Darboux Integral

黎曼可積的條件很強：要任意滿足

$\Vert P\Vert <\delta$ 的分割

$P$，還要每個分割任取

$T$ 都要對。這件事情的另外一個角度就是這個定義很難用。有一個好一點點的，跟黎曼可積等價的條件，叫做達布可積：

定義

Def (上和與下和)
假定

$f$ 是一個

$[a,b]$ 上的有界函數。且：

$$P=\{x_0\dots x_n\}$$

是一個

$[a,b]$ 的 partition。則定義

$f$ 在這個分割上的 upper sum 為：

$$U(f,p)=\sum _{i=1}^n{M}_i\mathrm{\Delta }{x}_i$$

其中：

$$M_i=\underset{x\in [x_{i-1},x_i]}{inf}f(x)$$

而定義

$f$ 在這個分割上的 lower sum 為：

$$L(f,p)=\sum _{i=1}^n{m}_i\mathrm{\Delta }{x}_i$$

其中：

$$m_i=\underset{x\in [x_{i-1},x_i]}{sup}f(x)$$

不難發現：對於某個 partition

$P$，以及任意的

$T$，都有：

$$L(f,p)\le R(f,P,T)\le U(f,P)$$

達布可積的直覺像是這樣：如果上和跟下和趨近相同的極限，那麼黎曼和就會被夾在中間而跟著收斂。因此，達布可積的定義：

Def (Darboux Integrable)
假定

$f$ 是在

$[a,b]$ 間有界的連續函數。定義：

$$\begin{array}{rl}\bar{I}& =\underset{P}{inf}U(f,p)\\ \underset{―}{I}& =\underset{P}{sup}L(f,P)\end{array}$$

假定

$\bar{I}$ 與

$\underset{―}{I}$ 滿足：

$$\bar{I}=\underset{―}{I}$$

則稱

$f$ 在

$[a,b]$ Darboux Integrable

這邊

$\bar{I}$ 跟

$\underset{―}{I}$ 都是良好定義的。理由是因為：

$f$ 有界，所以存在

$M$ ，使得對於任意

$x\in [a,b]$，有：

$$|f(x)|<M$$

因此，就可以用這個東西當作上和跟下和的一個上、下界：

$$-M(b-a)\le L(f,P)\le U(f,P)\le M(b-a)$$

接著直接套實數完備性，所以就有最小上界跟最大下界。

觀察

這個定義看起來還是很長，不過有一些關鍵的觀察：

Observation (達布積分的觀察)

點越多，上和越小，下和越大
假定

$P$,

$P^{\prime }$ 是兩個

$[a,b]$ 的 partition，假定

$P^{\prime }$ 是

$P$ 的 refinement，即

$P^{\prime }$ 的分割點比

$P$ 還要多，則有：

$$\begin{array}{rl}U(f,P^{\prime })& \le U(f,P)\\ L(f,P^{\prime })& \ge L(f,P)\end{array}$$

所有的下和都比上和小
對於任意

$[a,b]$ 的分割

$P,Q$，都有：

$$L(f,P)\le U(f,Q)$$

下和的上界不大於上和下界

$$\underset{―}{I}\le \bar{I}$$

證明：點越多，上和越小，下和越大

不失一般性，假定：

$$P^{\prime }=P\cup \{x^{\ast }\}$$

其中

$x^{\ast }$ 是一個不在

$P$ 裡面的點，並假定這個多出來的分割點

$x^{\ast }\in [x_{i-1},x_i]$。這個證明的直覺如圖中所描述：

雖然看起來很直覺，不過各種上下標寫起來導致這個證明看起來很長。

首先可由

$sup$ 的性質：

$$A\subseteq B\Rightarrow supA\le supB$$

以及，若

$A,B\in R$，且

$\lambda >0$，則：

$$sup\lambda A=\lambda supA$$

因此有：

$$\begin{array}{rl}\underset{x\in [x_{i-1},x^{\ast }]}{sup}f(x)& \le \underset{x\in [x_{i-1},x_i]}{sup}f(x)\\ \underset{x\in [x^{\ast },x_i]}{sup}f(x)& \le \underset{x\in [x_{i-1},x_i]}{sup}f(x)\end{array}$$

更進一步，考慮加入

$x^{\ast }-x_{i-1}>0$，且

$x_i-x^{\ast }>0$。因為兩者均為正數，故左右同乘後，由上述性質知大小關係仍然相同。把他們塞回

$sup$ 中。因此：

$$\begin{array}{rl}\underset{x\in [x_{i-1},x^{\ast }]}{sup}f(x)(x^{\ast }-x_{i-1})& \le \underset{x\in [x_{i-1},x_i]}{sup}f(x)(x^{\ast }-x_{i-1})\\ \underset{x\in [x^{\ast },x_i]}{sup}f(x)(x_i-x^{\ast })& \le \underset{x\in [x_{i-1},x_i]}{sup}f(x)(x_i-x^{\ast })\end{array}$$

