Topological Space - Compactness (Open Cover)

在一般的 topological space 上也可以定義 compact，不過這個定法並不是用收斂子序列去定義，而是使用一個叫做 open cover 的概念。而可以證明：這樣定義出來的 compact 在 metric space 中會等價於那個「集合中任意數列存在收斂子序列」的定義。在這之前，要先定義什麼是 open cover

Open Cover

Def (Open Cover)

假定

$X$ 是一個拓樸空間。

1. Open Cover：

若一個由

$X$ 中的開集組成的 collection

$\mathfrak{U}$：

$$\mathfrak{U}=\{u_i\}$$

能使

$X$ 被包在

$\mathfrak{U}$ 裡面所有開集的聯集中，即：

$$X\subseteq \bigcup _{u_i\in \mathfrak{u}}{u}_i$$

那麼就稱

$\mathfrak{U}$ 是一個

$X$ 的 open cover。

2. Subcover：

若

$\mathfrak{U}$ 與

${\mathfrak{U}}^{\prime }$ 都是

$X$ 的 open cover，且：

$${\mathfrak{U}}^{\prime }\subseteq \mathfrak{U}$$

則稱

${\mathfrak{U}}^{\prime }$ 是一個

${\mathfrak{U}}^{\prime }$ 的 subcover。更進一步，若

${\mathfrak{U}}^{\prime }$ 中的集合個數是有限的，那麼就稱

${\mathfrak{U}}^{\prime }$ 是一個

$\mathfrak{U}$ 的 finite subcover。

Compact (Open Cover)

Def (Compact)

假定

$X$ 是一個拓樸空間。若對於「任意」

$X$ 的 open cover

$\mathfrak{U}$，都存在 finite subcover，即：

$$\begin{array}{rl}& \mathrm{\forall }\text{ open cover }\mathfrak{U}.\mathrm{\exists }{\mathfrak{U}}^{\prime }\subseteq \mathfrak{U}\mathfrak{.}\\ & X\subseteq \bigcup _{u^{\prime }\in {\mathfrak{U}}^{\prime }}{u}^{\prime }\text{ and }|{\mathfrak{U}}^{\prime }|<\mathrm{\infty }\end{array}$$

那麼就稱

$X$ 為 compact。

這個定義最重要的是「對於任意」 open cover。因為有限的 open cover 很好找，比如依照拓樸的定義，整個空間一定是個開集，所以一定蓋的住所有這個空間的集合，而且這樣的 open cover 就只有他自己一個集合，所以有限。因此，集合存在一個有限的 open cover 一點也不足為奇。「任何」 open subcover 都能化為有限數目的 open cover 才是重點。

性質

收斂數列 + 收斂點 = 緊緻

Thm (數列跟收斂點)

假定

$X$ 是一個拓樸空間，

$\{x_i{\}}_{i=1}^{\mathrm{\infty }}\subseteq X$ 是個序列。且

$x_n\to p$，那麼：

$$\{x_i{\}}_{i=1}^{\mathrm{\infty }}\cup \{p\}$$

是一個 compact 的集合。

關鍵是收斂的定義。假定現在有一個 open cover

$\mathfrak{U}=\{u_i\}$。既然這是「數列與收斂點」的 open cover，那麼這些開集當中，至少有一個開集包住那個收斂點

$p$。假定這個開集叫做

$u_p$，由收斂的定義：對於任意一個

$p$ 的鄰域，都存在一個

$N$，使得數列第

$N$ 項之後，所有東西都會落在這個鄰域裡：

$$n>N\Rightarrow x_n\in u_p$$

所以

$x_N$ 之後的

$x_i$ 就都被包在裡面了。至於

$x_1\dots x_N$，既然他們也被

$\mathfrak{U}$ 蓋到，所以取

$\mathcal{U}$ 中蓋到他們的開集

$u_1\dots u_N$，其中：

$$x_i\in u_i\mathrm{\forall }i=1\dots N$$

這樣一來，

$u_1\dots u_N$ 及

$u_p$ 就構成了一個

$\mathfrak{U}$ 的 finite subcover。因為

$x_1\in u_1$…

$x_N\in u_N$，而所有

$n>N$ 的

$x_N$ 都在

$u_p$ 裡面。

連續函數保緊緻

Thm (連續函數保緊緻)

