# Metric Space - Compactness (Part 3)

這邊主要討論的是定在 *metric space* 中的 *compact set* 上的函數，特別是連續函數，會有什麼樣的行為。

## 連續函數保緊緻

:::danger
**Thm (連續函數保緊緻)**
假定 $M, N$ 是 *metric space*，且 $f : M \to N$ 是連續的。假定 $A \subset M$，則：

$$
\begin{align}
A \ \mathbf{compact} \Rightarrow
f(A)\ \mathbf{compact}
\end{align}
$$
:::

證明是把像上面的序列拉回定義域，因為定義域 *comapct* ，加上連續函數保序列收斂，所以就證明完了。

假定有一個序列 $\{b_n\} \subset f(A)$。既然 $f(A)$ 裡面的東西都是被 $f$ 從 $A$送過去的，那就可以找到 $\{p_n\} \subset A$，使得 $f(p_n) = b_n$ (儘管 $f$ 未必是 *bijection*，所以對於 $b_n$，這樣的 $p_n$ 未必唯一。但這時無妨，隨便取一個能使 $f(p_n) = b_n$ 的 $p_n$ 就好)。

這個 $\{p_n\} \subset A$ 因為 $A$ *compact*，所以存在收斂子序列 $\{p_{n_k}\}$，而且他收斂到的點 $p$ 還會在 $A$ 中，因為 $A$ *compact* 表示 $A$ *closed*，所以就包含自己序列的所有收斂點。

但用 $f$ 把這個收斂的子序列送過去變成 $\{f(p_{n_k})\}$ 時，因為他的取法的關係，$f(p_{n_k})$ 根本就是 $\{b_{n}\}$ 的子序列：

$$
b_n = f(p_n) \Rightarrow \{f(p_{n_k})\} = \{b_{n_k}\} \subset \{b_n\}
$$

更進一步， $\{b_{n_k}\} = \{f(p_{n_k})\}$ 還會收斂。這是因為 $f$ 連續，而且 $\{p_{n_k}\}$ 收斂。「連續函數保收斂」，所以 $\{f(p_{n_k})\}$ 也會收斂：

$$
p_{n_k} \to p \in A \Rightarrow f(p_{n_k}) = b_{n_k} \to f(p)
$$

最後一個問題： $f(p)$ 有沒有在 $f(A)$ 裡面？答案是有，因為 $p \in A$，所以很明顯 $f(p) \in f(A)$。因此，就找到了從任意 $\{b_n\} \subset f(A)$ 找到收斂子序列的方法，所以得證 $f(A)$ *compact*。

這個結論可以得到：

:::danger
**Corollary**
假定 $M$ 是一個 *metric space*，且 $f : M \to \mathbb R$ 是個連續函數。假定 $A \subset M$ 是 *compact* 的集合，則：

**1. 連續函數的像有界**：
$$
f(A) \text{ is } \mathbf{bounded}
$$

**2. 像的最小上界在自己裡面**：
$$
\exists a \in A.f(a) = \sup f(A)
$$

**3. 像的最大下界在自己裡面**：
$$
\exists a' \in A.f(a') = \inf f(A)
$$
:::

$f(A)$ 是 *comapct*，因為 *compact* 的集合必定 *bounded*，所以他就 *bounded*。

而因為 $f(A)$ 是實數中的集合，而且又有界，所以根據實數完備性就有最小上界：

$$
M = \sup f(A)
$$

由最小上界的性質知道：對於任意小的 $\epsilon > 0$，$(M - \epsilon, M)$ 都一定會包到某個原集合 $f(A)$ 中的元素。所以令：

$$
\epsilon_n = \frac {1}{n}
$$

以及序列 $\{x_n\} \subset A$。其中 $x_n$ 滿足：

$$
f(x_n) \in (M - \epsilon_n, M) \cap f(A)
$$

這時，$f(x_n)$ 跟 $M$ 可以任意近。因為給定任意 $\epsilon > 0$，當 $n$ 大到 $n\epsilon > 1$ 時：

$$
|f(x_n) - M| < \frac {1}{n} < \epsilon
$$

所以 $f(x_n)$ 收斂到 $M$。這時再用 $A$ *compact* 去取 $\{x_n\}$ 的收斂子序列 $\{x_{n_k}\}$。並且假定他收斂到 $\tilde x$：

$$
x_{n_k} \to \tilde{x} \in A
$$

更進一步，因為 $A$ *compact*，所以這個 $\{x_{n_k}\} \subset A$ 收斂到的點 $\tilde{x} \in A$。

接下來再把整個數列用 $f$ 送過去變成 $\{f(x_{n_k})\}$。很明顯他是 $\{f(x_n)\}$ 的子序列，所以也收斂到 $M$，也就是：

$$
f(x_{n_k}) \to M
$$

但另外一方面 $f$ 連續，所以他保證了：

$$
x_{n_k} \to \tilde{x} \Rightarrow f(x_{n_k}) \to f(\tilde{x})
$$

利用 *metric space* 上極限唯一，知道「子序列收斂」跟「連續函數性質保證的收斂」會收到同一個地方：

$$
f(x_{n_k}) \to f(\tilde{x}) = M
$$

然後 $\tilde{x}$ 又在 $A$ 中 (因為 $A$ *closed*)，所以得證。

> 最大下界的證明方式類似，只是把 $(M-\epsilon_n, M)$ 換成 $(m, m + \epsilon_n)$，其中 $m = \inf f(A)$。不過因為只有這點有差，所以懶得得打
> [color=black]