左右相加。其中，右式因為性質的關係，有：

$$\begin{array}{rl}& \underset{x\in [x_{i-1},x_i]}{sup}f(x)(x^{\ast }-x_{i-1})+\underset{x\in [x_{i-1},x_i]}{sup}f(x)(x_i-x^{\ast })\\ =& (x^{\ast }-x_{i-1})\underset{x\in [x_{i-1},x_i]}{sup}f(x)+(x_i-x^{\ast })\underset{x\in [x_{i-1},x_i]}{sup}f(x)\\ =& (x_i-x_{i-1})\underset{x\in [x_{i-1},x_i]}{sup}f(x)\\ =& \underset{x\in [x_{i-1},x_i]}{sup}f(x)(x_i-x_{i-1})\end{array}$$

故左右相加之後，有：

$$\begin{array}{r}\underset{x\in [x_{i-1},x^{\ast }]}{sup}f(x)(x^{\ast }-x_{i-1})+\underset{x\in [x^{\ast },x_i]}{sup}f(x)(x_i-x^{\ast })\le \underset{x\in [x_{i-1},x_i]}{sup}f(x)(x_i-x_{i-1})\end{array}$$

因為兩個 partition 上下和之差，僅在

$[x_{i-1},x_i]$ 有所不同，因此：

$$\begin{array}{rl}U(f,P)-U(f,P^{\prime })=& \underset{x\in [x_{i-1},x_i]}{sup}f(x)(x_i-x_{i-1})\\ & -(\underset{x\in [x_{i-1},x^{\ast }]}{sup}f(x)(x^{\ast }-x_{i-1})+\underset{x\in [x^{\ast },x_i]}{sup}f(x)(x_i-x^{\ast }))\\ \ge & 0\end{array}$$

證明：所有的下和都比上和小

既然

$P,Q$ 都是 partition，且

$P\cup Q$ 同時是

$P,Q$ 的 refinement，那麼由前一個觀察可知：

$$L(f,P)\le L(f,P\cup Q)\le U(f,P\cup Q)\le U(f,Q)$$

證明：下和的上界不大於上和下界

由前一個觀察可知：對於任意的 partition

$P,Q$，有：

$$L(f,P)\le U(f,Q)$$

固定

$Q$，對於任意

$P$，每一個

$U(f,Q)$ 必定是

$L(f,P)$ 的一個上界。因此：

$$\underset{P}{sup}L(f,P)\le U(f,Q)$$

但這樣就發現

$\underset{P}{sup}L(f,P)$ 又剛好是個

$U(f,Q)$ 的一個下界，所以相較於

$U(f,Q)$ 的最小下界

$\underset{Q}{inf}U(f,Q)$，有：

$$\underset{P}{sup}L(f,P)\le \underset{Q}{inf}U(f,Q)$$

而左式跟右式剛好就是

$\underset{―}{I}$ 跟

$\bar{I}$ 的定義。故：

$$\underset{―}{I}\le \bar{I}$$

等價敘述

有了上述這些觀察，就可以將達布積分的條件變成另外一個比較好用的敘述：

假定

$f$ 是一個

$[a,b]$ 上的連續函數。那麼：

$$\begin{array}{rl}& f\text{ Darboux integrable}⟺\\ & \mathrm{\forall }ϵ>0.\mathrm{\exists }P.U(f,P)-L(f,P)<ϵ\end{array}$$

這個等價敘述的關鍵是「存在」。在黎曼可積的定義中，所有東西都是要求「所有的」東西必須滿足，比如說任何

$\Vert P\Vert <\delta$ 的 partition、某個 partition 下任取的

$T$ 等等。

這件事訴諸於

$\underset{―}{I}$ 與

$\bar{I}$ 是某個最大下界與最小上界的本質。對於任意

$ϵ$，可知：

$$\begin{array}{rl}\mathrm{\exists }{P}_1& .U(f,P_1)<\bar{I}+ϵ\\ \mathrm{\exists }{P}_2& .\underset{―}{I}-ϵ<L(f,P_2)\end{array}$$

$\Rightarrow$：

這時，取：

$$P=P_1\cup P_2$$

由「達布積分的觀察」可以知道：

$$\begin{array}{rl}\underset{―}{I}-ϵ& <L(f,P_2)\le L(f,P)\\ & \le U(f,P)\le U(f,P_1)<\bar{I}+ϵ\end{array}$$