假定

$X,Y$ 是拓樸空間，且

$f:X\to Y$ 是 continuous，那麼：

$$X\mathbf{compact}\Rightarrow f(X)\mathbf{compact}$$

假定有一個

$f(X)$ 的 open cover

$$\mathcal{V}=\{v_i\}$$

用連續的定義，把裡面所有東西送回

$X$ 中。因為每個

$v_i$ 都是開集，依照連續的定義，每個

$f^{pre}(v_i)$ 也都是開集。更進一步，既然

$\mathcal{V}$ 是

$f(X)$ 的 cover，那麼任意

$x\in X$，都存在某個

$v\in \mathcal{V}$，使得

$f(x)\in v$，或說：

$$\begin{array}{rl}\mathrm{\forall }& x\in X.\mathrm{\exists }v\in \mathcal{V}.\\ & f(x)\in v\Rightarrow x\in f^{pre}(v)\end{array}$$

這也就是說，所有的

$\mathcal{V}$ 中集合的 preimage 構成了一個

$X$ 的 open cover。令其為

$\mathfrak{U}$：

$$\mathfrak{U}=\{f^{pre}(v_i):v_i\in \mathcal{V}\}$$

$\mathfrak{U}$ 構成了

$X$ 的一個 open cover。但

$X$ compact，所以存在一個

$\mathfrak{U}$ 的 finite cover

${\mathfrak{U}}^{\prime }$：

$${\mathfrak{U}}^{\prime }=\{f^{pre}(v_1^{\prime }),f^{pre}(v_2^{\prime })\dots f^{pre}(v_N^{\prime })\}\subseteq \mathcal{V}$$

使得：

$$X\subseteq \bigcup _{f^{pre}(v^{\prime })\in {\mathfrak{U}}^{\prime }}{f}^{pre}(v^{\prime })$$

把左右同時用

$f$ 送過去，就得到：

$$f(X)\subseteq \bigcup _{f^{pre}(v^{\prime })\in {\mathfrak{U}}^{\prime }}{v}^{\prime }$$

緊緻 + 不相交 = 不連通

Thm

假定

$X$ 是一個 Hausdorff space，且

$S,T$ 是兩個沒有交集：

$$\begin{array}{r}S\cap T=\varphi \end{array}$$

且緊緻：

$$S,T\mathbf{compact}$$

的集合。則存在不相交的開集

$U,V$，使得

$S\subseteq U$,

$T\subseteq V$。即：

$$\begin{array}{rl}\mathrm{\exists }& \mathbf{open}\text{ set }U,V.\\ & S\subseteq U\text{ and }\\ & T\subseteq V\text{ and }\\ & U\cap V=\varphi \end{array}$$

這個證明做法就是迴圈跑兩層：外面那層跑遍

$S$ 的元素; 而裡面那層則是對於每一個

$S$ 中元素，跑遍

$T$ 中的元素做。這個結構有點像是：

  (for s in S) {
      (for t in T) {
          /* ... */
      }
      /*...*/
  }

首先，先做內層的。也就是箭頭指的地方：

  (for s in S) {
    → (for t in T) {
          /* ... */
      }
      /* ... */
  }

