# Topological Space - Compactness (Open Cover)
在一般的 *topological space* 上也可以定義 *compact*，不過這個定法並不是用收斂子序列去定義，而是使用一個叫做 *open cover* 的概念。而可以證明：這樣定義出來的 *compact* 在 *metric space* 中會等價於那個「集合中任意數列存在收斂子序列」的定義。在這之前，要先定義什麼是 *open cover*
## Open Cover
:::warning
**Def (Open Cover)**
假定 $X$ 是一個拓樸空間。
++**1. Open Cover：**++
若一個由 $X$ 中的開集組成的 *collection* $\mathfrak U$：
$$
\mathfrak U = \{u_i\}
$$
能使 $X$ 被包在 $\mathfrak U$ 裡面所有開集的聯集中，即：
$$
X \subseteq \bigcup_{u_i \in \mathfrak u}u_i
$$
那麼就稱 $\mathfrak U$ 是一個 $X$ 的 *open cover*。
++**2. Subcover：**++
若 $\mathfrak U$ 與 $\mathfrak U'$ 都是 $X$ 的 *open cover*，且：
$$
\frak{U'} \subseteq \frak{U}
$$
則稱 $\frak{U'}$ 是一個 $\frak U'$ 的 *subcover*。更進一步，若 $\frak U'$ 中的集合個數是有限的，那麼就稱 $\frak U'$ 是一個 $\frak U$ 的 *finite subcover*。
:::
## Compact (Open Cover)
:::warning
**Def (Compact)**
假定 $X$ 是一個拓樸空間。若對於「任意」 $X$ 的 *open cover* $\frak U$，都存在 *finite subcover*，即：
$$
\begin{align}
&\forall \text{ open cover } \mathfrak{U}.\exists \mathfrak U'\subseteq \frak U.
\newline
& \quad X \subseteq \bigcup_{u' \in \mathfrak U'} u' \text{ and } |\mathfrak{U'}| < \infty
\end{align}
$$
那麼就稱 $X$ 為 *compact*。
:::
這個定義最重要的是「對於任意」 *open cover*。因為有限的 *open cover* 很好找，比如依照拓樸的定義，整個空間一定是個開集，所以一定蓋的住所有這個空間的集合，而且這樣的 *open cover* 就只有他自己一個集合，所以有限。因此，集合存在一個有限的 *open cover* 一點也不足為奇。「任何」 *open subcover* 都能化為有限數目的 *open cover* 才是重點。
## 性質
### 收斂數列 + 收斂點 = 緊緻
:::danger
**Thm (數列跟收斂點)**
假定 $X$ 是一個拓樸空間，$\{x_i\}_{i = 1}^{\infty} \subseteq X$ 是個序列。且 $x_n \to p$，那麼：
$$
\{x_i\}_{i = 1}^{\infty} \cup \{p\}
$$
是一個 *compact* 的集合。
:::
關鍵是收斂的定義。假定現在有一個 *open cover* $\mathfrak U = \{u_i\}$。既然這是「數列與收斂點」的 *open cover*，那麼這些開集當中，至少有一個開集包住那個收斂點 $p$。假定這個開集叫做 $u_p$，由收斂的定義：對於任意一個 $p$ 的鄰域，都存在一個 $N$，使得數列第 $N$ 項之後，所有東西都會落在這個鄰域裡：
$$
n > N \Rightarrow x_n \in u_p
$$
所以 $x_N$ 之後的 $x_i$ 就都被包在裡面了。至於 $x_1 \dots x_N$，既然他們也被 $\mathfrak U$ 蓋到，所以取 $\mathcal U$ 中蓋到他們的開集 $u_1 \dots u_N$，其中：
$$
x_i \in u_i\quad \forall i = 1 \dots N
$$
這樣一來，$u_1 \dots u_N$ 及 $u_p$ 就構成了一個 $\mathfrak U$ 的 *finite subcover*。因為 $x_1 \in u_1$...$x_N \in u_N$，而所有 $n > N$ 的 $x_N$ 都在 $u_p$ 裡面。
### 連續函數保緊緻
:::danger
**Thm (連續函數保緊緻)**
假定 $X, Y$ 是拓樸空間，且 $f : X \to Y$ 是 *continuous*，那麼：
$$
X \mathbf{\ compact} \Rightarrow f(X)\mathbf{\ compact}
$$
:::
假定有一個 $f(X)$ 的 *open cover*
$$
\mathcal V = \{v_i\}
$$
用連續的定義，把裡面所有東西送回 $X$ 中。因為每個 $v_i$ 都是開集，依照連續的定義，每個 $f^{pre}(v_i)$ 也都是開集。更進一步，既然 $\mathcal V$ 是 $f(X)$ 的 *cover*，那麼任意 $x \in X$，都存在某個 $v \in \mathcal V$，使得 $f(x) \in v$，或說：
$$
\begin{align}
\forall &x \in X.\exists v \in \mathcal V.
