Banach Space - Basics

Banach space 的定義是 complete normed space。所以這個定義包含了兩件事： normed space 與 complete。先來看看什麼是 normed space：

Normed Space

Def (Normed Space)

一個 normed space 是一個向量空間

$V=(\tilde{V},\mathbf{F})$ 配上一個 norm 形成的代數結構。其中， norm 函數

$\Vert \cdot \Vert$ 定義為：

$$\Vert \cdot \Vert :V\to \mathbb{R}$$

且必須滿足下面 3 個條件：

1 - 1. 半正定：

對於任意

$v\in V$，有：

$$\Vert v\Vert \ge 0$$

且：

$$\Vert v\Vert =0⟺v=0$$

1 - 2. 三角不等式：

對於任意

$x,y\in V$，有：

$$\Vert x+y\Vert \le \Vert x\Vert +\Vert y\Vert$$

1 - 3. 係數絕對值可拆：

對於任意

$x\in V$ 及

$c\in \mathbf{F}$，有：

$$\Vert cx\Vert =|c{|}_F\Vert x\Vert \mathrm{\forall }c\in \mathbf{F}$$

大略的看有點像是 metric space 跟 vector space 的合體，但也沒有那麼相近。因為不是每一種 metric 都可以造出 norm ( metric 是

$V\times V\to \mathbb{R}$ 的函數，所以跟 norm 的定義就不一樣; metric 也未必 normed 的係數積關係)。但反過來，每一個 normed space 都可以是 metric space，因為只要令：

$$d(x,y)=\Vert x-y\Vert$$

這就是一個 metric 了。

既然 normed space 是向量空間，那麼上面的線性函數感覺起來就會是一個向量空間：

Thm (函數向量空間)
假定

$E,F$ 是兩個 normed space。若令：

$$\mathbb{L}(E,F)=\{f:E\to F:f\text{ cont. and linear}\}$$

並且定義對於任意

$f,g\in \mathbb{L}(E,F)$，及

$\alpha ,\beta \in \mathbb{F}$，其中

$\mathbb{F}$ 是

$F$ 對應的 field：

$$(\alpha f+g)(x)=\alpha \cdot f(x)+g(x)$$

則

$\mathbb{L}(E,F)$ 是

$\mathbb{F}$ 上的向量空間。

線性函數變成線性空間不奇怪。但 normed space 上，線性函數的連續性除了

$ϵ-\delta$ 定義之外，還有一個等價條件：

Thm
假定

$E,F$ 是兩個

$\mathbb{R}$ 上的 normed space。若：

$$f:E\to F$$

是「線性」的，則：

$$\begin{array}{rl}& f\mathbf{continuous}⟺\\ & \mathrm{\exists }c>0.\mathrm{\forall }x\in E\ge 0.\frac{\Vert f(x){\Vert }_F}{\Vert x{\Vert }_E}\le c\end{array}$$

$\Leftarrow$：這個 Lipschitz 條件可以保證連續是差不多的。假定這樣的

$c$ 存在，因為

$\mathbb{L}(E,F)$ 是向量空間，所以當

$\Vert x-y{\Vert }_E<\delta$ 時：

$$\Vert f(x)-f(y){\Vert }_F=\Vert f(x-y){\Vert }_F\le c\Vert x-y{\Vert }_E=c\delta$$

雖然取

$\delta =ϵ/c$ 時好像可以做到，但這樣只有

$\le$，沒有

$<$。不過也沒差，隨便除上幾倍就好。比如說

$ϵ$ 選好之後，取：

$$\delta =\left(\frac{ϵ}{2c}\right)$$

這樣就有：

$$\Vert f(x)-f(y){\Vert }_E<\frac{ϵ}{2}<ϵ$$

有了這個東西之後，就可以用這個數字定義函數的長度。

$$\Vert f{\Vert }_L=\underset{x\ne 0}{sup}\frac{\Vert f(x){\Vert }_F}{\Vert x{\Vert }_E}$$

不過這個後面會再看。

$\Rightarrow$：現在有的條件是：

1. 連續：表示對於任何
   $u\in E$，假定給定
   $ϵ>0$，都存在
   $\delta >0$，使得
   $\Vert x-u{\Vert }_E$ 夠小時，
   $\Vert f(x)-f(u)\Vert <.ϵ$。
2. $E$ 是向量空間：所以有
   $0_E$ 這個元素。
3. $f$ 是向量空間上的線性函數：所以有
   $f(0_E)=0_F$。

