$，用上面的方法，把 $T$ 中的其中一個點，替換成能滿足前述：

$$
|f(t) - f(t_{i_0})||\Delta x_i| > 2
$$

的點 (所以黎曼和加總時，只會在那個被替換的點上有不同)，並且令這個新的 *partition pair* $(P, T')$。則：

$$
\begin{align}
2 &< \underbrace{|R(f, P, R) - R(f, P, T')|}_{=\ |f(t) - f(t_{i_0})||\Delta x_i|\ >\ 2}
+
\underbrace{|R(f, P, T') - I|}_{>\ 0} \newline
&\leq |R(f, P, T) - I|
\end{align}
$$

但是剛剛已經說 $|R(f, P, T)| < 1$ 了，現在又得到 $|R(f, P, T)| > 2$，於是就矛盾爆掉了。

### 黎曼可積是線性的

這樣的積分本質上是一個極限的收斂職，所以聽起來線性也是滿合理的：

:::warning
**Prop (積分的性質)**
假定 $\mathcal R$ 是所有在 $[a, b]$ 上黎曼可積的函數，則：
++**1. 黎曼可積的函數構成向量空間**++
$$
\mathcal R \text{ is a vector space}
$$

++**2. 黎曼積分是線性的**++

$$
f \to \int_{a}^{b} f dx
$$

是線性的。即：

$$
\begin{align}
(f + sg) &\to \int_{a}^{b}(f + sg)dx \newline
&= \int_{a}^{b}fdx + s\int_{a}^{b}gdx
\end{align}
$$

++**3. 常數函數的積分**++

假定 $f = c$ 是個常數函數，則：

$$
\int_{a}^{b} = (b - a)\cdot c
$$
:::

常數函數的積分是顯然，因為任取 *partition pair* 算出來的黎曼和，都是 $(b - a) \cdot c$。所以很自然那就是收斂值。

第 2 根 3 個敘述其實是一樣的，很顯然 0 函數在裡面，只要證明 $f + sg$ 也黎曼可積，而且結果剛好就是線性相加就好。不失一般性令 $s \neq 0$：

分別把兩個函數用黎曼可積的定義寫出來：

$$
\begin{align}
\exists \delta_1. \forall \|P\| < \delta_1.|R(f, P, T) - I_1| < \epsilon \newline
\exists \delta_2. \forall \|P\| < \delta_1.|R(g, P, T) - I_2| < \epsilon
\end{align}
$$

然後就很自然的想取 $\delta = \min\{\delta_1 , \delta_2\}$，並且因為是線性，所以會想要 claim 積分結果是 $I_1 + s I_2$。這時考慮：

$$
\sum_{i = 1}^n (f(t_i) + sg(t_i))\Delta x_i = \sum_{i = 1}^n f(t_i)\Delta x_i + s \sum_{i = 1}^{n}g(t_i)\Delta x_i
$$

因此：

$$
\begin{align}
&|R(f + sg, P, T) - (I_1 + sI_2)| \newline
=& \left|\left(\sum_{i = 1}^{n}f(t_i)\Delta x_i - I_1\right)- \left(s\sum_{i = 1}^{n}f(t_i)\Delta x_i - sI_2\right) \right|\newline
\leq & \left|\sum_{i = 1}^{n}f(t_i)\Delta x_i - I_1\right| + \left|s\sum_{i = 1}^{n}f(t_i)\Delta x_i - sI_2\right|\newline
\leq& \epsilon + |s| \epsilon
\end{align}
$$