# Darboux Integral

黎曼可積的條件很強：要任意滿足 $\|P\| < \delta$ 的分割 $P$，還要每個分割任取 $T$ 都要對。這件事情的另外一個角度就是這個定義很難用。有一個好一點點的，跟黎曼可積等價的條件，叫做*達布可積*：

## 定義

:::warning
**Def (上和與下和)**
假定 $f$ 是一個 $[a, b]$ 上的有界函數。且：

$$
P = \{x_0 \dots x_n\}
$$

是一個 $[a, b]$ 的 *partition*。則定義 $f$ 在這個分割上的 *upper sum* 為：

$$
U(f, p) = \sum_{i = 1}^n
M_i \Delta x_i
$$

其中：

$$
M_i = \inf _{x \in [x_{i - 1}, x_i]} f(x)
$$

而定義 $f$ 在這個分割上的 *lower sum* 為：

$$
L(f, p) = \sum_{i = 1}^n
m_i \Delta x_i
$$

其中：

$$
m_i = \sup_{x \in [x_{i - 1}, x_i]} f(x)
$$

:::

不難發現：對於某個 *partition* $P$，以及任意的 $T$，都有：

$$
L(f, p) \leq R(f, P, T) \leq U(f, P)
$$

達布可積的直覺像是這樣：如果上和跟下和趨近相同的極限，那麼黎曼和就會被夾在中間而跟著收斂。因此，達布可積的定義：

:::warning
**Def (Darboux Integrable)**
假定 $f$ 是在 $[a, b]$ 間有界的連續函數。定義：
$$
\begin{align}
\overline I &= \inf_{P} U(f, p)\newline
\underline{I} &= \sup_P L(f, P)
\end{align}
$$

假定 $\overline I$ 與 $\underline I$ 滿足：

$$
\overline I = \underline I
$$

則稱 $f$ 在 $[a, b]$ *Darboux Integrable*
:::

這邊 $\overline I$ 跟 $\underline I$ 都是良好定義的。理由是因為： $f$ 有界，所以存在 $M$ ，使得對於任意 $x \in [a, b]$，有：

$$
|f(x)| < M
$$

因此，就可以用這個東西當作上和跟下和的一個上、下界：

$$
-M(b - a) \leq L(f, P) \leq U(f, P) \leq M(b - a)
$$

接著直接套實數完備性，所以就有最小上界跟最大下界。

## 觀察

這個定義看起來還是很長，不過有一些關鍵的觀察：

:::danger
**Observation (達布積分的觀察)**

**點越多，上和越小，下和越大**
假定 $P$, $P'$ 是兩個 $[a, b]$ 的 *partition*，假定 $P'$ 是 $P$ 的 *refinement*，即 $P'$ 的分割點比 $P$ 還要多，則有：
$$
\begin{align}
U(f, P') &\leq U(f, P)\newline
L(f, P') &\geq L(f, P)
\end{align}
$$

**所有的下和都比上和小**
對於任意 $[a, b]$ 的分割 $P, Q$，都有：
$$
L(f, P) \leq U(f, Q)
$$

**下和的上界不大於上和下界**
$$
\underline I \leq \overline I
$$

:::

**++證明：點越多，上和越小，下和越大++**

不失一般性，假定：

$$
P' = P \cup \{x^*\}
$$

其中 $x^*$ 是一個不在 $P$ 裡面的點，並假定這個多出來的分割點 $x^* \in [x_{i - 1}, x_i]$。這個證明的直覺如圖中所描述：


> 雖然看起來很直覺，不過各種上下標寫起來導致這個證明看起來很長。

首先可由
$\sup$ 的性質：

$$
A \subseteq B \Rightarrow \sup A \leq \sup B
$$

以及，若 $A, B \in R$，且 $\lambda > 0$，則：

$$
\sup \lambda A = \lambda \sup A
$$

因此有：

$$
\begin{align}
\sup_{x \in [x_{i - 1}, x^*]} f(x) &\leq \sup_{x \in [x_{i - 1}, x_i]} f(x)\newline
\sup_{x \in [x^*, x_i]} f(x) &\leq \sup_{x \in [x_{i - 1}, x_i]} f(x)\newline
\end{align}
$$