對

$0_E$ 使用連續的條件，並且把

$f(0_E)=0_F$ 帶進去(所以

$\Vert f(x)-f(0)\Vert =\Vert f(x)\Vert$)：

$$\mathrm{\forall }ϵ>0.\mathrm{\exists }\delta >0.\Vert x{\Vert }_E<\delta \Rightarrow \Vert f(x){\Vert }_F<ϵ$$

既然他說「長度比

$\delta$ 小的向量就對」，那就隨便取一個長度比

$\delta$ 小的向量。比如說先把某個向量變成單位向量後，長度把他設定成

$\delta /2$。比如選：

$$x^{\prime }=\left(\frac{\delta }{2}\right)\frac{x}{\Vert x{\Vert }_E}$$

然後帶進去

$f$，就會有：

$${\Vert f\left(\frac{\delta }{2}\frac{x}{\Vert x{\Vert }_E}\right)\Vert }_F<ϵ$$

最後再用線性，就可以有：

$$\Vert f(x){\Vert }_F<\frac{2ϵ}{\delta }\Vert x{\Vert }_E$$

定義完 normed space 之後，Banach Space 其實就是升級版的 normed space：

Banach Space

Def (Banach Space)：

假定

$V$ 是一個 normed space。若定義：

$$d(x,y)=\Vert x-y\Vert$$

則

$d$ 可作為一合法的 metric。若更進一步，

$(V,d)$ 這個 metric space 是完備的，那麼就稱

$V$ 是一個 Banach Space

簡略一點就是「完備的 normed space」。而定義在 Banach Space 上的線性函數，如果搭配適當的 norm，那也會是一個 Banach Space：

Thm
假定

$E$ 是一個

$\mathbb{R}$ 上的 normed space，

$F$ 是一個

$\mathbb{R}$ 上的 Banach Space。若令：

$$\Vert \cdot {\Vert }_L:\mathbb{L}(E,F)\to \mathbb{R}$$

其中

$$\Vert f{\Vert }_L=\underset{x\ne 0}{sup}\frac{\Vert f(x){\Vert }_F}{\Vert x{\Vert }_E}$$

則

$\Vert \cdot {\Vert }_L$ 是一個

$\mathbb{L}(E,F)$ 上的 norm。

向量空間的線性轉換已經構成一個向量空間。所以剩下的問題是 1) 這個東西是個 norm 2) 這個空間完備。

半正定

目標是兩個敘述：

$\Vert f{\Vert }_L\ge 0$，以及

$\Vert f{\Vert }_L=0⟺f=0$。前者由定義可以直接得到，因為這東西就是兩個 norm 相除，所以對於任意

$x\ne 0$，有：

$$\Vert f(x){\Vert }_F\ge 0,\Vert x{\Vert }_E>0\Rightarrow \frac{\Vert f(x){\Vert }_F}{\Vert x{\Vert }_E}\ge 0$$

也就是說：

$0$ 是一個

$\Vert f{\Vert }_L$ 的下界，最小上界不會比最小下界還小，所以得證。

而另外一方面，需要證明：

$$f=0⟺\Vert f{\Vert }_L=0$$

首先，如果

$f$ 是

$0$ 函數，那麼對於任意

$x\ne 0$，有：

$$f(x)=0\Rightarrow \Vert f(x){\Vert }_F=0$$

因此，進一步有：

$$\frac{\Vert f(x){\Vert }_F}{\Vert x{\Vert }_E}=0$$

既然通通都是

$0$，所以：

$$\underset{x\ne 0}{sup}\frac{\Vert f(x){\Vert }_F}{\Vert x{\Vert }_E}=0$$

反之，如果：

$$sup\frac{\Vert f(x){\Vert }_F}{\Vert x{\Vert }_E}=0$$

那麼對於任意

$x\ne 0$：

$$0\le \frac{\Vert f(x){\Vert }_F}{\Vert x{\Vert }_E}\le sup\frac{\Vert f(x){\Vert }_F}{\Vert x{\Vert }_E}=0$$

也就是對於任意

$x\ne 0$，有：

$$\frac{\Vert f(x){\Vert }_F}{\Vert x{\Vert }_E}=0\Rightarrow \Vert f(x){\Vert }_F=0\Rightarrow f(x)=0_F$$