\newline
&f(x) \in v \Rightarrow x \in f^{pre}(v)
\end{align}
$$
這也就是說，所有的 $\mathcal V$ 中集合的 *preimage* 構成了一個 $X$ 的 *open cover*。令其為 $\mathfrak {U}$：
$$
\mathfrak {U} = \{f^{pre}(v_i):v_i \in \mathcal V\}
$$
$\mathfrak {U}$ 構成了 $X$ 的一個 *open cover*。但 $X$ *compact*，所以存在一個 $\mathfrak {U}$ 的 *finite cover* $\mathfrak {U}'$：
$$
\mathfrak {U}' = \{f^{pre}(v_1'), f^{pre}(v_2') \dots f^{pre}(v_N')\} \subseteq \mathcal V
$$
使得：
$$
X \subseteq \bigcup_{f^{pre}(v') \in \mathfrak {U}'}f^{pre}(v')
$$
把左右同時用 $f$ 送過去，就得到：
$$
f(X) \subseteq \bigcup_{f^{pre}(v') \in \mathfrak {U}'}v'
$$
### 緊緻 + 不相交 = 不連通
:::danger
**Thm**
假定 $X$ 是一個 *Hausdorff space*，且 $S, T$ 是兩個沒有交集：
$$
\begin{align}
S \cap T = \phi
\end{align}
$$
且緊緻：
$$
S, T \mathbf{\ compact}
$$
的集合。則存在不相交的開集 $U, V$，使得 $S \subseteq U$, $T \subseteq V$。即：
$$
\begin{align}
\exists &\mathbf{\ open } \text{ set }U, V.
\newline
& S \subseteq U \text{ and }
\newline
& T \subseteq V \text{ and }
\newline
& U \cap V = \phi
\end{align}
$$
:::
這個證明做法就是迴圈跑兩層：外面那層跑遍 $S$ 的元素; 而裡面那層則是對於每一個 $S$ 中元素，跑遍 $T$ 中的元素做。這個結構有點像是：
```c=
(for s in S) {
(for t in T) {
/* ... */
}
/*...*/
}
```
首先，先做內層的。也就是箭頭指的地方：
```c=
(for s in S) {
→ (for t in T) {
/* ... */
}
/* ... */
}
```
固定 $S$ 中的元素 $s$。因為 *Hausdorff*，對於任意 $t \in T$，都存在開集 $u_{st}$ 與 $v_{st}$，使得 $s \in u_{st}$, $v \in v_{st}$，且兩者沒有交集：
$$
u_{st} \cap v_{st} = \phi
$$
因此，若令：
$$
\mathcal {V}_s = \{v_{st}\}_{t \in T}
$$
既然 $t$ 跑遍所有 $T$ 中的元素， $\mathcal V_s$ 裡面的成員又都是開集，所以 $\mathcal V_s$ 就構成了一個 $T$ 的 *open cover*。又因為 $T$ *compact*，所以 $\mathcal V_s$ 這個 $T$ 的 *open cover* 就存在 *finite subcover* $\mathcal V'_s$：
$$
\mathcal V'_s = \{v_{st_1}, v_{st_2} \dots v_{st_n}\}.
