# Metric Space - Basics

## 定義

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**Def (Metric Space)**
一個 *metric space* 是一個集合 $M$ 跟一個 *metric function* $d : M\times M \to \mathbb R$ 組成。其中，*metric function* 是指對於任意 $x, y, z \in M$，滿足以下性質的函數：

++1. 半正定++：
$$
d(x, y) \geq 0
$$

且：

$$
d(x, y) = 0 \iff x = y
$$

++2. 對稱性++：

$$
d(x, y) = d(y,x)
$$

++3. 三角不等式++：

$$
d(x, z) \geq d(x, y) + d(y, z)
$$
:::

這樣的一個空間，如果隨便抓一個子集合 $S \subset M$，配上相同的 *metric function* $d$ 的話，也可以構成一個 *metric space*。因為對於任意 $x, y, z \in S$，都有 $x, y, z \in M$，然後 $M$ 中的元素會對的那些性質就會跟著繼承給 $x, y, z$。因此可以定義「子空間」：

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**Def (Metric Subspace)**
假定 $(S, d)$ 是一個 *metric sapce* 且 $S \subset M$，則 $(S, d)$ 也是一個 *metric space*。並且稱 $(S, d)$ 為 $M$ 一個 *metric subspace*。
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> 更精確地說，應該要說 $(S, d_S)$ 是個 *metric space*，其中 $d_S$ 是 $d$ 在 $S$ 上的 *restriction*。
>