三角不等式

對於任意

$x\ne 0$，有：

$$\begin{array}{rl}\Vert f+g{\Vert }_L=\frac{\Vert (f+g)(x){\Vert }_F}{\Vert x{\Vert }_E}& \le \frac{\Vert f(x){\Vert }_F}{\Vert x{\Vert }_E}+\frac{\Vert g(x){\Vert }_F}{\Vert x{\Vert }_E}\\ & \le \underset{x\ne 0}{sup}\frac{\Vert f(x){\Vert }_F}{\Vert x{\Vert }_E}+\underset{x\ne 0}{sup}\frac{\Vert g(x){\Vert }_F}{\Vert x{\Vert }_E}=\Vert f{\Vert }_L+\Vert g{\Vert }_L\end{array}$$

係數

這其實直接用

$sup$ 的性質：

$$\begin{array}{rl}\Vert cf{\Vert }_L=\underset{x\ne 0}{sup}\frac{\Vert (cf)(x){\Vert }_F}{\Vert x{\Vert }_E}& =\underset{x\ne 0}{sup}\frac{\Vert c\cdot (f(x)){\Vert }_F}{\Vert x{\Vert }_E}\\ & =\underset{x\ne 0}{sup}\frac{|c|\cdot \Vert f(x){\Vert }_F}{\Vert x{\Vert }_E}\\ & =|c|\cdot \underset{x\ne 0}{sup}\frac{\Vert f(x){\Vert }_F}{\Vert x{\Vert }_E}=|c|\cdot \Vert f{\Vert }_L\end{array}$$

Thm
假定

$E$ 是一個

$\mathbb{R}$ 上的 normed space，

$F$ 是一個

$\mathbb{R}$ 上的 Banach Space

$$(\mathbb{L}(E,F),\Vert \cdot {\Vert }_L)$$

是一個 Banach Space。

Algebra

這裡的 algebra 這個字是一個代數結構的名稱。一個 algebra 是一個像下面這樣的代數結構：

Def (algebra)

假定

$A$ 是一個

$K$ 上，裝備了以下二元運算的向量空間：

$$(\cdot ):A\times A\to A$$

且該二元運算滿足下面四個性質：

1. 結合律：

$$(x\cdot y)\cdot z=x\cdot (y\cdot z)$$

2. 右分配律：

$$x\cdot (y+z)=x\cdot y+x\cdot z$$

3. 左分配律：

$$(x+y)\cdot z=x\cdot y+x\cdot z$$

4. 係數積交換：

$$\alpha \cdot (x\cdot y)=(\alpha x)\cdot y=x\cdot (\alpha y)$$

則稱

$A$ 是一個

$K$ 上的 algebra。

更進一步，如果

$x\cdot y=y\cdot x$，則稱這個 algebra 是 commutative 的。而若存在

$e\in A$，滿足：

$$e\cdot x=x\cdot e=x$$

則稱這個 algebra 具有單位元。

除了上述的定義之外，還有一些常用的用語。比如，如果這個 algebra 是 normed space 裝備了某個滿足 algebra 定義的

$(\cdot )$ 運算生出來的，就稱呼這個 algebra 為 normed algebra; 類似地，如果是由一個 Banach space 裝備某個滿足 algebra 定義的

$(\cdot )$ 得來的，這樣的結構就會稱為 Banach algebra。

這個 Banach algebra 最直接的例子，就是 Banach space 上的線性運算可以構成一個 Banach algebra。假定

$E$ 是一個 Banach space。定義函數之間的相乘為合成，也就是令：

$$(\cdot ):\mathbb{L}(E,E)\times \mathbb{L}(E,E)\to \mathbb{L}(E,E)$$

其中，對於任意

$f,g\in \mathbb{L}(E,E)$：

$$(f\cdot g)(u)=(f\circ g)(u)$$

並且定義：

$$(+):\mathbb{L}(E,E)\times \mathbb{L}(E,E)\to \mathbb{L}(E,E)$$

其中：

$$(f+g)(u)=f(u)+g(u)$$

則

$\mathbb{L}(E,E)$ 是一個具有 identity 的 Banach algebra。

Def (inverse in algebra)