固定

$S$ 中的元素

$s$。因為 Hausdorff，對於任意

$t\in T$，都存在開集

$u_{st}$ 與

$v_{st}$，使得

$s\in u_{st}$,

$v\in v_{st}$，且兩者沒有交集：

$$u_{st}\cap v_{st}=\varphi$$

因此，若令：

$${\mathcal{V}}_s=\{v_{st}{\}}_{t\in T}$$

既然

$t$ 跑遍所有

$T$ 中的元素，

${\mathcal{V}}_s$ 裡面的成員又都是開集，所以

${\mathcal{V}}_s$ 就構成了一個

$T$ 的 open cover。又因為

$T$ compact，所以

${\mathcal{V}}_s$ 這個

$T$ 的 open cover 就存在 finite subcover

${\mathcal{V}}_s^{\prime }$：

$${\mathcal{V}}_s^{\prime }=\{v_{s{t}_1},v_{s{t}_2}\dots v_{s{t}_n}\}.$$

另外一方面，從這個有限的

${\mathcal{V}}_s^{\prime }$ 中，可以反找出裡面每一個

$v_{s{t}_1}\dots v_{s{t}_N}$ 所對應的

$u_{s{t}_1}\dots v_{s{t}_n}$，也就是對應使

$(v_{s{t}_i}\cap u_{s{t}_i})$ =

$\varphi$ 的

$u_{s{t}_i}$。這樣的好處是：這些

$u_{s{t}_i}$ 的數目是有限的，(因為是從

$v_{s{t}_i}\in {\mathcal{V}}_s^{\prime }$ 反找的，而

${\mathcal{V}}^{\prime }s$ 有限)，而有限數目的開集，其交集還是開集。所以如果令：

$$\begin{array}{rl}{u}_s& =\bigcap _{i=1}^n{u}_{s{t}_i}\\ V_s& =\bigcup _{i=1}^n{v}_{s{t}_i}\end{array}$$

這樣一來，

$u_s$ 與

$V_s$ 分別是有限開集的聯集跟交集，所以仍然是開集。而且

$T\subseteq V_s$，因為

$V_s$ 根本只是把

$T$ 的 open cover

$\mathcal{V}$ 找到的 finite subcover

${\mathcal{V}}^{\prime }$ 聯集起來。另外還有

$s\in u_s$，因為：

$$\begin{array}{rl}s& \in u_{s{t}_i}\\ s& \in \underset{u_s}{\underbrace{\left(\bigcap _{i=1}^n{u}_{s{t}_i}\right)}}\end{array}$$

最後，有

$u_s\cap V_s=\varphi$。這其實也滿顯然，因為對於任意

$i=1\dots n$，有：

$$\begin{array}{rl}{u}_{s{t}_i}\cap v_{s{t}_i}& =\varphi \\ \Rightarrow (\bigcap u_{s{t}_i})\cap v_{s{t}_i}& =\varphi \\ \Rightarrow \underset{u_s}{\underbrace{(\bigcap u_{s{t}_i})}}\cap \underset{V_s}{\underbrace{(\bigcup v_{s{t}_i})}}& =\varphi \end{array}$$

可以觀察到：交集跟聯集的部分正是 compact 的關鍵所在：如果

$u_{s{t}_i}$ 不是有限個，這無限數目的開集交集起來之後，就無法保證仍然為開集。而能使他們化為有限個開集的關鍵，正是

$T$ 是 compact。

現在，換成對每個

$s$，重複上面的動作。也就是外圈的部分：

→ (for s in S) {
      (for t in T) { 
            // find u_st, v_st
            // finite subcover of T
            // finite union and intersect  
            // get u_s and V_s
      }
      // find u_st, V_t
      // finite subcover of S
      // finite union and intersect
      // find U and V
  }

所有這樣找到的

$u_s$ 與

$V_s$ 中，這所有的

$u_s$ 又構成一個

$S$ 的 open cover

$\mathcal{U}$。令其為：

$$\mathcal{U}=\{u_s{\}}_{s\in S}$$

類似地，因為

$S$ compact，所以這所有

$u_s$ 構成的

$\mathcal{U}$ 可以簡化成一個 finite subcover

${\mathcal{U}}^{\prime }$。令其為：：

$$\mathrm{\exists }{\mathcal{U}}^{\prime }=\{u_{s_1}\dots u_{s_m}\}.{\mathcal{U}}^{\prime }\subseteq \mathcal{U}$$

反找出這些

$u_{s_1}\dots u_{s_m}$ 所對應的

$V_{s_1}\dots V_{s_m}$，並且令：

$$\begin{array}{rl}V& =\bigcap _{i=1}^m{V}_{s_i}\\ U& =\bigcup _{i=1}^m{u}_{s_i}\end{array}$$