:::danger
**Corollary**

假定 $M, N$ 是 *metric space*，且 $M$ *compact*。則若 $M$ 跟 $N$ 之間是 *homeomorphic*，則 $N$ 也 *compact*。
:::

因為 *homeomorphism* 是連續函數，假定他叫 $f:M\to N$。因為 *homeomorphism* 依照定義一定要 *bijection*，所以也一定要 *onto*，因此 $f(M) = N$。但 $M$ 又 *compact*，所以「連續函數保 *compact*」就讓 $N$ 也 *compact* 了。

## 緊緻升級 Homeomorphism

:::danger
**Thm**
假定 $M, N$ 是 *metric space*，且 $f : M \to N$ 是連續且 *bijective*。那麼：

$$
M \ \mathbf{compact} \Rightarrow f^{-1} \ \mathbf{continuous}
$$

換句話說：*compact set* 上的連續雙射會自動「升級」變成 *homeomorphism*。
:::

這個其實非常簡單。假定 $K \subset M$ 是閉集，目標就是： ${\left(f^{-1}\right)}^{pre}(K)$ 是個閉集。但因為 $f$ 是 *bijection*，所以這個「反函數的 *preimage*」就剛好是「原函數把 $K$ 送過去的那個像」，也就是：

$$
{\left(f^{-1}\right)}^{pre}(K) = f(K)
$$

然後用上面的定理， $K$ 是 *compact set* $M$ 中的閉集，所以 $K$ 也 *compact*。連續函數保 *compact*，所以 $f(K)$ 也 *compact*，但 $K$ *compact* 表示 $K$ 是 *closed*，所以就知道：

$$
{\left(f^{-1}\right)}^{pre}(K) = f(K)\ \mathbf{closed}
$$

但上面這件事情就是在說：$f^{-1}$ 值域中的任何閉集 $K$ 的 *preimage* 都是 *closed*，所以 $f^{-1}$ 就連續了。

## 緊緻升級均勻

:::danger
**Thm**
假定 $M, N$ 是 *metric space*。若 $f : M \to N$ 是連續的，則：

$$
M \ \mathbf{compact} \Rightarrow f \ \mathbf{uniformly}\ \mathbf{continuous}
$$

:::

假定沒有，就表示存在一個 $\epsilon$，使得任意 $\delta_n > 0$，都存在 $x_n, y_n \in M$，使得：

$$
d_M(x_n, y_n) < \delta_n
$$

且：

$$
d_N(f(x_n), f(y_n)) \geq \epsilon
$$

老樣子用把 $\delta_n$ 嚴格遞減那招。令：

$$
\delta_n = \frac {1}{n}
$$

接著，利用 $M$ *compact*，從 $\{x_n\}$ 這個序列挑一個收斂子序列出來，並且假定這個子序列 $\{x_{n_k}\}$ 收斂到 $x$。到這邊為止，除了 $x_{n_k} \to x$ 之外，更進一步還可以推論：$y_{n_k}$ 也收斂到 $x$。這是因為三角不等式有：

$$
d(y_{n_k}, x) = d(y_{n_k}, x_{n_k}) + d(x_{n_k}, x)
$$

當 $k$ 夠大時，比如說當 $n_k \cdot \epsilon' > 1$ 時有辦法使 $d(y_{n_k}, x_{n_k})$ 任意小：

$$
d(y_{n_k}, x_{n_k}) < \frac {1}{n_k} < \epsilon'
$$

另外一方面，因為 $x_{n_k} \to x$，所以當 $k$ 夠大時，也有辦法使：

$$
d(x_{n_k}, x) < \epsilon'
$$

因此取兩個 $k$ 中比較大的那個，就可以同時使上面兩個成立。這時再丟回三角不等式，就有：

$$
d(y_{n_k}, x) = d(y_{n_k}, x_{n_k}) + d(x_{n_k}, x) < 2\epsilon'
$$

所以就證明了：

$$
y_{n_k} \to x
$$

但這樣的問題就是，$x_{n_k} \to x$ 且 $y_{n_k} \to x$，就表示當 $k$ 夠大時，$d(x_{n_k}, x)$ 跟 $d(y_{n_k}, x)$ 均可以任意小。但三角不等式用下去，就會跟前面 $d(x_{n_k}, y_{n_k}) \geq \epsilon$ 矛盾。

比如說，當 $k$ 夠大時，能使 $d(x_{n_k}, x) < \epsilon / 4$ 且 $d(x, y_{n_k}) < \epsilon/4$。但這時就會有：

$$
d(x_{n_k}, y_{n_k}) \leq d(x_{n_k}, x) + d(x, y_{n_k}) < \frac {\epsilon}{2}
$$

但前面又說：

$$
d(x_{n_k}, y_{n_k}) \geq \epsilon
$$

然後就矛盾了。