# Banach Space - Basics

*Banach space* 的定義是 *complete normed space*。所以這個定義包含了兩件事： *normed space* 與 *complete*。先來看看什麼是 *normed space*：

## Normed Space

:::warning
**Def (Normed Space)**

一個 *normed space* 是一個向量空間 $V = (\tilde{V}, \mathbf F)$ 配上一個 *norm* 形成的代數結構。其中， *norm* 函數 $\|\cdot\|$ 定義為：

$$
\|\cdot \|:V \to \mathbb R
$$

且必須滿足下面 3 個條件：

++**1 - 1. 半正定**++：

對於任意 $v \in V$，有：

$$
\|v\| \geq 0
$$

且：

$$
\|v\| = 0 \iff v = 0
$$

++**1 - 2. 三角不等式：**++

對於任意 $x, y\in V$，有：

$$
\|x + y\| \leq \|x\| + \|y\|
$$

++**1 - 3. 係數絕對值可拆**++：

對於任意 $x \in V$ 及 $c \in \mathbf F$，有：

$$
\|cx\| = |c|_F \|x\| \quad \forall c \in \mathbf F
$$

:::

大略的看有點像是 *metric space* 跟 *vector space* 的合體，但也沒有那麼相近。因為不是每一種 *metric* 都可以造出 *norm* ( *metric* 是 $V \times V \to \mathbb R$ 的函數，所以跟 *norm* 的定義就不一樣; *metric* 也未必 *normed* 的係數積關係)。但反過來，每一個 *normed space* 都可以是 *metric space*，因為只要令：

$$
d(x, y) = \|x - y\|
$$

這就是一個 *metric* 了。

既然 *normed space* 是向量空間，那麼上面的線性函數感覺起來就會是一個向量空間：

:::danger
**Thm (函數向量空間)**
假定 $E, F$ 是兩個 *normed space*。若令：

$$
\mathbb L(E, F) = \{f:E\to F:f\text{ cont. and linear}\}
$$

並且定義對於任意 $f, g \in \mathbb L(E, F)$，及 $\alpha, \beta \in \mathbb F$，其中 $\mathbb F$ 是 $F$ 對應的 *field*：

$$
(\alpha f + g)(x) = \alpha \cdot f (x) + g(x)
$$

則 $\mathbb L(E, F)$ 是 $\mathbb F$ 上的向量空間。
:::

線性函數變成線性空間不奇怪。但 *normed space* 上，線性函數的連續性除了 $\epsilon-\delta$ 定義之外，還有一個等價條件：

:::danger
**Thm**
假定 $E, F$ 是兩個 $\mathbb R$ 上的 *normed space*。若：

$$
f : E \to F
$$

是「線性」的，則：

$$
\begin{align}
&f \ \mathbf{continuous}\iff \newline
&\exists c > 0.\forall x \in E \geq 0.\frac {\|f(x)\|_F}{\|x\|_E} \leq c
\end{align}
$$

:::

==$\Leftarrow$==：這個 *Lipschitz* 條件可以保證連續是差不多的。假定這樣的 $c$ 存在，因為 $\mathbb L(E, F)$ 是向量空間，所以當 $\|x - y\|_E < \delta$ 時：

$$
\|f(x) - f(y)\|_F = \|f(x - y)\|_F \leq c\|x - y\|_E = c\delta
$$

雖然取 $\delta = \epsilon/c$ 時好像可以做到，但這樣只有 $\leq$，沒有 $<$。不過也沒差，隨便除上幾倍就好。比如說 $\epsilon$ 選好之後，取：

$$
\delta = \left(\frac {\epsilon}{2c}\right)
$$

這樣就有：

$$
\|f(x) - f(y)\|_E < \frac {\epsilon}{2} < \epsilon
$$

> 有了這個東西之後，就可以用這個數字定義函數的長度。
>
> $$
> \|f\|_L = \sup_{x\neq 0} \frac {\|f(x)\|_F}{\|x\|_E}
> $$
>
> 不過這個後面會再看。
> [color=gray]