更進一步，考慮加入 $x^* - x_{i - 1} > 0$，且 $x_{i} - x^* > 0$。因為兩者均為正數，故左右同乘後，由上述性質知大小關係仍然相同。把他們塞回 $\sup$ 中。因此：

$$
\begin{align}
\sup_{x \in [x_{i - 1}, x^*]} f(x)(x^* - x_{i - 1}) &\leq \sup_{x \in [x_{i - 1}, x_i]} f(x)(x^* - x_{i - 1})\newline
\sup_{x \in [x^*, x_i]} f(x)(x_i - x^*) &\leq \sup_{x \in [x_{i - 1}, x_i]} f(x)(x_i - x^*)\newline
\end{align}
$$

左右相加。其中，右式因為性質的關係，有：

$$
\begin{align}
&\sup_{x \in [x_{i - 1}, x_i]} f(x)(x^* - x_{i - 1}) + \sup_{x \in [x_{i - 1}, x_i]} f(x)(x_i - x^*)\newline
=&(x^* - x_{i - 1})\sup_{x \in [x_{i - 1}, x_i]} f(x) + (x_i - x^*)\sup_{x \in [x_{i - 1}, x_i]} f(x)\newline
=&(x_i - x_{i - 1})\sup_{x \in [x_{i - 1}, x_i]}f(x) \newline
=&\sup_{x \in [x_{i - 1}, x_i]} f(x)(x_i - x_{i - 1})\newline
\end{align}
$$

故左右相加之後，有：

$$
\begin{align}
\sup_{x \in [x_{i - 1}, x^*]} f(x)(x^* - x_{i - 1}) + \sup_{x \in [x^*, x_i]} f(x)(x_i - x^*) \leq \sup_{x \in [x_{i - 1}, x_i]} f(x)(x_i - x_{i - 1})
\end{align}
$$

因為兩個 *partition* 上下和之差，僅在 $[x_{i - 1}, x_i]$ 有所不同，因此：

$$
\begin{align}
U(f, P) - U(f, P')
=&\sup_{x \in [x_{i - 1}, x_i]} f(x) (x_i - x_{i - 1}) \newline
&- (\sup_{x \in [x_{i - 1}, x^*]} f(x) (x^* - x_{i - 1}) + \sup_{x \in [x^*, x_i]} f(x) (x_i - x^*))\newline
\geq& 0
\end{align}
$$

**++證明：所有的下和都比上和小++**

既然 $P, Q$ 都是 *partition*，且 $P \cup Q$ 同時是 $P, Q$ 的 *refinement*，那麼由前一個觀察可知：

$$
L(f, P) \leq L(f, P\cup Q) \leq U(f, P\cup Q) \leq U(f, Q)
$$

**++證明：下和的上界不大於上和下界++**

由前一個觀察可知：對於任意的 *partition* $P, Q$，有：

$$
L(f, P) \leq U(f, Q)
$$

固定 $Q$，對於任意 $P$，每一個 $U(f, Q)$ 必定是 $L(f, P)$ 的一個上界。因此：

$$
\sup_P L(f, P) \leq U(f, Q)
$$

但這樣就發現 $\sup_P L(f, P)$ 又剛好是個 $U(f, Q)$ 的一個下界，所以相較於 $U(f, Q)$ 的最小下界 $\inf_{Q}U(f, Q)$，有：

$$
\sup_P L(f, P) \leq \inf_{Q}U(f, Q)
$$

而左式跟右式剛好就是 $\underline I$ 跟 $\overline I$ 的定義。故：

$$
\underline I \leq \overline I
$$

## 等價敘述

有了上述這些觀察，就可以將達布積分的條件變成另外一個比較好用的敘述：

:::danger
假定 $f$ 是一個 $[a, b]$ 上的連續函數。那麼：
$$
\begin{align}
&f \text{ Darboux integrable} \iff\newline
&\forall \epsilon > 0.\exists P.U(f, P) - L(f, P) < \epsilon
\end{align}
$$
:::

這個等價敘述的關鍵是「存在」。在黎曼可積的定義中，所有東西都是要求「所有的」東西必須滿足，比如說任何 $\|P\| < \delta$ 的 *partition*、某個 *partition* 下任取的 $T$ 等等。

這件事訴諸於 $\underline I$ 與 $\overline I$ 是某個最大下界與最小上界的本質。對於任意 $\epsilon$，可知：

$$
\begin{align}
\exists P_1&. U(f, P_1) < \overline I + \epsilon \newline
\exists P_2&.\underline I - \epsilon < L(f, P_2)
\end{align}
$$

