# Topological Space - Hausdorff Space

嚴格來說 *Hausdorff* 應該要有一個自己的大目錄。不過後面的東西並不用那麼多 *Hausdorff* 的東西，所以就先塞一些基本的東西在這裡。

前面已經知道：如果拓樸亂定，就容易有奇怪的性質（比如一個數列收斂到 3 個值這種討厭的事）。所以往往需要「好一點」的拓樸。這邊有一個有個好一點的拓樸：*Hausdorff*

## 定義

:::warning
**Def (Hausdorff Space)**

假定 $X$ 是一個拓樸空間。若對於空間的任兩點 $p, q$，都存在一個 $p$ 的鄰域 $u_p$ 與一個 $q$ 的鄰域 $u_q$，使得 $u_p \cap u_q = \phi$。即：

$$
\begin{align}
\forall &p, q \in X.
\newline
&\exists u_p, u_q.u_p \cap u_q = \phi
\newline
\end{align}
$$

則稱 $X$ 是個 *Hausdorff Space*
:::

這看起來很直覺，就是有辦法隔開兩個點。而且例子也很明顯，比如說每個 *metric space* 都是 *Hausdorff space*，因為個自以兩點為中心，取兩點距離的一半為半徑，就造出了不相交的鄰域。

## 基本性質

加了這個性質的拓樸空間有什麼好處呢？至少有下面這兩個好處：

:::danger
**Thm**

假定 $X$ 是一個 *Hausdorff space*，則：

++**1. 有限大小的集合都是閉集：**++

假定 $A \subseteq X$，則：

$$
\#A < \infty \Rightarrow A \mathbf{\ closed}
$$

++**2. 數列極限唯一：**++

假定 $\{P_n\} \subseteq X$ 收斂，則收斂到的點是唯一的。即：

$$
\lim_{n \to \infty}P_n \mathbf{\ converges} \Rightarrow \lim_{n \to \infty}P_n \text{ is unique}
$$

:::

這邊的 $\#A$ 指得是 「$A$ 中的元素數目」，而這有時候會用 $|A|$ 表示。但在比較後面的測度理論中，也會用 $|\cdot|$ 來表示開區間的長度，這時就容易混淆。所以這邊都用 $\#$ 代替。

++**1. 有限大小的集合都是閉集：**++

只要證明包含單一元素的集合是閉集就好。因為對於數目更多的有限集合，他們都可以由僅含一個元素的集合的聯集組成，而閉集的有限聯集依照拓樸空間的性質都還是閉集。

假定 $A$ 是 $X$ 中僅包含一個元素 $a$ 的集合：

$$
A = \{a\} \subseteq X
$$

現在的目標是證明：

$$
\overline A = A
$$

這可以透過「任何與 $a$ 相異的元素，都不可能是 $A$ 的 *cluster point*」來說明。因為 $X$ 是 *Hausdorff*，因此對於任意 $b \neq a$，都存在一個 $a$ 的鄰域 $u_a$，以及一個 $b$ 的鄰域 $u_b$，使得：

$$
u_a \cap u_b = \phi \Rightarrow b \not \in u_a
$$

但這樣一來，$b$ 就不可能是 $\overline A$ 的中的點。因為 $b \in \overline A$ 的充要條件是：任意 $b$ 的鄰域都要包含 $A$ 中的點。所以僅有 $a$ 能滿足這個條件。

++**數列極限唯一：**++

跟上面的證明類似，都是用「存在分開相異點的鄰域」來證明。假定 $p, p'$ 是相異的收斂點，那麼就存在 $p,p'$ 的鄰域 $u_p, u_{p'}$，使得 $u_p \cap u_{p'} = \phi$。

但另外一方面，

$$
\begin{align}
p_n \to p &\Rightarrow \exists N_1. n > N_1 \Rightarrow p_n \in u_p
\newline
p_n \to p' & \Rightarrow \exists N_2. n > N_2 \Rightarrow p_n \in u_{p'}
\end{align}
$$

但這樣的問題是：如果令 $N = \max\{N_1, N_2\}$，對於所有超過 $N$ 的 $n$，即 $n > N$ 時，就會有 $p_n \in u_p$ 且 $p_n \in u_{p'}$，也就是：

$$
n > N \Rightarrow p_n \in u_{p} \cap u_{p'}
$$

前面又說 $u_p \cap u_{p'} = \phi$。所以就矛盾了。

## Cluster Point 的鄰域必有無限多元素

:::danger
**Thm (Cluster Point 的鄰域必有無限多元素)**

假定 $X$ 是一個 *Hausdorff space*，$A \subseteq X$。若 $p$ 是一個 $A$ 的 *cluster point*，則任意 $p$ 的鄰域必定包含無限多個 $A$ 中的點。

:::

這個直覺是這樣：假定那個 *cluster point* 的鄰域沒有包含無限多個 $A$ 中的點，那總有一天他一定不會跟 $A$ 有交集。這邊的「總有一天」是指這樣：假定存在一個 $p$ 的鄰域 $u_p$ 只包含了有限個 $A$ 中的點。因為 $p$ 是 $A$ 的 *cluster point*，把這個鄰域跟 $A$ 的交集 $(u_p \cap A)$ 挖掉 $p$ 之後，必定不會是空的，而且挖掉之後只少不多，一樣是有限個。為了方便，假定：

$$
(u_p \cap A) \setminus \{p\}= \{q_1, q_2 \dots q_N\}
$$

這樣一來，就可以構造一個跟 $A$ 沒有交集的 $p$ 的鄰域。因為 *Hausdorff*，所以對於任意 $q_i$，都可以找到 $p$ 的鄰域 $u_{p_i}$ 及 $q_i$ 的鄰域 $u_{q_i}$，使得：

$$
u_{p_i} \subseteq u_p
$$

且：

$$
u_{q_i} \cap u_{p_i} = \phi
$$

比如說先取 *Hausdorff* 保證的，把 $p$ 跟 $q_i$ 隔開的那個 $p$ 的鄰域; 再取 $u_p$ 是開集且 $p \in u_p$ 保證的，可以塞在 $u_p$ 裡面的 $p$ 的鄰域，然後交集起來。因為拓樸空間的開集交集仍然是開集，所以取這個交集為 $u_{p_i}$，就滿足上面的兩個要求了。

這樣造出來的 $u_{p_i}$ 可以發現有：

$$
q_i \not \in u_{p_i}
$$

所以如果接著取：

$$
u = \bigcap_{i = 1}^N u_{p_i}
$$

這個 $u$ 就會跟「$p$ 是 $A$ 的 *cluster point*」矛盾。因為 1) $u$ 是一個 $p$ 的鄰域，而且 2) $u \subseteq u_p$，另外還有 3) $q_1 \dots q_N$ 都不在 $u$ 裡面。既然 $u$ 包在 $u_p$ 中，而且 $u_p$ 跟 $A$ 的交集最多只有 $q_1 \dots q_N$，頂多再加上 $p$。但這些除了 $p$ 以外沒有一個在 $u$ 裡面，所以 $u \cap A \setminus \{p\}$ 就沒有元素了。不過既然這樣造出來的 $u$ 又是 $p$ 的鄰域，這樣就不滿足 「$p$ 是 $A$ 的 *cluster point*」，所以矛盾。