==$\Rightarrow$==：現在有的條件是：

1. 連續：表示對於任何 $u \in E$，假定給定 $\epsilon > 0$，都存在 $\delta > 0$，使得 $\|x - u\|_E$ 夠小時，$\|f(x) - f(u)\| <. \epsilon$。
2. $E$ 是向量空間：所以有 $0_E$ 這個元素。
3. $f$ 是向量空間上的線性函數：所以有 $f(0_E) = 0_F$。

對 $0_E$ 使用連續的條件，並且把 $f(0_E) = 0_F$ 帶進去(所以 $\|f(x) - f(0)\| = \|f(x)\|$)：

$$
\forall \epsilon > 0.\exists \delta > 0. \|x\|_E < \delta \Rightarrow \|f(x)\|_F < \epsilon
$$

既然他說「長度比 $\delta$ 小的向量就對」，那就隨便取一個長度比 $\delta$ 小的向量。比如說先把某個向量變成單位向量後，長度把他設定成 $\delta/2$。比如選：

$$
x' = \left(\frac {\delta}{2}\right) \frac {x}{\|x\|_E}
$$

然後帶進去 $f$，就會有：

$$
\left\| f\left(\frac {\delta}{2} \frac {x}{\|x\|_E}\right)\right\|_F < \epsilon
$$

最後再用線性，就可以有：

$$
\|f(x)\|_F < \frac {2\epsilon}{\delta}\|x\|_E
$$

定義完 *normed space* 之後，*Banach Space* 其實就是升級版的 *normed space*：

## Banach Space

:::warning
**Def (Banach Space)：**

假定 $V$ 是一個 *normed space*。若定義：

$$
d(x, y) = \|x - y\|
$$

則 $d$ 可作為一合法的 *metric*。若更進一步，$(V, d)$ 這個 *metric space* 是完備的，那麼就稱 $V$ 是一個 *Banach Space*
:::

簡略一點就是「完備的 *normed space*」。而定義在 *Banach Space* 上的線性函數，如果搭配適當的 *norm*，那也會是一個 *Banach Space*：

:::danger
**Thm**
假定 $E$ 是一個 $\mathbb R$ 上的 *normed space*，$F$ 是一個 $\mathbb R$ 上的 *Banach Space*。若令：

$$
\|\cdot\|_L : \mathbb L(E, F) \to \mathbb R
$$

其中

$$
\|f\|_L = \sup_{x\neq 0} \frac {\|f(x)\|_F}{\|x\|_E}
$$

則 $\|\cdot\|_L$ 是一個 $\mathbb L(E, F)$ 上的 *norm*。
:::

向量空間的線性轉換已經構成一個向量空間。所以剩下的問題是 1) 這個東西是個 *norm* 2) 這個空間完備。

==半正定==

目標是兩個敘述：$\|f\|_L \geq 0$，以及 $\|f\|_L = 0 \iff f = 0$。前者由定義可以直接得到，因為這東西就是兩個 *norm* 相除，所以對於任意 $x \neq 0$，有：

$$
\|f(x)\|_F \geq 0, \|x\|_E > 0 \Rightarrow \frac {\|f(x)\|_F}{\|x\|_E} \geq 0
$$

也就是說： $0$ 是一個 $\|f\|_L$ 的下界，最小上界不會比最小下界還小，所以得證。

而另外一方面，需要證明：

$$
f = 0 \iff \|f\|_L = 0
$$

首先，如果 $f$ 是 $0$ 函數，那麼對於任意 $x\neq 0$，有：

$$
f(x) = 0 \Rightarrow \|f(x)\|_F = 0
$$

因此，進一步有：

$$
\frac {\|f(x)\|_F}{\|x\|_E} = 0
$$

既然通通都是 $0$，所以：

$$
\sup_{x\neq 0} \frac {\|f(x)\|_F}{\|x\|_E} = 0
$$

反之，如果：

$$
\sup \frac {\|f(x)\|_F}{\|x\|_E} = 0
$$

那麼對於任意 $x \neq 0$：

$$
0 \leq \frac {\|f(x)\|_F}{\|x\|_E} \leq \sup \frac {\|f(x)\|_F}{\|x\|_E} = 0
$$

也就是對於任意 $x \neq 0$，有：

$$
\frac {\|f(x)\|_F}{\|x\|_E} = 0 \Rightarrow {\|f(x)\|_F} = 0 \Rightarrow f(x) = 0_F
$$