因此：

$$U(f,P)-L(f,P)<2ϵ$$

$\Leftarrow$：

對於任意

$ϵ$，都找得到

$P$，使得：

$$U(f,P)-L(f,P)<ϵ\Rightarrow U(f,P)<L(f,P)+ϵ$$

接著用兩者的最大下界跟最小上界去夾：

$$\bar{I}<U(f,P)<L(f,P)+ϵ<\underset{―}{I}+ϵ$$

因此：

$$\bar{I}<\underset{―}{I}+ϵ$$

故：

$$\bar{I}-\underset{―}{I}<ϵ$$

因為

$ϵ$ 是任取的，所以得證

$\underset{―}{I}=\bar{I}$。

引理

接下來的目標是「達布可積

$⟺$ 黎曼可積」。黎曼本身定義很強，所以推到達布相對容易; 但換句話說，達布推黎曼感覺就會麻煩一些，因為還要對於「任意」

$\Vert P\Vert <\delta$。在達布可積中也都只有提到「存在」

$P$。所以中間需要一個引理來銜接：

Lemma

$$\begin{array}{rl}& f\text{ is Darboux integrable}⟺\\ & \mathrm{\forall }ϵ>0.\mathrm{\exists }\delta >0.\Vert P\Vert <\delta \Rightarrow U(f,P)-L(f,P)<ϵ\end{array}$$

這個定理中，

$\Leftarrow$ 是顯然：因為隨便挑一個

$\Vert P\Vert <\delta$ 的 partition 就推到達布可積的等價條件了。所以只要證明

$\Rightarrow$ 就好。

給定任何一個

$ϵ$，達布可積的等價條件保證存在

$P^{\prime }=\{x_1^{\prime },x_2^{\prime }\dots x_{n^{\prime }}^{\prime }\}$，使得：

$$U(f,P^{\prime })-L(f,P^{\prime })<ϵ$$

給定一個 partition

$P$。考慮：

$$P^{\ast }=P\cup P^{\prime }$$

因為

$P^{\ast }$ 是

$P^{\prime }$ 的 refinement，所以有：

$$L(f,P^{\prime })\le L(f,P^{\ast })\le U(f,P^{\ast })\le U(f,P^{\prime })$$

觀察

$U(f,P)$ 和

$U(f,P^{\ast })$。因為每個

$[x_{i-1},x_i]$ 中都可能包含某些

$P^{\prime }$ 中的點，這些點把每個

$[x_{i-1},x_i]$ 又再分割成幾個子區間。就令

$[x_{i-1},x_i]$ 中的第

$j$ 個區間：

$$I_{ij}=[x_{i-1},x_i]\text{ 中的第 j 個區間}$$

並且令

$n_i$ 為

$[x_{i-1},x_i]$ 中，這樣的子區間的數目;

$M_{ij}=\underset{x\in I_{ij}}{sup}f(x)$ 及

$m_{ij}=\underset{x\in I_{ij}}{inf}f(x)$

因此：

$$\begin{array}{rl}U(f,P)-U(f,P^{\ast })& =\sum _{i=1}^{n^{\prime }}{M}_i\mathrm{\Delta }{x}_i-\sum _{i=1}^{n^{\prime }}\sum _{j=1}^{n_j}{M}_{ij}\mathrm{\Delta }{x}_{ij}\\ & =\sum _{i=1}^{n^{\prime }}\sum _{j=1}^{n_j}(M_i-M_{ij})\mathrm{\Delta }{x}_{ij}\\ & \le \sum _{i=1}^{n^{\prime }}\sum _{j=1}^{n_j}(2M)\mathrm{\Delta }{x}_{ij}=\sum _{i=1}^{n^{\prime }}(2M)\mathrm{\Delta }{x}_i\end{array}$$

現在宣稱這樣

$\delta$ 是：

$$\delta =\frac{ϵ}{n^{\prime }M}$$

因為在這樣的狀況下，就有：

$$U(f,P)-U(f,P^{\ast })\le \sum _{i=1}^{n^{\prime }}(2M)\mathrm{\Delta }{x}_i\le 2ϵ$$

類似地，有：

$$L(f,P^{\prime })-L(f,P)\le 2ϵ$$

因此：

$$\begin{array}{rl}& U(f,P)-L(f,P)\\ & =\underset{\le 2ϵ}{\underbrace{U(f,P)-U(f,P^{\ast })}}+U(f,P^{\ast })-L(f,P^{\ast })+\underset{\le 2ϵ}{\underbrace{L(f,P^{\ast })-L(f,P)}}\\ & <5ϵ\end{array}$$