首先，因為

${\mathcal{U}}^{\prime }$ 是

$\mathcal{U}$ 的 finite subcover，而

$\mathcal{U}$ 又是

$S$ 的 open cover，所以很明顯：

$$S\subseteq U=\bigcup _{i=1}^m{u}_{s_m}$$

並且因為

$u_{s_m}$ 是從 open cover 找出來的，所以都是開集。而因此

$U$ 又是有限個開集的聯集，所以

$U$ 是個開集。類似地，因為每個

$V_{s_m}$ 都是開集，所以

$V$ 也是個開集。更進一步，

$(U\cap V)=\varphi$，這是因為：前面找

$V_s$ 時，每一個

$V_s$ 都有

$T\subseteq V_s$ 及

$T\subseteq V_s$：

$$\begin{array}{rl}T& \subseteq V_s\\ u_s& \cap V_s=\varphi \end{array}$$

而

$V_{s_m}$ 又是從所有

$V_s$ 挑出來的，所以對於任何

$s_m$，當然也有：

$$\begin{array}{rl}T& \subseteq V_{s_m}\\ u_{s_m}& \cap V_{s_m}=\varphi \end{array}$$

因此：

$$\begin{array}{rl}T& \subseteq V_{s_m}\\ & \Rightarrow T\subseteq \left(\bigcap _{i=1}^m{V}_{s_i}\right)\\ & \Rightarrow T\subseteq V\end{array}$$

以及：

$$\begin{array}{rl}& u_{s_m}\cap V_{s_m}=\varphi \\ & \Rightarrow u_{s_m}\cap \underset{V}{\underbrace{\left(\bigcap _{i=1}^m{V}_{s_m}\right)}}=\varphi \\ & \Rightarrow \underset{U}{\underbrace{\left(\bigcup _{i=1}^m{u}_{s_i}\right)}}\cap V=\varphi \\ & \Rightarrow U\cap V=\varphi \end{array}$$

如此一來，就構造出了

$U,V$ 兩個開集，其中

$S\subseteq U$ 且

$T\subseteq V$，並且

$U\cap V=\varphi$。由此得證。

各類空間中的升級

Thm

1. Topological Space 緊緻集合的閉集自動緊緻：

假定

$X$ 是一個 topological space，且

$X$ 是個 compact 的空間，

$A\subseteq X$。則：

$$A\mathbf{closed}\Rightarrow A\mathbf{compact}$$

2. Hausdorff Space 緊緻集合自動 closed：

更進一步，若

$X$ Hausdorff，則：

$$A\mathbf{compact}\Rightarrow A\mathbf{closed}$$

3. Metric Space 緊緻集合自動 bounded：

再更進一步，若

$X$ 是一個 metric space，則：

$$A\mathbf{compact}\Rightarrow A\mathbf{bounded}$$

這其實有一個包含關係：Hausdorff space 都是 topological space，所以 1, 2 都成立; 而 metric space 既是 topological space，也是 Hausdorff sapce，所以 1, 2, 3 都成立。

Topological Space 緊緻集合的閉集都緊緻：

目標是給定任意一個

$A$ 的 open cover，要用這個 open cover 去造出

$A$ 的 finite subcover。假定這個

$A$ 的 open cover 是：

$$\mathfrak{U}=\{u_i\}$$

因為

$A$ 是個閉集，這也就是說

$(X\setminus A)$ 是個開集，這樣就可以用

$A$ 的 open cover 造出

$X$ 的 open cover 了。因為只要把任何一個

$A$ 的 open cover 多加上

$(X\setminus A)$ 這個開集，那麼這個新的 open cover 就可以既包住

$A$，又包住

$(X\setminus A)$，也就是包住整個空間

$X$ 了。也就是說，若令：

$${\mathfrak{U}}^{\prime }=\mathfrak{U}\cup \{(X\setminus A)\}$$

那麼，

${\mathfrak{U}}^{\prime }$ 就會是一個

$X$ 的 open cover。這時候使用

$X$ compact，因此可以保證

${\mathfrak{U}}^{\prime }$ 的 finite subcover，令其為

${\mathfrak{U}}^{″}$。也就是說：

$$\begin{array}{rl}& X\mathbf{compact}\Rightarrow \mathrm{\exists }{\mathfrak{U}}^{″}\subseteq {\mathfrak{U}}^{\prime }.\\ & |{\mathfrak{U}}^{″}|<\mathrm{\infty }\text{ and }X\subseteq \bigcup _{u^{″}\in \mathfrak{U}}{u}^{″}\end{array}$$