==三角不等式==

對於任意 $x \neq 0$，有：

$$
\begin{align}
\|f + g\|_L = \frac {\|(f + g)(x)\|_F}{\|x\|_E} &\leq \frac {\|f(x)\|_F}{\|x\|_E} + \frac {\|g(x)\|_F}{\|x\|_E}\newline
&\leq \sup_{x\neq 0}\frac {\|f(x)\|_F}{\|x\|_E} + \sup_{x\neq 0}\frac {\|g(x)\|_F}{\|x\|_E} = \|f\|_L + \|g\|_L
\end{align}
$$

==係數==

這其實直接用 $\sup$ 的性質：

$$
\begin{align}
\|cf\|_L = \sup_{x\neq 0} \frac {\|(cf)(x)\|_F}{\|x\|_E} &= \sup_{x\neq 0} \frac {\|c\cdot (f(x))\|_F}{\|x\|_E}
\newline
&= \sup_{x\neq 0} \frac {|c|\cdot \|f(x)\|_F}{\|x\|_E}
\newline
&= |c|\cdot \sup_{x\neq 0} \frac { \|f(x)\|_F}{\|x\|_E} = |c|\cdot \|f\|_L
\end{align}
$$

:::danger
**Thm**
假定 $E$ 是一個 $\mathbb R$ 上的 *normed space*，$F$ 是一個 $\mathbb R$ 上的 *Banach Space*

$$
(\mathbb L(E, F), \|\cdot\|_L)
$$

是一個 *Banach Space*。
:::

## Algebra

這裡的 *algebra* 這個字是一個代數結構的名稱。一個 *algebra* 是一個像下面這樣的代數結構：

:::warning

**Def (algebra)**

假定 $A$ 是一個 $K$ 上，裝備了以下二元運算的向量空間：

$$
(\cdot): A \times A \to A
$$

且該二元運算滿足下面四個性質：

++**1. 結合律**++：

$$
(x \cdot y) \cdot z = x \cdot (y\cdot z)
$$

++**2. 右分配律**++：

$$
x \cdot (y + z) = x \cdot y + x \cdot z
$$

++**3. 左分配律**++：

$$
(x + y) \cdot z = x \cdot y + x \cdot z
$$

++**4. 係數積交換**++：

$$
\alpha \cdot (x \cdot y) = (\alpha x)\cdot y = x \cdot (\alpha y)
$$

則稱 $A$ 是一個 $K$ 上的 *algebra*。

更進一步，如果 $x \cdot y = y \cdot x$，則稱這個 *algebra* 是 *commutative* 的。而若存在 $e \in A$，滿足：

$$
e \cdot x = x \cdot e = x
$$

則稱這個 *algebra* 具有單位元。

:::

除了上述的定義之外，還有一些常用的用語。比如，如果這個 *algebra* 是 *normed space* 裝備了某個滿足 *algebra* 定義的 $(\cdot)$ 運算生出來的，就稱呼這個 *algebra* 為 *normed algebra*; 類似地，如果是由一個 *Banach space* 裝備某個滿足 *algebra* 定義的 $(\cdot)$ 得來的，這樣的結構就會稱為 *Banach algebra*。

這個 *Banach algebra* 最直接的例子，就是 *Banach space* 上的線性運算可以構成一個 *Banach algebra*。假定 $E$ 是一個 *Banach space*。定義函數之間的相乘為合成，也就是令：

$$
(\cdot): \mathbb L(E, E) \times \mathbb L(E, E) \to \mathbb L(E, E)
$$

其中，對於任意 $f, g \in \mathbb L(E, E)$：

$$
(f \cdot g)(u) = (f \circ g)(u)
$$

並且定義：

$$
(+):\mathbb L(E, E) \times \mathbb L(E, E) \to \mathbb L(E, E)
$$

其中：

$$
(f + g)(u) = f(u) + g(u)
$$

則 $\mathbb L(E, E)$ 是一個具有 *identity* 的 *Banach algebra*。

:::warning

**Def (inverse in algebra)**

假定 $A$ 是一個具有單位元 $e$ 的 *algebra*，$x \in A$。若存在一個元素 $x'$，使得：

$$
x' \cdot x = x' \cdot x = e
$$

則稱 $x$ 是 *invertible*。

:::