$$
另外一方面，從這個有限的 $\mathcal V'_s$ 中，可以反找出裡面每一個 $v_{st_1} \dots v_{st_N}$ 所對應的 $u_{st_1} \dots v_{st_n}$，也就是對應使 $(v_{st_i} \cap u_{st_i})$ = $\phi$ 的 $u_{st_i}$。這樣的好處是：這些 $u_{st_i}$ 的數目是有限的，(因為是從 $v_{st_i} \in \mathcal V'_s$ 反找的，而 $\mathcal V's$ 有限)，而有限數目的開集，其交集還是開集。所以如果令：
$$
\begin{align}
u_s &= \bigcap_{i = 1}^n u_{st_i}
\newline
V_s &= \bigcup_{i = 1}^nv_{st_i}
\end{align}
$$
這樣一來，$u_s$ 與 $V_s$ 分別是有限開集的聯集跟交集，所以仍然是開集。而且 $T \subseteq V_s$，因為 $V_s$ 根本只是把 $T$ 的 *open cover* $\mathcal V$ 找到的 *finite subcover* $\mathcal V'$ 聯集起來。另外還有 $s \in u_s$，因為：
$$
\begin{align}
s &\in u_{st_i}
\newline
s &\in \underbrace{\left(\bigcap_{i = 1}^n u_{st_i}\right)}_{u_s}
\end{align}
$$
最後，有 $u_s \cap V_s = \phi$。這其實也滿顯然，因為對於任意 $i = 1 \dots n$，有：
$$
\begin{align}
u_{st_i} \cap v_{st_i} &= \phi
\newline
\Rightarrow\left(\bigcap u_{st_i}\right)\cap v_{st_i} &= \phi
\newline
\Rightarrow \underbrace{\left(\bigcap u_{st_i}\right)}_{u_s}\cap \underbrace{\left(\bigcup v_{st_i}\right)}_{V_s} &= \phi
\newline
\end{align}
$$
可以觀察到：交集跟聯集的部分正是 *compact* 的關鍵所在：如果 $u_{st_i}$ 不是有限個，這無限數目的開集交集起來之後，就無法保證仍然為開集。而能使他們化為有限個開集的關鍵，正是 $T$ 是 *compact*。
現在，換成對每個 $s$，重複上面的動作。也就是外圈的部分：
```C=
→ (for s in S) {
(for t in T) {
// find u_st, v_st
// finite subcover of T
// finite union and intersect
// get u_s and V_s
}
// find u_st, V_t
// finite subcover of S
// finite union and intersect
// find U and V
}
```
所有這樣找到的 $u_s$ 與 $V_s$ 中，這所有的 $u_s$ 又構成一個 $S$ 的 *open cover* $\mathcal U$。令其為：
$$
\mathcal U = \{u_s\}_{s \in S}
$$
類似地，因為 $S$ *compact*，所以這所有 $u_s$ 構成的 $\mathcal U$ 可以簡化成一個 *finite subcover* $\mathcal U'$。令其為：：
$$
\exists \mathcal U' = \{u_{s_1} \dots u_{s_m}\}. \mathcal U' \subseteq \mathcal U
$$
反找出這些 $u_{s_1} \dots u_{s_m}$ 所對應的 $V_{s_1} \dots V_{s_m}$，並且令：
$$
\begin{align}
V &= \bigcap_{i = 1}^m V_{s_i}
\newline
U &= \bigcup_{i = 1}^m u_{s_i}
\end{align}
$$
首先，因為 $\mathcal U'$ 是 $\mathcal U$ 的 *finite subcover*，而 $\mathcal U$ 又是 $S$ 的 *open cover*，所以很明顯：
$$
S \subseteq U = \bigcup_{i = 1}^m u_{s_m}
$$
並且因為 $u_{s_m}$ 是從 *open cover* 找出來的，所以都是開集。而因此 $U$ 又是有限個開集的聯集，所以 $U$ 是個開集。類似地，因為每個 $V_{s_m}$ 都是開集，所以 $V$ 也是個開集。更進一步，$(U \cap V) = \phi$，這是因為：前面找 $V_s$ 時，每一個 $V_s$ 都有 $T \subseteq V_{s}$ 及 $T \subseteq V_{s}$：