這個

${\mathfrak{U}}^{″}$ 就可以直接拿來當

$\mathfrak{U}$ 的 finite subcover 了嗎？快了。因為

${\mathfrak{U}}^{″}$ 是從

${\mathfrak{U}}^{\prime }$ 中找出來的，而

${\mathfrak{U}}^{\prime }$ 又比

$\mathfrak{U}$ 多了一個

$(X\setminus A)$ 這個開集，而

$(X\setminus A)$ 可能在

${\mathfrak{U}}^{″}$ 裡面，也可能沒有。不過就他在裡面，把他從中去除掉，剩下的東西還是會形成一個

$\mathfrak{U}$ 的 finite subcover，而且可以安然無恙的蓋住

$A$ ，因為很明顯地

$A⊈(X\setminus A)$。也就是說：若令：

$${\mathfrak{U}}^{‴}={\mathfrak{U}}^{″}\setminus \{(X\setminus A)\}$$

則：

$$|{\mathfrak{U}}^{‴}|\le |{\mathfrak{U}}^{″}|<\mathrm{\infty }$$

且：

$${\mathfrak{U}}^{‴}\subseteq \mathfrak{U}\text{ and }A\in \bigcup _{u^{‴}\in {\mathfrak{U}}^{‴}}{u}^{‴}$$

因此就從

$\mathfrak{U}$ 中找出一個 finite subcover 了。

Hausdorff Space 緊緻集合自動 closed：

這個證明用

$(X\setminus A)$ closed 來證明。更明確地說，是用「每個點都找得到在

$(X\setminus A)$ 中的開集包他證明」。

對於任意

$p\in (X\setminus A)$，考慮僅有包含

$\{p\}$ 的集合。Hausdorff 空間中，有限集合都是閉集，所以

$\{p\}$ 是個閉集; 又因為

$X$ compact，compact 空間的閉集都是 compact，所以僅包含

$p$ 一點的集合

$\{p\}$ 也 compact。

因此，套用「Hausdorff 空間中，兩個緊緻集可以用不相交的開集分開」，就知道存在 開集

$U,V$，使得：

$$\begin{array}{rl}A& \subseteq S\\ \{p\}& \subseteq T\end{array}$$

並且：

$$S\cap T=\varphi$$

但

$A\subseteq S$，所以如果

$T$ 連跟

$S$ 都沒交集了，跟

$A\subseteq S$ 也不可能有交集，也就是

$(T\cap A)=\varphi$。但這就表示：

$T$ 是個在

$(X\setminus A)$ 中，包住

$p$ 的開集。

對於任意一個

$p\in (X\setminus A)$，都可以找到這樣包住

$p$ 的開集

$T$，由此得證

$(X\setminus A)$ 是個開集，也就是

$A$ 是閉集。

Metric Space 緊緻集合自動 bounded：

這個證明相對簡單。任取一點

$p\in A$。考慮以

$p$ 為中心、半徑為

$n\in \mathbb{N}$ 的同心球形成的集合：

$$\mathfrak{B}=\{B(p,n){\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$$

顯然

$\mathfrak{B}$ 是一個

$X$ 的 open cover，而

$X$ 又 compact，所以存在 finite subcover

${\mathcal{B}}^{\prime }$

$$\mathrm{\exists }{\mathfrak{B}}^{\prime }=\{B(p,n_k){\}}_{k=1}^N\subseteq \mathcal{B}.X\subseteq \bigcup _{B^{\prime }\in {\mathfrak{B}}^{\prime }}{B}^{\prime }$$

而既然

$A\subseteq X$，

${\mathcal{B}}^{\prime }$ 又是

$X$ 的 open cover，所以若令：

$$B=\bigcup _{k=1}^{N}B(p,n_k)$$

則有：

$$A\subseteq X\subseteq B$$

而且

$B$ 還是一個以

$p$ 為中心的球，因為它根本是一堆由

$p$ 為中心的同心球聯集起來的。既然

$A$ 可以被一個由

$p\in A$ 中心，半徑有限的球包起來，由此得證

$A$ bounded。