分析一：Extended Real

• 分析一：Extended Real
  • 定義：擴展實數
  • 定義：擴展實數的拓樸
  • 定義：擴展實數的加法
    • 觀察：擴展實數加法是可測映射
  • 定義：擴展實數的乘法
    • 1. 有人是實數零
    • 2. 前項是非零實數
    • 3. 前項不是實數

定義：擴展實數

擴展實數是由 2 個不在

$\mathbb{R}$ 中的元素

$\{a,a^{\prime }\}$ 跟實數形成的集合：

$$\overline{\mathbb{R}}=\{a,a^{\prime }\}\cup \mathbb{R}$$

有的時候會用

$\mathrm{\infty }$ 這個符號表示

$a$，用

$-\mathrm{\infty }$ 來表示

$-a$。

定義：擴展實數的拓樸

定義一個下面這樣的函數：

$$f:\bar{\mathbb{R}}\to [-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$$

其中：

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}\arctan (x)& \text{if }x\in \mathbb{R}\\ \\ {\displaystyle \frac{\pi }{2}}& \text{if }x=a\\ \\ -{\displaystyle \frac{\pi }{2}}& \text{if }x=a^{\prime }\end{array}$$

擴展實數的拓樸是用使

$f$ 為 homeomorphism 的最粗拓樸。

定義：擴展實數的加法

定義

${\mathrm{\Omega }}_{+}$ 為以下集合：

$${\mathrm{\Omega }}_{+}=\bar{\mathbb{R}}\times \bar{\mathbb{R}}\setminus \{(a,a^{\prime }),(a^{\prime },a)\}$$

則擴展實數的加法定義為以下映射：

$$+:{\mathrm{\Omega }}_{+}\to \bar{\mathbb{R}}$$

其中：

$$(x,y)\mapsto \{\begin{array}{ll}a& \text{if }x=a\text{ or }y=a\\ a^{\prime }& \text{if }x=a^{\prime }\text{ or }y=a^{\prime }\\ x{+}_{\mathbb{R}}y& \text{otherwise}\end{array}$$

觀察：擴展實數加法是可測映射

在所有拓樸都取 Borel Algebra 的狀況下，擴展實數的加法是個可測映射。

這邊的「所有拓樸都用 Borel Algebra」意思是

$\bar{\mathbb{R}}$ 就用

${\mathcal{B}}_{\bar{\mathbb{R}}}$，而

${\mathrm{\Omega }}_{+}$ 就是從

${\mathcal{B}}_{\bar{\mathbb{R}}\times \bar{\mathbb{R}}}$ 繼承的 trace sigma algebra。除此之外，因為

$\bar{\mathbb{R}}$ 是 second countable，所以有：

$${\mathcal{B}}_{\bar{\mathbb{R}}\times \bar{\mathbb{R}}}={\mathcal{B}}_{\bar{\mathbb{R}}}⊠{\mathcal{B}}_{\bar{\mathbb{R}}}$$

也就是從那個所有開集構成的 rectangle 所形成的 sigma algebra 繼承的 sigma algerba。

定義：擴展實數的乘法

$$\times :\bar{\mathbb{R}}\times \bar{\mathbb{R}}\to \bar{\mathbb{R}}$$

1. 有人是實數零

首先是一個測度論上為了討論方便定義的：

$0$ 乘上任何東西都是

$0$。也就是對於任意

$x,y\in \bar{\mathbb{R}}$，定義：

$$(0,y)\to 0$$

以及：

$$(x,0)\to 0$$

2. 前項是非零實數

接著，假定

$x$ 不為

$0$，則依照裡面有沒有無限大來決定。如果沒有人是無窮，那麼擴展實數中的運算直接採用實數中的運算; 而如果有人是無窮，那麼看他是哪個無窮，就變成哪個無窮。即：若

$x\in \bar{\mathbb{R}}\setminus \{0\}$; 則：

$$(x,y)\to \{\begin{array}{ll}a& \text{if }y=a\\ a^{\prime }& \text{if }y=a^{\prime }\\ x{\times }_{\mathbb{R}}y& \text{otherwise}\end{array}$$

3. 前項不是實數

最後，若

$x=a$ 或

$x=a^{\prime }$，則依照

$y$ 中的元素是實數或無窮來決定：

$$\begin{array}{rl}(a,y)& \to \{\begin{array}{ll}a& \text{if }y\in \mathbb{R}\setminus \{0\}\\ a& \text{if }y=a\\ a^{\prime }& \text{if }y=a^{\prime }\end{array}\\ \\ (a^{\prime },y)& \to \{\begin{array}{ll}{a}^{\prime }& \text{if }y\in \mathbb{R}\setminus \{0\}\\ a^{\prime }& \text{if }y=a\\ a& \text{if }y=a^{\prime }\end{array}\end{array}$$