其中，可以證明

$U(f,P^{\ast })-L(f,P^{\ast })<ϵ$。因爲

$P^{\ast }$ 是

$P^{\prime }$ 的 refinement，因此：

$$L(f,P^{\prime })\le L(f,P^{\ast })\le U(f,P^{\ast })\le U(f,P^{\prime })$$

但已知：

$$U(f,P^{\prime })-L(f,P^{\prime })<ϵ$$

故可知

$U(f,P^{\ast })-L(f,P^{\ast })<ϵ$。由此得證。

與黎曼可積等價

最後，要證明的是：黎曼積分與達布積分等價：

假定

$f$ 是

$[a,b]$ 上的連續函數，則：

$$\begin{array}{rl}& f\text{ is Riemann integrable}⟺\\ & f\text{ is Darboux integrable}\end{array}$$

這個證明中，「

$\Rightarrow$」 看起來相對明顯：因為黎曼可積的定義中，保證 partition pair 可以任取，因此很直覺可以挑那些包含所有分割中，最大或最小值的點。唯一的問題是：達布積分的定義牽扯到

$sup$ 與

$inf$，而這些上界與下界並不總是在函數的值域中，所以要動一些手腳來解決這個小問題。

「

$\Rightarrow$」：

假定黎曼可積，也就是對於任意

$ϵ$，都存在

$\delta >0$，使得：

$$\Vert P\Vert <\delta \Rightarrow |R(f,P,T)-I|<ϵ$$

關鍵細節是：

$sup$ 跟

$inf$ 不一定會在裡面。所以要動一點手腳。

對於任意

$[x_{i-1},x_i]$，取

$t_i\in [x_{i-1},x_i]$，使得：

$$f(t_i)<m_i+\frac{ϵ}{b-a}$$

這樣的

$t_i$ 一定存在，因為

$m_i$ 是

$inf$。類似地，取

$t_i\in [x_{i-1},x_i]$，使得：

$$M_i-\frac{ϵ}{b-a}<f(t_i^{\prime })$$

這時：

$$\begin{array}{rl}U(f,p)-R(f,P,T^{\prime })& =\sum M_i\mathrm{\Delta }{x}_i-\sum f(t_i^{\prime })\mathrm{\Delta }{x}_i\\ & =\sum M_i\mathrm{\Delta }{x}_i-\sum (M_i-\frac{ϵ}{b-a})\mathrm{\Delta }{x}_i\\ & =\sum \left(\frac{ϵ}{b-a}\right)\mathrm{\Delta }{x}_i<ϵ\end{array}$$

類似地：

$$\begin{array}{r}R(f,P,T)-L(f,P)<ϵ\end{array}$$

所以三角不等式一用：

$$\begin{array}{rl}& |U(f,p)-L(f,p)|\\ =& |\underset{<ϵ}{\underbrace{U(f,p)-R(f,P,T^{\prime })}}+R(f,P,T^{\prime })-R(f,P,T)+\underset{<ϵ}{\underbrace{R(f,P,T)-L(f,P)}}|\\ <& ϵ+|R(f,P,T^{\prime })-R(f,P,T)|+ϵ\end{array}$$

另外一方面，假定黎曼可積，因此存在

$I$，使得只要

$\Vert P\Vert$ 夠小，那麼這個

$P$ 下的任意

$T$，包含這邊的

$T$ 跟

$T^{\prime }$，都有：

$$\begin{array}{rl}|R(f,P,T)-I|& <ϵ\\ |R(f,P,T^{\prime })-I|& <ϵ\end{array}$$

所以再用一次三角不等式：

$$\begin{array}{rl}|R(f,P,T^{\prime })-R(f,P,T^{\prime })|& =|R(f,P,T^{\prime })-I+I-R(f,P,T^{\prime })|\\ & <|R(f,P,T^{\prime })-I|+|R(f,P,T)-I|\\ & <2ϵ\end{array}$$

因此，只要

$\Vert P\Vert$ 夠小，就有：

$$|U(f,p)-L(f,p)|<4ϵ$$

「

$\Leftarrow$」

任務是：如果達布可積，那麼對於任意

$ϵ>0$，都存在

$\delta >0$，使得：

$$\Vert P\Vert <\delta \Rightarrow |R(f,P,T)-I|<ϵ$$

套用上面的引理：對於任意

$ϵ$，都存在

$\delta$，使得：

$$\Vert P\Vert <\delta \Rightarrow U(f,P)-L(f,P)<ϵ$$

但：

$$L(f,P)\le R(f,P,T)\le U(f,P)$$

所以就有：

$$U(f,P)-L(f,P)<|R(f,P,T)-I|<ϵ$$