Metric Space - Compactness (Part 1)

Compact 是一種很棒的性質，看到 compact 就表示會有好事情發生，甚至可說這是僅次於有限的好性質。而事實上從拓樸空間的角度來看，某些程度來說 compact 是另外一種意義上的「有限」。不過現在先看 metric space 上的 compact

Def (Compact)
假定

$(M,d)$ 是一個 metric space，且

$A\subset M$。若任意

$A$ 中的序列

$\{P_n\}$ 都存在收斂到

$A$ 中元素的子序列，即：

$$\begin{array}{rl}& \mathrm{\forall }\{P_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}\subset A.\\ & \mathrm{\exists }\{P_{n_k}{\}}_{k=1}^{\mathrm{\infty }}\subset \{P_n\}.P_{n_k}\to P\in A\end{array}$$

那麼就稱

$A$ 是 compact

Compact 就封閉且有界

Thm (緊緻則有界且封閉)

假定

$(M,d)$ 是個 metric space，

$A\subset M$，則：

$$A\text{ is }\mathbf{compact}\Rightarrow A\text{ is }\mathbf{closed}\text{ and }\mathbf{bounded}$$

封閉很顯然，因為序列如果收斂，那麼子序列就會跟母序列收斂回一樣的地方。所以 compact 保證的那個收斂子序列就要跟母序列收斂回一樣的地方，但 compact 又保證子序列收斂回的那個地方在

$A$ 裡面，所以母序列就跟著收斂回

$A$ 裡面了。

而有界的話使用反證：假定

$A$ 不是有界，也就是隨便找一點

$p\in A$，無論半徑

$r$ 多大的開球

$B(p,r)$ ，都會有包不住的元素。這時就可以用這個性質去構造一個「所有子序列都不收斂的序列」。比如說可以令半徑嚴格遞增，然後每個半徑都取 1 個不在球裡面的元素：

$$x_n\in \{a\in A.d(p,a)>n\}$$

既然

$\{x_n\}$ 是

$A$ 中的序列，那麼就應該存在一個收斂到

$A$ 的子序列

$\{x_{n_k}\}\subset \{x_n\}$，假定他收斂到

$x\in A$。但既然這個子序列收斂，就表示他有界。可是當

$k\to \mathrm{\infty }$ 時

$d(a_{n_k},p)=n_k\to \mathrm{\infty }$，所以就矛盾了。

這個性質

$\Leftarrow$ 不一定對，也就是 metric space 中，有界且封閉的集合不一定緊緻。比如說考慮：

$$M=\{f:[0,1]\to \mathbb{R},f\text{ cont.}\}$$

以及：

$$d(f,g)=\underset{x\in [0,1]}{sup}|f(x)-g(x)|$$

那麼，考慮下面這個閉球：

$$A=\overline{B(0,1)}=\{f\in M:\underset{x\in [0,1]}{sup}|f(x)-0|\le 1\}$$

$A$ 是一個閉集，而且

$A$ 有界，但

$A$ 不 compact。因為考慮：

$$\{f_n\}=x^n$$

這個函數在

$[0,1]$ 有定義，而且任意

$x\in [0,1]$ 當中，

$|f_n(x)-0|<1$，所以

$\{f_n\}\subset A$。但是這個函數會收斂到：

$$f_n\to f=\{\begin{array}{ll}1& \text{if }x=1\\ 0& \text{if }0\le x<1\end{array}$$

所以任意的子序列也會收斂到

$f$。但是

$f$ 是不連續的，所以沒有在

$A$ 裡面。因此

$A$ 不 compact。

緊緻空間做成的 Product Space 也緊緻

Thm (緊緻空間做成的 Product Space 也緊緻)

假定

$M,N$ 是 metric space，則：

$$\begin{array}{rl}& M,N\mathbf{compact}\Rightarrow \\ & M\times N\mathbf{compact}\end{array}$$

這邊

$M\times N$ 用到的收斂主要是指 componentwise 的收斂。構造方法就是對每個分量個自挑一次收斂數列。假定

$\{P_n\}$ 是一個

$M\times N$ 中的序列，即：

$$P_n=(a_n,b_n)\in M\times N$$

首先從

$x$ 分量挑一個收斂子序列。因為

$M$ compact，所以存在收斂子序列：

$$\mathrm{\exists }.\{a_{n_k}{\}}_{k=1}^{\mathrm{\infty }}\subset \{a_n\}.\{a_{n_k}{\}}_{k=1}^{\mathrm{\infty }}\text{ converges}$$

然後用這個子序列的 index 去挑

$P_n$ 中的元素，也就是找出：

$$P_{n_k}=(a_{n_k},b_{n_k})$$

這個子序列。這個子序列的

$x$ 分量就是一個收斂序列了。接著對

$y$ 分量如法炮製，因為

$N$ compact，所以任何序列有收斂子序列，這時就去找

$\{b_{n_k}\}$ 的收斂子序列，假定這個子序列叫做

$\{y_{n_{k_j}}\}$。一樣用這個序列去反找

$P_{n_k}$ 中的元素：

$$P_{n_{k_j}}=(a_{n_{k_j}},b_{n_{k_j}})$$

這樣一來，

$\{b_{n_{k_j}}\}$ 收斂，且

$\{a_{n_{k_j}}{\}}_{j=1}^{\mathrm{\infty }}$ 會收斂，因為他是

$\{a_{n_k}\}$ 這個收斂序列的子序列，所以也收斂。因為

$P_{n_{k_j}}$ 的每個分量都收斂，所以就從

$P_n$ 造出一個收斂序列了。

緊緻集合的閉集也緊緻

Thm (緊緻空間的閉集也緊緻)
假定

$M$ 是一個 metric space，且

$S\subset M$ 是 compact。那麼：

$$\begin{array}{rl}& S\subset M\mathbf{compact}\Rightarrow \\ & \mathrm{\forall }\text{ closed set }K\subset S.K\mathbf{compact}\end{array}$$

因為

$K\subset M$，所以任意

$K$ 中的序列

$\{k_n\}$ 同時也都是

$M$ 中的序列。因為

$M$ compact，所以

$\{k_n\}$ 有收斂子序列

$\{s_{n_j}\}$，但這個收斂子序列也是

$S$ 中的序列，而

$S$ 又 closed，所以這個子序列收斂的點就會在

$S$ 中。但既然對每個序列來說，這樣的子序列都存在，那麼

$S$ 就 compact 了。

閉區間緊緻

Thm (實數上的閉區間緊緻)
假定

$[a,b]\subset \mathbb{R}$，則：

$$[a,b]\text{ is }\mathbf{compact}$$

就是一直二分，看哪邊有無限個點就從那邊繼續二分的證明。見初微。

Bolzano-Weiestrass Theorem

Thm (Bolzano-Weiestrass Theorem)
任意

${\mathbb{R}}^n$ 中的有界序列，存在收斂子序列

因為有界，所以就可以用

${\mathbb{R}}^n$ 裡的 box 把這個序列上包起來。但已知實數裡面的閉區間 compact，所以他們的 Cartesian Product 也 compact，因此

${\mathbb{R}}^n$ 中的 box 就 compact，所以上面的序列就存在收斂子序列。