==$\Rightarrow$==：

這時，取：

$$
P = P_1 \cup P_2
$$

由「達布積分的觀察」可以知道：

$$
\begin{align}
\underline I - \epsilon &< L(f, P_2) \leq L(f, P) \newline
&\leq U(f, P) \leq U(f, P_1) < \overline I + \epsilon
\end{align}
$$

因此：

$$
U(f, P) - L(f, P) < 2 \epsilon
$$

==$\Leftarrow$==：

對於任意 $\epsilon$，都找得到 $P$，使得：

$$
U(f, P) - L(f, P) < \epsilon \Rightarrow U(f, P) < L(f, P) + \epsilon
$$

接著用兩者的最大下界跟最小上界去夾：

$$
\overline I < U(f, P) < L(f, P) + \epsilon < \underline I + \epsilon
$$

因此：

$$
\overline I < \underline I + \epsilon
$$

故：

$$
\overline I - \underline I < \epsilon
$$

因為 $\epsilon$ 是任取的，所以得證 $\underline I = \overline I$。

## 引理

接下來的目標是「達布可積 $\iff$ 黎曼可積」。黎曼本身定義很強，所以推到達布相對容易; 但換句話說，達布推黎曼感覺就會麻煩一些，因為還要對於「任意」$\|P\| < \delta$。在達布可積中也都只有提到「存在」 $P$。所以中間需要一個引理來銜接：

:::danger
**Lemma**
$$
\begin{align}
&f \text{ is Darboux integrable} \iff \newline
&\forall \epsilon > 0.\exists \delta > 0.\|P\| < \delta \Rightarrow U(f, P) - L(f, P) < \epsilon
\end{align}
$$
:::

這個定理中，$\Leftarrow$ 是顯然：因為隨便挑一個 $\|P\| < \delta$ 的 *partition* 就推到達布可積的等價條件了。所以只要證明 $\Rightarrow$ 就好。

給定任何一個 $\epsilon$，達布可積的等價條件保證存在 $P' = \{x_1', x_2' \dots x_{n'}'\}$，使得：

$$
U(f, P') - L(f, P') < \epsilon
$$

給定一個 *partition* $P$。考慮：

$$
P^* = P \cup P'
$$

因為 $P^*$ 是 $P'$ 的 *refinement*，所以有：

$$
L(f, P') \leq L(f, P^*) \leq U(f, P^*) \leq U(f, P')
$$

觀察 $U(f, P)$ 和 $U(f, P^*)$。因為每個 $[x_{i - 1}, x_i]$ 中都可能包含某些 $P'$ 中的點，這些點把每個 $[x_{i-1}, x_i]$ 又再分割成幾個子區間。就令 $[x_{i - 1}, x_i]$ 中的第 $j$ 個區間：

$$
I_{ij} = [x_{i - 1}, x_i] \text{ 中的第 j 個區間}
$$

並且令 $n_i$ 為 $[x_{i - 1}, x_i]$ 中，這樣的子區間的數目; $M_{ij} = \sup_{x \in I_{ij}}f(x)$ 及 $m_{ij} = \inf_{x \in I_{ij}}f(x)$

因此：

$$
\begin{align}
U(f, P) - U(f, P^*) &= \sum_{i = 1}^{n'} M_i \Delta x_i - \sum_{i = 1}^{n'}\sum_{j = 1}^{n_j}M_{ij}\Delta x_{ij}\newline
&= \sum_{i = 1}^{n'}\sum_{j = 1}^{n_j}(M_i - M_{ij})\Delta x_{ij} \newline
& \leq \sum_{i = 1}^{n'}\sum_{j = 1}^{n_j}(2M)\Delta x_{ij} = \sum_{i = 1}^{n'}(2M)\Delta x_{i}
\end{align}
$$

現在宣稱這樣 $\delta$ 是：

$$
\delta = \frac {\epsilon}{n' M}
$$

因為在這樣的狀況下，就有：

$$
U(f, P) - U(f, P^*) \leq \sum_{i = 1}^{n'}(2M)\Delta x_{i} \leq 2 \epsilon
$$

類似地，有：

$$
L(f, P') - L(f, P) \leq 2\epsilon
$$

因此：

$$
\begin{align}
&U(f, P) - L(f, P) \newline
&= \underbrace{U(f, P) - U(f, P^*)}_{\leq\ 2 \epsilon} + U(f, P^*) - L(f, P^*) + \underbrace{L(f, P^*) - L(f, P)}_{\leq\ 2 \epsilon} \newline
&< 5 \epsilon
\end{align}
$$

