# Topology on Product of Metric Spaces

現在討論的是：假設現在有有限個 *metric space*，然後把這些 *metric space* 通通都做 *Cartesian Product* 起來，並且定義某種 *metric*。那麼這樣的空間仍然會是 *metric space* 嗎？答案是：如果 *metric* 好好取的話，就會。

## 幾個 metric
:::warning
**Def (Product Space 常用的 Metric)**
假定 $(X_1, d_1)$ 及 $(X_2, d_2)$ 是兩個 *metric space*， $X = X_1 \times X_2$，且 $P = (x_1, x_2)$ 與 $P' = (x_1', x_2')$ 是 $X$ 中的元素。則定義：

**歐幾里德距離**：

$$
d_E(P, P') = \sqrt{\left[d_1(x_1, x_1')\right]^2 + \left[[d_2(x_2, x_2')\right]^2}
$$

**Maximun**：

$$
d_{max} = \max \{d_1(x_1, x_1'), d_2(x_2, x_2')\}
$$

**計程車距離**：

$$
d_{sum} = d_1(x_1, x_1') + d(x_2, x_2')
$$

:::

這些 *metric* 之間有一個大小關係：對於任意兩個 $X = X_1 \times X_2$ 中的元素，有：

$$
d_{max} \leq d_{E} \leq d_{sum} \leq 2d_{max}
$$

## Equivalent of Metric

雖然 *product space* 有上面這麼多種 *metric*，但如果他們都只差常數倍，那麼 *open* 的效果都一樣，因為那個開球只要差個常數倍就好; 更進一步收斂的效果也一樣，因為在證明的時候那個 $\epsilon$ 只差常數倍。而這樣只差常數倍的性質叫做 *equivalent*：

:::warning
**Def (Equivalent of Metric)**
假定 $d_1, d_2$ 是 *metric space* $M$ 上的 *metric*。若存在 $\alpha, \beta > 0$ 使得 $d_1, d_2$ 滿足：

$$
\alpha \cdot d_2 (x_1, x_2) \leq d_1(x_1, x_2) \leq \beta \cdot d_2(x_1, x_2)
$$

則稱 $d_1$ 和 $d_2$ *equivalent*
:::

## *metric* 等價，開集一樣

等價的 *metric* 第一個結果就是會看到一樣的開集：

:::danger
**Thm (*metric* 等價，開集一樣)**

假定 $d_1$, $d_2$ 是兩個 $M$ 上的 *metric*，且 $d_1$ 和 $d_2$ *equivalent*。則：

$$
\begin{align}
&u \text{ is open in } (M, d_1) \iff \newline
&u \text{ is open in } (M, d_2)
\end{align}
$$

:::

這個理由很自然：因為距離都只差常數倍，所以要證明開集用的那個開球半徑跟著差常數倍，問題就解決了。

比如說：假定 $p \in u$ 在 $(M, d_1)$ 中，表示存在中心 $p$, 半徑 $r$ 的開球塞在 $u$ 裡面。這時，在 $(M, d_2)$ 中取中心 $p$，半徑 $\frac {r}{\alpha}$ 的開球，那這樣的開球在 $(M, d_2)$ 中就會被包在 $u$ 裡面。因為：

$$
d_1(x, p) < r \iff \frac {d_1(x, p)}{\alpha} < \frac {r}{\alpha} \iff d_2(x, p) \leq \frac {d_1(x, p)}{\alpha} < \frac {r}{\alpha}
$$

類似地，假定 $p \in u$ 在 $(M, d_2)$ 中，表示存在中心為 $p \in u$，半徑為 $r$ 的開球中包在 $u$ 裡面。這時在 $(M, d_1)$ 中，取 $p$ 為中心，半徑 $\beta \cdot r$ 的開球，他就會包在 $u$ 當中。因為：

$$
d_2(x, p) < r \iff \beta \cdot {d_2(x, p)} < \beta \cdot r \iff d_2(x, p) \leq \beta \cdot {d_2(x, p)} < \beta \cdot r
$$

## *metric* 等價，收斂一樣

既然開集都一樣了，那麼收斂一樣應該也不是什麼意外的事：

:::danger
**Thm (等價的 metric 有等價的收斂)**
假定 $(X, d_x)$, $(Y, d_y)$ 是 *metric space*。且序列 $P_n = (x_n, y_n)$ 是 $Z = X \times Y$ 上的序列。則：

**++1. 在 Maximun Metric 下收斂++**：

$$
P_n \to P \text{ in } (X, d_{max})
$$

**++2. 在計程車距離下收斂++**：

$$
P_n \to P \text{ in } (X, d_{sum})
$$

**++3. 在歐氏距離距離下收斂++**：

$$
P_n \to P \text{ in } (X, d_{E})
$$

**++4. 各個分量收斂++**

$$
\begin{align}
&x_n \to x \text{ in } (X, d_x) \newline
&\quad \text{ and } y_n \to y \text{ in } (Y, d_y)
\end{align}
$$

其中，$P = (x, y)$

:::

前面 3 個可以利用：

$$
d_{max} \leq d_{E} \leq d_{sum} \leq 2d_{max}
$$

所以，假定在 $d_E$ 收斂的話，也就是存在 $N > 0$，當 $n > N$ 時 $d_{max}(P) < \epsilon$，所以：

$$
d_E(P_n, P) \leq d_{sum}(P_n, P) \leq 2d_{max}(P_n, P) < 2\epsilon
$$

而 4 回到 1 可以 $N = \max\{N_1, N_2\}$，那麼 $n > N$ 時，就會有：

$$
d_x(x_{n}, x) < \epsilon \text{ and }d_y(y_n, y) < \epsilon
$$

所以不管 $d_{max}$ 最後選到 $d_x(x_n, x)$ 或是 $d_y(y_n, y)$，都會有 $d_{max}(P_n, P) < \epsilon$。