Metric Space - Basics

定義

Def (Metric Space)
一個 metric space 是一個集合

$M$ 跟一個 metric function

$d:M\times M\to \mathbb{R}$ 組成。其中，metric function 是指對於任意

$x,y,z\in M$，滿足以下性質的函數：

1. 半正定：

$$d(x,y)\ge 0$$

且：

$$d(x,y)=0⟺x=y$$

2. 對稱性：

$$d(x,y)=d(y,x)$$

3. 三角不等式：

$$d(x,z)\ge d(x,y)+d(y,z)$$

這樣的一個空間，如果隨便抓一個子集合

$S\subset M$，配上相同的 metric function

$d$ 的話，也可以構成一個 metric space。因為對於任意

$x,y,z\in S$，都有

$x,y,z\in M$，然後

$M$ 中的元素會對的那些性質就會跟著繼承給

$x,y,z$。因此可以定義「子空間」：

Def (Metric Subspace)
假定

$(S,d)$ 是一個 metric sapce 且

$S\subset M$，則

$(S,d)$ 也是一個 metric space。並且稱

$(S,d)$ 為

$M$ 一個 metric subspace。

更精確地說，應該要說

$(S,d_S)$ 是個 metric space，其中

$d_S$ 是

$d$ 在

$S$ 上的 restriction。