# 分析一：Extended Real

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## 定義：擴展實數

擴展實數是由 2 個不在 $\Bbb R$ 中的元素 $\{a, a'\}$ 跟實數形成的集合：

$$
\bar {\Bbb R} = \{a, a'\} \cup \Bbb R
$$

有的時候會用 $\infty$ 這個符號表示 $a$，用 $-\infty$ 來表示 $-a$。

## 定義：擴展實數的拓樸

定義一個下面這樣的函數：

$$
f: \overline{\Bbb R} \to [-\frac {\pi}{2}, \frac {\pi}{2}]
$$

其中：

$$
f(x) =
\begin{cases}
\arctan (x) & \text{if } x \in \Bbb R
\newline
\newline
\dfrac {\pi}{2} & \text{if }x = a
\newline
\newline
-\dfrac {\pi}{2} & \text{if }x = a'
\end{cases}
$$

擴展實數的拓樸是用使 $f$ 為 *homeomorphism* 的最粗拓樸。

## 定義：擴展實數的加法

:::warning

定義 $\Omega_{+}$ 為以下集合：

$$
\Omega_{+} = \overline{\Bbb R} \times \overline{\Bbb R} \setminus \{(a, a'), (a', a)\}
$$

則擴展實數的加法定義為以下映射：

$$
{+}: \Omega_{+} \to \overline{\Bbb R}
$$

其中：

$$
(x, y) \mapsto \begin{cases}
a & \text{if }x = a \text{ or }y = a
\newline
a' & \text{if }x = a' \text{ or }y = a'
\newline
x +_{\Bbb R} y & \text{otherwise}
\end{cases}
$$

:::

### 觀察：擴展實數加法是可測映射

:::danger

在所有拓樸都取 *Borel Algebra* 的狀況下，擴展實數的加法是個可測映射。

:::

這邊的「所有拓樸都用 *Borel Algebra*」意思是 $\overline{\Bbb R}$ 就用 $\mathcal B_\overline{\Bbb R}$，而 $\Omega_{+}$ 就是從 $\mathcal B_{\overline{\Bbb R} \times \overline{\Bbb R}}$ 繼承的 *trace sigma algebra*。除此之外，因為 $\overline{\Bbb R}$ 是 *second countable*，所以有：

$$
\mathcal B_{\overline{\Bbb R} \times \overline{\Bbb R}} = \mathcal B_\overline{\Bbb R} \boxtimes \mathcal B_\overline{\Bbb R}
$$

也就是從那個所有開集構成的 *rectangle* 所形成的 *sigma algebra* 繼承的 *sigma algerba*。

## 定義：擴展實數的乘法

$$
{\times}: \overline{\Bbb R} \times \overline{\Bbb R} \to \overline{\Bbb R}
$$

### 1. 有人是實數零

首先是一個測度論上為了討論方便定義的：$0$ 乘上任何東西都是 $0$。也就是對於任意 $x, y \in \overline{\Bbb R}$，定義：

$$
(0, y) \to 0
$$

以及：

$$
(x, 0) \to 0
$$

### 2. 前項是非零實數

接著，假定 $x$ 不為 $0$，則依照裡面有沒有無限大來決定。如果沒有人是無窮，那麼擴展實數中的運算直接採用實數中的運算; 而如果有人是無窮，那麼看他是哪個無窮，就變成哪個無窮。即：若 $x \in \overline{\Bbb R} \setminus \{0\}$; 則：

$$
(x, y) \to \begin{cases}
a &\text{if }y = a
\newline
a' & \text{if }y = a'
\newline
x \times_{\Bbb R} y & \text{otherwise}
\end{cases}
$$

### 3. 前項不是實數

最後，若 $x = a$ 或 $x = a'$，則依照 $y$ 中的元素是實數或無窮來決定：

$$
\begin{align}
(a, y) &\to \begin{cases}
a & \text{if }y \in \Bbb R\setminus\{0\}
\newline
a & \text{if }y = a
\newline
a' & \text{if }y = a'
\end{cases}
\newline
\newline
(a', y) &\to \begin{cases}
a' & \text{if }y \in \Bbb R \setminus \{0\}
\newline
a' & \text{if }y = a
\newline
a & \text{if }y = a'
\end{cases}
\end{align}
$$