# Metric Space - Compactness (Part 1)

*Compact* 是一種很棒的性質，看到 *compact* 就表示會有好事情發生，甚至可說這是僅次於有限的好性質。而事實上從拓樸空間的角度來看，某些程度來說 *compact* 是另外一種意義上的「有限」。不過現在先看 *metric space* 上的 *compact*

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**Def (Compact)**
假定 $(M, d)$ 是一個 *metric space*，且 $A \subset M$。若任意 $A$ 中的序列 $\{P_n\}$ 都存在收斂到 $A$ 中元素的子序列，即：

$$
\begin{align}
& \forall \{P_n\}_{n = 1}^{\infty} \subset A.\newline
&\quad \exists \{P_{n_k}\}_{k = 1}^{\infty} \subset \{P_n\}.P_{n_k} \to P \in A
\end{align}
$$

那麼就稱 $A$ 是 *compact*
:::

## Compact 就封閉且有界

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**Thm (緊緻則有界且封閉)**

假定 $(M, d)$ 是個 *metric space*，$A \subset M$，則：

$$
A \text{ is } \mathbf{compact} \Rightarrow A \text{ is } \mathbf{closed} \text{ and } \mathbf{bounded}
$$

:::

封閉很顯然，因為序列如果收斂，那麼子序列就會跟母序列收斂回一樣的地方。所以 *compact* 保證的那個收斂子序列就要跟母序列收斂回一樣的地方，但 *compact* 又保證子序列收斂回的那個地方在 $A$ 裡面，所以母序列就跟著收斂回 $A$ 裡面了。

而有界的話使用反證：假定 $A$ 不是有界，也就是隨便找一點 $p \in A$，無論半徑 $r$ 多大的開球 $B(p, r)$ ，都會有包不住的元素。這時就可以用這個性質去構造一個「所有子序列都不收斂的序列」。比如說可以令半徑嚴格遞增，然後每個半徑都取 1 個不在球裡面的元素：

$$
x_n \in \{a \in A. d(p, a) > n\}
$$

既然 $\{x_n\}$ 是 $A$ 中的序列，那麼就應該存在一個收斂到 $A$ 的子序列 $\{x_{n_k}\} \subset \{x_n\}$，假定他收斂到 $x \in A$。但既然這個子序列收斂，就表示他有界。可是當 $k \to \infty$ 時 $d(a_{n_k}, p) = n_k \to \infty$，所以就矛盾了。

這個性質 $\Leftarrow$ 不一定對，也就是 *metric space* 中，有界且封閉的集合不一定緊緻。比如說考慮：

$$
M = \{f : [0, 1] \to \mathbb R, f\text{ cont.}\}
$$

以及：

$$
d (f, g) = \sup_{x\in[0, 1]} |f(x) - g(x)|
$$

那麼，考慮下面這個閉球：

$$
A = \overline{B(0, 1)} = \{f \in M:\sup_{x\in[0, 1]}|f(x) - 0| \leq 1\}
$$

$A$ 是一個閉集，而且 $A$ 有界，但 $A$ 不 *compact*。因為考慮：

$$
\{f_n\} = x^n
$$

這個函數在 $[0, 1]$ 有定義，而且任意 $x \in [0, 1]$ 當中，$|f_n(x) - 0| < 1$，所以 $\{f_n\} \subset A$。但是這個函數會收斂到：

$$
f_n \to f = \begin{cases}
1 & \text{if }x = 1 \newline
0 & \text{if }0 \leq x < 1
\end{cases}
$$

所以任意的子序列也會收斂到 $f$。但是 $f$ 是不連續的，所以沒有在 $A$ 裡面。因此 $A$ 不 *compact*。

## 緊緻空間做成的 Product Space 也緊緻

:::danger
**Thm (緊緻空間做成的 Product Space 也緊緻)**

假定 $M, N$ 是 *metric space*，則：

$$
\begin{align}
&M, N\ \mathbf{ compact} \Rightarrow \newline
&\quad M\times N \ \mathbf{compact}
\end{align}
$$

:::

這邊 $M \times N$ 用到的收斂主要是指 *componentwise* 的收斂。構造方法就是對每個分量個自挑一次收斂數列。假定 $\{P_n\}$ 是一個 $M \times N$ 中的序列，即：

$$
P_n = (a_n, b_n) \in M \times N
$$

首先從 $x$ 分量挑一個收斂子序列。因為 $M$ *compact*，所以存在收斂子序列：

$$
\exists.\{a_{n_k}\}_{k = 1}^{\infty} \subset \{a_n\}.\{a_{n_k}\}_{k = 1}^{\infty} \text{ converges}
$$

然後用這個子序列的 *index* 去挑 $P_n$ 中的元素，也就是找出：

$$
P_{n_k} = (a_{n_k}, b_{n_k})
$$

這個子序列。這個子序列的 $x$ 分量就是一個收斂序列了。接著對 $y$ 分量如法炮製，因為 $N$ *compact*，所以任何序列有收斂子序列，這時就去找 $\{b_{n_k}\}$ 的收斂子序列，假定這個子序列叫做 $\{y_{n_{k_j}}\}$。一樣用這個序列去反找 $P_{n_k}$ 中的元素：

$$
P_{n_{k_j}} = (a_{n_{k_j}}, b_{n_{k_j}})
$$

這樣一來，$\{b_{n_{k_j}}\}$ 收斂，且 $\{a_{n_{k_j}}\}_{j = 1}^{\infty}$ 會收斂，因為他是 $\{a_{n_k}\}$ 這個收斂序列的子序列，所以也收斂。因為 $P_{n_{k_j}}$ 的每個分量都收斂，所以就從 $P_n$ 造出一個收斂序列了。

## 緊緻集合的閉集也緊緻

:::danger
**Thm (緊緻空間的閉集也緊緻)**
假定 $M$ 是一個 *metric space*，且 $S \subset M$ 是 *compact*。那麼：

$$
\begin{align}
& S \subset M \ \mathbf{compact} \Rightarrow\newline
&\quad \forall \text{ closed set }K \subset S. K \mathbf{\ compact}
\end{align}
$$
:::

因為 $K \subset M$，所以任意 $K$ 中的序列 $\{k_n\}$ 同時也都是 $M$ 中的序列。因為 $M$ *compact*，所以 $\{k_n\}$ 有收斂子序列 $\{s_{n_j}\}$，但這個收斂子序列也是 $S$ 中的序列，而 $S$ 又 *closed*，所以這個子序列收斂的點就會在 $S$ 中。但既然對每個序列來說，這樣的子序列都存在，那麼 $S$ 就 *compact* 了。

## 閉區間緊緻

:::danger
**Thm (實數上的閉區間緊緻)**
假定 $[a, b] \subset \mathbb R$，則：

$$
[a, b] \text{ is } \mathbf{compact}
$$

:::

就是一直二分，看哪邊有無限個點就從那邊繼續二分的證明。見初微。

## Bolzano-Weiestrass Theorem

:::danger
**Thm (Bolzano-Weiestrass Theorem)**
任意 $\mathbb R^n$ 中的有界序列，存在收斂子序列
:::

因為有界，所以就可以用 $\mathbb R^n$ 裡的 *box* 把這個序列上包起來。但已知實數裡面的閉區間 *compact*，所以他們的 *Cartesian Product* 也 *compact*，因此 $\mathbb R^n$ 中的 *box* 就 *compact*，所以上面的序列就存在收斂子序列。