$$
\begin{align}
T &\subseteq V_s
\newline
u_s &\cap V_s = \phi
\end{align}
$$
而 $V_{s_m}$ 又是從所有 $V_s$ 挑出來的，所以對於任何 $s_m$，當然也有：
$$
\begin{align}
T &\subseteq V_{s_m}
\newline
u_{s_m} &\cap V_{s_m} = \phi
\end{align}
$$
因此：
$$
\begin{align}
T & \subseteq V_{s_m}
\newline
& \quad \Rightarrow T \subseteq \left(\bigcap_{i = 1}^m V_{s_i}\right)
\newline
& \quad \Rightarrow T \subseteq V
\end{align}
$$
以及：
$$
\begin{align}
& u_{s_m} \cap V_{s_m} = \phi
\newline
& \quad \Rightarrow u_{s_m} \cap \underbrace{\left(\bigcap_{i = 1}^mV_{s_m}\right)}_{V} = \phi
\newline
& \quad \Rightarrow \underbrace{\left(\bigcup_{i = 1}^m u_{s_i}\right)}_{U} \cap V = \phi
\newline
& \quad \Rightarrow U \cap V = \phi
\end{align}
$$
如此一來，就構造出了 $U, V$ 兩個開集，其中 $S \subseteq U$ 且 $T \subseteq V$，並且 $U \cap V = \phi$。由此得證。
### 各類空間中的升級
:::danger
**Thm**
++**1. Topological Space 緊緻集合的閉集自動緊緻：**++
假定 $X$ 是一個 *topological space*，且 $X$ 是個 *compact* 的空間，$A \subseteq X$。則：
$$
A \mathbf{\ closed} \Rightarrow A \mathbf{\ compact}
$$
++**2. Hausdorff Space 緊緻集合自動 closed：**++
更進一步，若 $X$ *Hausdorff*，則：
$$
A \mathbf{\ compact} \Rightarrow A \mathbf{\ closed}
$$
++**3. Metric Space 緊緻集合自動 bounded：**++
再更進一步，若 $X$ 是一個 *metric* *space*，則：
$$
A \mathbf{\ compact} \Rightarrow A \mathbf{\ bounded}
$$
:::
這其實有一個包含關係：*Hausdorff space* 都是 *topological space*，所以 1, 2 都成立; 而 *metric space* 既是 *topological space*，也是 *Hausdorff sapce*，所以 1, 2, 3 都成立。
++**Topological Space 緊緻集合的閉集都緊緻：**++
目標是給定任意一個 $A$ 的 *open cover*，要用這個 *open cover* 去造出 $A$ 的 *finite subcover*。假定這個 $A$ 的 *open cover* 是：
$$
\mathfrak U = \{u_i\}
$$
因為 $A$ 是個閉集，這也就是說 $(X \setminus A)$ 是個開集，這樣就可以用 $A$ 的 *open cover* 造出 $X$ 的 *open cover* 了。因為只要把任何一個 $A$ 的 *open cover* 多加上 $(X \setminus A)$ 這個開集，那麼這個新的 *open cover* 就可以既包住 $A$，又包住 $(X \setminus A)$，也就是包住整個空間 $X$ 了。也就是說，若令：
$$
\mathfrak U' = \mathfrak U \cup \{(X \setminus A)\}
$$
那麼，$\frak U'$ 就會是一個 $X$ 的 *open cover*。這時候使用 $X$ *compact*，因此可以保證 $\frak U'$ 的 *finite subcover*，令其為 $\frak U''$。也就是說：
$$
\begin{align}
&X \mathbf{\ compact} \Rightarrow \exists \mathfrak U'' \subseteq \mathfrak U'.