其實就是在 *algebra* 中，針對 $(\cdot)$ 這個二元運算意義上的反元素。

## Banach Space 的反元素

:::danger
**Thm**
假定 $A$ 是一個具有單位元 (這邊用 $\mathbb 1$ 表示這個單位元) 的 *Banach algebra*，則對於任意具有：

$$
x = \mathbb 1 - a \quad \text{where }\|a\| < 1
$$

形式的元素，都是 *invertible*。

:::

這個證明方式就是暴力構造。宣稱：

$$
x' = \sum_{k = 0}^{\infty}a^k
$$

就是那個反元素。這其實是個類似實數中的泰勒展開的觀察。如果 $a$ 是實數的話：

$$
a + a + a^2 + a^3 \dots = \frac {1}{1 - a} = (1-a)^{-1}
$$

不過，現在是在 *Banach Space*，所以不知道這樣的級數寫出來會不會收斂，所以就要驗證一下這件事：

==收斂==：因為現在是個完備的空間，所以可以把它弄成柯西列去做。寫的明確一點的話，就是：

$$
S_n = \sum_{k = 0}^{n}a^k
$$

不失一般性，假定 $m > n$，則：

$$
\|S_m - S_n\| = \left\| \sum_{k = n}^{m}a^k \right\| \leq \|a\|^{n} \frac {1 - \|a\|^{m-n}}{1 - \|a\|} < \|a\|^{n} \frac {1}{1 - \|a\|}
$$

$1/(1-\|a\|)$ 在 $a$ 給定之後只是常數; 而 $\|a\|^{n}$ 因為 $\|a\| < 1$，所以在 $n$ 夠大時，可以任意小。

==是 $a$ 的反元素==：這個就暴力帶進去他的部分和，用乘法公式展開會有：

$$
x'\cdot S_n = (\mathbb 1 - a) \left(\sum_{k = 0}^{n} a^k\right) = \mathbb 1 - a^{n + 1}
$$

因此：

$$
\|x\cdot S_n - \mathbb 1\| = \|-a^{n + 1}\| \leq \|a\|^{n+1} \to 0
$$

:::danger
**Corollary**

假定 $\mathcal B$ 是一個具有單位元 $\mathbb 1$ 的 *Banach algebra*。若定義：

$$
\mathcal B^* = \{x \in B: B \ \mathbf{invirtible}\}
$$

則 $\mathcal B^* \neq \phi$，且 $\mathcal B^*$ 是一個開集。
:::

$B$ 是開集其實有「如果 $x$ 是可逆的，那麼 $x$ 附近的元素都可逆」的意味。

==非空==：$B \neq \phi$ 這點上面就可以證明，因為具有 $\mathbb 1 - a$ 形式的元素都可逆，如果有單位元，那至少 $\mathbb 1$ 會在裡面。所以非空。

==開集==：這邊是直接用開集定義下去做。對於任意 $x \in \mathcal B^*$，考慮半徑為 $1/\|x^{-1}\|$ 的開球，也就是：

$$
u = B\left(x, \frac {1}{\|x^{-1}\|}\right)
$$

CLAIM：「對於任意 $y \in u$，$yx^{-1}$ 是可逆的」

因為：

$$
\|yx^{-1} - \mathbb 1\| = \|(y - x)x^{-1}\| \leq \|x-y\|\|x^{-1}\| < 1
$$

所以可以發線 $yx^{-1}$ 具備前述反元素的形式：

$$
yx^{-1} = \mathbb 1 - \underbrace{(\mathbb 1 - y^{x - 1})}_{a}
$$

因此 $yx^{-1}$ 可逆。更進一步做一些神奇的操作，可以發現：

$$
\begin{align}
(yx^{-1})(yx^{-1})^{-1} &= \mathbb 1 = (y)(x^{-1}(yx^{-1}))\newline
\end{align}
$$

以及：

$$
\begin{align}
(yx^{-1})^{-1}(yx^{-1}) = \mathbb 1 &\Rightarrow (yx^{-1})^{-1}y = x \newline
&\Rightarrow x^{-1}(yx^{-1})y = \mathbb 1
\end{align}
$$

所以，$x^{-1}(yx^{-1})$ 就是 $y$ 的反元素。因此這個開集就包在 $\mathcal B^*$ 中。