假定

$A$ 是一個具有單位元

$e$ 的 algebra，

$x\in A$。若存在一個元素

$x^{\prime }$，使得：

$$x^{\prime }\cdot x=x^{\prime }\cdot x=e$$

則稱

$x$ 是 invertible。

其實就是在 algebra 中，針對

$(\cdot )$ 這個二元運算意義上的反元素。

Banach Space 的反元素

Thm
假定

$A$ 是一個具有單位元 (這邊用

$\mathbb{1}$ 表示這個單位元) 的 Banach algebra，則對於任意具有：

$$x=\mathbb{1}-a\text{where }\Vert a\Vert <1$$

形式的元素，都是 invertible。

這個證明方式就是暴力構造。宣稱：

$$x^{\prime }=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}^k$$

就是那個反元素。這其實是個類似實數中的泰勒展開的觀察。如果

$a$ 是實數的話：

$$a+a+a^2+a^3\cdots =\frac{1}{1-a}=(1-a{)}^{-1}$$

不過，現在是在 Banach Space，所以不知道這樣的級數寫出來會不會收斂，所以就要驗證一下這件事：

收斂：因為現在是個完備的空間，所以可以把它弄成柯西列去做。寫的明確一點的話，就是：

$$S_n=\sum _{k=0}^n{a}^k$$

不失一般性，假定

$m>n$，則：

$$\Vert S_m-S_n\Vert =\Vert \sum _{k=n}^m{a}^k\Vert \le \Vert a{\Vert }^n\frac{1-\Vert a{\Vert }^{m-n}}{1-\Vert a\Vert }<\Vert a{\Vert }^n\frac{1}{1-\Vert a\Vert }$$

$1/(1-\Vert a\Vert )$ 在

$a$ 給定之後只是常數; 而

$\Vert a{\Vert }^n$ 因為

$\Vert a\Vert <1$，所以在

$n$ 夠大時，可以任意小。

是

$a$ 的反元素：這個就暴力帶進去他的部分和，用乘法公式展開會有：

$$x^{\prime }\cdot S_n=(\mathbb{1}-a)\left(\sum _{k=0}^n{a}^k\right)=\mathbb{1}-a^{n+1}$$

因此：

$$\Vert x\cdot S_n-\mathbb{1}\Vert =\Vert -a^{n+1}\Vert \le \Vert a{\Vert }^{n+1}\to 0$$

Corollary

假定

$\mathcal{B}$ 是一個具有單位元

$\mathbb{1}$ 的 Banach algebra。若定義：

$${\mathcal{B}}^{\ast }=\{x\in B:B\mathbf{invirtible}\}$$

則

${\mathcal{B}}^{\ast }\ne \varphi$，且

${\mathcal{B}}^{\ast }$ 是一個開集。

$B$ 是開集其實有「如果

$x$ 是可逆的，那麼

$x$ 附近的元素都可逆」的意味。

非空：

$B\ne \varphi$ 這點上面就可以證明，因為具有

$\mathbb{1}-a$ 形式的元素都可逆，如果有單位元，那至少

$\mathbb{1}$ 會在裡面。所以非空。

開集：這邊是直接用開集定義下去做。對於任意

$x\in {\mathcal{B}}^{\ast }$，考慮半徑為

$1/\Vert x^{-1}\Vert$ 的開球，也就是：

$$u=B(x,\frac{1}{\Vert x^{-1}\Vert })$$

CLAIM：「對於任意

$y\in u$，

$y{x}^{-1}$ 是可逆的」

因為：

$$\Vert y{x}^{-1}-\mathbb{1}\Vert =\Vert (y-x)x^{-1}\Vert \le \Vert x-y\Vert \Vert x^{-1}\Vert <1$$

所以可以發線

$y{x}^{-1}$ 具備前述反元素的形式：

$$y{x}^{-1}=\mathbb{1}-\underset{a}{\underbrace{(\mathbb{1}-y^{x-1})}}$$

因此

$y{x}^{-1}$ 可逆。更進一步做一些神奇的操作，可以發現：

$$\begin{array}{rl}(y{x}^{-1})(y{x}^{-1}{)}^{-1}& =\mathbb{1}=(y)(x^{-1}(y{x}^{-1}))\end{array}$$

以及：

$$\begin{array}{rl}(y{x}^{-1}{)}^{-1}(y{x}^{-1})=\mathbb{1}& \Rightarrow (y{x}^{-1}{)}^{-1}y=x\\ & \Rightarrow x^{-1}(y{x}^{-1})y=\mathbb{1}\end{array}$$

所以，

$x^{-1}(y{x}^{-1})$ 就是

$y$ 的反元素。因此這個開集就包在

${\mathcal{B}}^{\ast }$ 中。