其中，可以證明 $U(f, P^*) - L(f, P^*) < \epsilon$。因爲 $P^*$ 是 $P'$ 的 *refinement*，因此：

$$
L(f, P') \leq L(f, P^*) \leq U(f, P^*) \leq U(f, P')
$$

但已知：

$$
U(f, P') - L(f, P') < \epsilon
$$

故可知 $U(f, P^*) - L(f, P^*) < \epsilon$。由此得證。

## 與黎曼可積等價

最後，要證明的是：黎曼積分與達布積分等價：

:::danger
假定 $f$ 是 $[a, b]$ 上的連續函數，則：
$$
\begin{align}
&f \text{ is Riemann integrable} \iff \newline
&f \text{ is Darboux integrable}
\end{align}
$$
:::

這個證明中，「$\Rightarrow$」 看起來相對明顯：因為黎曼可積的定義中，保證 *partition pair* 可以任取，因此很直覺可以挑那些包含所有分割中，最大或最小值的點。唯一的問題是：達布積分的定義牽扯到 $\sup$ 與 $\inf$，而這些上界與下界並不總是在函數的值域中，所以要動一些手腳來解決這個小問題。

「==$\Rightarrow$==」：

假定黎曼可積，也就是對於任意 $\epsilon$，都存在 $\delta > 0$，使得：

$$
\|P\| < \delta \Rightarrow |R(f, P, T) - I| < \epsilon
$$

關鍵細節是：$\sup$ 跟 $\inf$ 不一定會在裡面。所以要動一點手腳。

對於任意 $[x_{i - 1}, x_i]$，取 $t_i \in [x_{i - 1}, x_i]$，使得：

$$
f(t_i) < m_i + \frac {\epsilon}{b - a}
$$

這樣的 $t_i$ 一定存在，因為 $m_i$ 是 $\inf$。類似地，取 $t_i \in [x_{i - 1}, x_i]$，使得：

$$
M_i - \frac {\epsilon}{b - a} < f(t_i')
$$

這時：

$$
\begin{align}
U(f, p) - R(f, P, T') &= \sum M_i \Delta x_i - \sum f(t_i') \Delta x_i \newline
&= \sum M_i \Delta x_i - \sum \left(M_i - \frac {\epsilon}{b - a}\right)\Delta x_i \newline
&= \sum \left(\frac {\epsilon}{b - a}\right) \Delta x_i < \epsilon
\end{align}
$$

類似地：

$$
\begin{align}
R(f, P, T) - L(f, P) < \epsilon
\end{align}
$$

所以三角不等式一用：

$$
\begin{align}
&|U(f, p) - L(f, p)| \newline
=& |\underbrace{U(f, p) - R(f, P, T')}_{< \epsilon} + R(f, P, T') - R(f, P, T) + \underbrace{R(f, P, T) - L(f, P)}_{< \epsilon}|\newline
<& \epsilon + |R(f, P, T') - R(f, P, T)| + \epsilon
\end{align}
$$

另外一方面，假定黎曼可積，因此存在 $I$，使得只要 $\|P\|$ 夠小，那麼這個 $P$ 下的任意 $T$，包含這邊的 $T$ 跟 $T'$，都有：

$$
\begin{align}
|R(f, P, T) - I| &< \epsilon\newline
|R(f, P, T') - I| &< \epsilon\newline
\end{align}
$$

所以再用一次三角不等式：

$$
\begin{align}
|R(f, P, T') - R(f, P, T')| &= |R(f, P, T') - I + I - R(f, P, T')| \newline
&< |R(f, P, T') - I| + |R(f, P, T) - I| \newline
&< 2\epsilon\newline
\end{align}
$$

因此，只要 $\|P\|$ 夠小，就有：

$$
|U(f, p) - L(f, p)| < 4\epsilon
$$

「==$\Leftarrow$==」

任務是：如果達布可積，那麼對於任意 $\epsilon > 0$，都存在 $\delta > 0$，使得：

$$
\|P\| < \delta \Rightarrow |R(f, P, T) - I| < \epsilon
$$

套用上面的引理：對於任意 $\epsilon$，都存在 $\delta$，使得：

$$
\|P\| < \delta \Rightarrow U(f, P) - L(f, P) < \epsilon
$$

但：

$$
L(f, P) \leq R(f, P, T) \leq U(f, P)
$$

所以就有：

$$
U(f, P) - L(f, P) < |R(f, P, T) - I| < \epsilon
$$