\newline
&\quad |\mathfrak U''| < \infty \text{ and } X \subseteq \bigcup_{u''\in \frak U}u''
\end{align}
$$
這個 $\frak U''$ 就可以直接拿來當 $\frak U$ 的 *finite subcover* 了嗎？快了。因為 $\frak U''$ 是從 $\frak U'$ 中找出來的，而 $\frak U'$ 又比 $\frak U$ 多了一個 $(X \setminus A)$ 這個開集，而 $(X \setminus A)$ 可能在 $\frak U''$ 裡面，也可能沒有。不過就他在裡面，把他從中去除掉，剩下的東西還是會形成一個 $\mathfrak U$ 的 *finite subcover*，而且可以安然無恙的蓋住 $A$ ，因為很明顯地 $A \not \subseteq (X \setminus A)$。也就是說：若令：
$$
\mathfrak U''' = \mathfrak U'' \setminus \{(X \setminus A)\}
$$
則：
$$
|\mathfrak U'''| \leq |\mathfrak U''| < \infty
$$
且：
$$
\mathfrak U''' \subseteq \mathfrak U \text{ and } A \in \bigcup_{u''' \in \mathfrak U'''}u'''
$$
因此就從 $\frak U$ 中找出一個 *finite subcover* 了。
++**Hausdorff Space 緊緻集合自動 closed：**++
這個證明用 $(X \setminus A)$ *closed* 來證明。更明確地說，是用「每個點都找得到在 $(X \setminus A)$ 中的開集包他證明」。
對於任意 $p \in (X \setminus A)$，考慮僅有包含 $\{p\}$ 的集合。*Hausdorff* 空間中，有限集合都是閉集，所以 $\{p\}$ 是個閉集; 又因為 $X$ *compact*，*compact* 空間的閉集都是 *compact*，所以僅包含 $p$ 一點的集合 $\{p\}$ 也 *compact*。
因此，套用「*Hausdorff* 空間中，兩個緊緻集可以用不相交的開集分開」，就知道存在 開集 $U, V$，使得：
$$
\begin{align}
A & \subseteq S
\newline
\{p\} & \subseteq T
\end{align}
$$
並且：
$$
S \cap T = \phi
$$
但 $A \subseteq S$，所以如果 $T$ 連跟 $S$ 都沒交集了，跟 $A \subseteq S$ 也不可能有交集，也就是 $(T \cap A) = \phi$。但這就表示：$T$ 是個在 $(X \setminus A)$ 中，包住 $p$ 的開集。
對於任意一個 $p \in (X \setminus A)$，都可以找到這樣包住 $p$ 的開集 $T$，由此得證 $(X \setminus A)$ 是個開集，也就是 $A$ 是閉集。
++**Metric Space 緊緻集合自動 bounded：**++
這個證明相對簡單。任取一點 $p \in A$。考慮以 $p$ 為中心、半徑為 $n \in \mathbb N$ 的同心球形成的集合：
$$
\mathfrak B = \{B(p, n)\}_{n = 1}^{\infty}
$$
顯然 $\mathfrak B$ 是一個 $X$ 的 *open cover*，而 $X$ 又 *compact*，所以存在 *finite subcover* $\mathcal B'$
$$
\exists\mathfrak B' = \{B(p, n_k)\}_{k = 1}^{N} \subseteq \mathcal B.X \subseteq \bigcup_{B' \in \mathfrak B'}B'
$$
而既然 $A \subseteq X$，$\mathcal B'$ 又是 $X$ 的 *open cover*，所以若令：
$$
B = \bigcup_{k = 1}^{N}B(p, n_k)
$$
則有：
$$
A \subseteq X \subseteq B
$$
而且 $B$ 還是一個以 $p$ 為中心的球，因為它根本是一堆由 $p$ 為中心的同心球聯集起來的。既然 $A$ 可以被一個由 $p\in A$ 中心，半徑有限的球包起來，由此得證 $A$ *bounded*。
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