Topology on Product of Metric Spaces

現在討論的是：假設現在有有限個 metric space，然後把這些 metric space 通通都做 Cartesian Product 起來，並且定義某種 metric。那麼這樣的空間仍然會是 metric space 嗎？答案是：如果 metric 好好取的話，就會。

幾個 metric

Def (Product Space 常用的 Metric)
假定

$(X_1,d_1)$ 及

$(X_2,d_2)$ 是兩個 metric space，

$X=X_1\times X_2$，且

$P=(x_1,x_2)$ 與

$P^{\prime }=(x_1^{\prime },x_2^{\prime })$ 是

$X$ 中的元素。則定義：

歐幾里德距離：

$$d_E(P,P^{\prime })=\sqrt{{[d_1(x_1,x_1^{\prime })]}^2+{[[d_2(x_2,x_2^{\prime })]}^2}$$

Maximun：

$$d_{max}=max\{d_1(x_1,x_1^{\prime }),d_2(x_2,x_2^{\prime })\}$$

計程車距離：

$$d_{sum}=d_1(x_1,x_1^{\prime })+d(x_2,x_2^{\prime })$$

這些 metric 之間有一個大小關係：對於任意兩個

$X=X_1\times X_2$ 中的元素，有：

$$d_{max}\le d_E\le d_{sum}\le 2d_{max}$$

Equivalent of Metric

雖然 product space 有上面這麼多種 metric，但如果他們都只差常數倍，那麼 open 的效果都一樣，因為那個開球只要差個常數倍就好; 更進一步收斂的效果也一樣，因為在證明的時候那個

$ϵ$ 只差常數倍。而這樣只差常數倍的性質叫做 equivalent：

Def (Equivalent of Metric)
假定

$d_1,d_2$ 是 metric space

$M$ 上的 metric。若存在

$\alpha ,\beta >0$ 使得

$d_1,d_2$ 滿足：

$$\alpha \cdot d_2(x_1,x_2)\le d_1(x_1,x_2)\le \beta \cdot d_2(x_1,x_2)$$

則稱

$d_1$ 和

$d_2$ equivalent

metric 等價，開集一樣

等價的 metric 第一個結果就是會看到一樣的開集：

Thm (metric 等價，開集一樣)

假定

$d_1$,

$d_2$ 是兩個

$M$ 上的 metric，且

$d_1$ 和

$d_2$ equivalent。則：

$$\begin{array}{rl}& u\text{ is open in }(M,d_1)⟺\\ & u\text{ is open in }(M,d_2)\end{array}$$

這個理由很自然：因為距離都只差常數倍，所以要證明開集用的那個開球半徑跟著差常數倍，問題就解決了。

比如說：假定

$p\in u$ 在

$(M,d_1)$ 中，表示存在中心

$p$, 半徑

$r$ 的開球塞在

$u$ 裡面。這時，在

$(M,d_2)$ 中取中心

$p$，半徑

$\frac{r}{\alpha }$ 的開球，那這樣的開球在

$(M,d_2)$ 中就會被包在

$u$ 裡面。因為：

$$d_1(x,p)<r⟺\frac{d_1(x,p)}{\alpha }<\frac{r}{\alpha }⟺d_2(x,p)\le \frac{d_1(x,p)}{\alpha }<\frac{r}{\alpha }$$

類似地，假定

$p\in u$ 在

$(M,d_2)$ 中，表示存在中心為

$p\in u$，半徑為

$r$ 的開球中包在

$u$ 裡面。這時在

$(M,d_1)$ 中，取

$p$ 為中心，半徑

$\beta \cdot r$ 的開球，他就會包在

$u$ 當中。因為：

$$d_2(x,p)<r⟺\beta \cdot d_2(x,p)<\beta \cdot r⟺d_2(x,p)\le \beta \cdot d_2(x,p)<\beta \cdot r$$

metric 等價，收斂一樣

既然開集都一樣了，那麼收斂一樣應該也不是什麼意外的事：

Thm (等價的 metric 有等價的收斂)
假定

$(X,d_x)$,

$(Y,d_y)$ 是 metric space。且序列

$P_n=(x_n,y_n)$ 是

$Z=X\times Y$ 上的序列。則：

1. 在 Maximun Metric 下收斂：

$$P_n\to P\text{ in }(X,d_{max})$$

2. 在計程車距離下收斂：

$$P_n\to P\text{ in }(X,d_{sum})$$

3. 在歐氏距離距離下收斂：

$$P_n\to P\text{ in }(X,d_E)$$

4. 各個分量收斂

$$\begin{array}{rl}& x_n\to x\text{ in }(X,d_x)\\ & \text{ and }{y}_n\to y\text{ in }(Y,d_y)\end{array}$$

其中，

$P=(x,y)$

前面 3 個可以利用：

$$d_{max}\le d_E\le d_{sum}\le 2d_{max}$$

所以，假定在

$d_E$ 收斂的話，也就是存在

$N>0$，當

$n>N$ 時

$d_{max}(P)<ϵ$，所以：

$$d_E(P_n,P)\le d_{sum}(P_n,P)\le 2d_{max}(P_n,P)<2ϵ$$

而 4 回到 1 可以

$N=max\{N_1,N_2\}$，那麼

$n>N$ 時，就會有：

$$d_x(x_n,x)<ϵ\text{ and }{d}_y(y_n,y)<ϵ$$

所以不管

$d_{max}$ 最後選到

$d_x(x_n,x)$ 或是

$d_y(y_n,y)$，都會有

$d_{max}(P_n,P)<ϵ$。