Topological Space - Hausdorff Space

嚴格來說 Hausdorff 應該要有一個自己的大目錄。不過後面的東西並不用那麼多 Hausdorff 的東西，所以就先塞一些基本的東西在這裡。

前面已經知道：如果拓樸亂定，就容易有奇怪的性質（比如一個數列收斂到 3 個值這種討厭的事）。所以往往需要「好一點」的拓樸。這邊有一個有個好一點的拓樸：Hausdorff

定義

Def (Hausdorff Space)

假定

$X$ 是一個拓樸空間。若對於空間的任兩點

$p,q$，都存在一個

$p$ 的鄰域

$u_p$ 與一個

$q$ 的鄰域

$u_q$，使得

$u_p\cap u_q=\varphi$。即：

$$\begin{array}{rl}\mathrm{\forall }& p,q\in X.\\ & \mathrm{\exists }{u}_p,u_q.u_p\cap u_q=\varphi \end{array}$$

則稱

$X$ 是個 Hausdorff Space

這看起來很直覺，就是有辦法隔開兩個點。而且例子也很明顯，比如說每個 metric space 都是 Hausdorff space，因為個自以兩點為中心，取兩點距離的一半為半徑，就造出了不相交的鄰域。

基本性質

加了這個性質的拓樸空間有什麼好處呢？至少有下面這兩個好處：

Thm

假定

$X$ 是一個 Hausdorff space，則：

1. 有限大小的集合都是閉集：

假定

$A\subseteq X$，則：

$$\mathrm{\#}A<\mathrm{\infty }\Rightarrow A\mathbf{closed}$$

2. 數列極限唯一：

假定

$\{P_n\}\subseteq X$ 收斂，則收斂到的點是唯一的。即：

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{P}_n\mathbf{converges}\Rightarrow \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{P}_n\text{ is unique}$$

這邊的

$\mathrm{\#}A$ 指得是 「

$A$ 中的元素數目」，而這有時候會用

$|A|$ 表示。但在比較後面的測度理論中，也會用

$|\cdot |$ 來表示開區間的長度，這時就容易混淆。所以這邊都用

$\mathrm{\#}$ 代替。

1. 有限大小的集合都是閉集：

只要證明包含單一元素的集合是閉集就好。因為對於數目更多的有限集合，他們都可以由僅含一個元素的集合的聯集組成，而閉集的有限聯集依照拓樸空間的性質都還是閉集。

假定

$A$ 是

$X$ 中僅包含一個元素

$a$ 的集合：

$$A=\{a\}\subseteq X$$

現在的目標是證明：

$$\bar{A}=A$$

這可以透過「任何與

$a$ 相異的元素，都不可能是

$A$ 的 cluster point」來說明。因為

$X$ 是 Hausdorff，因此對於任意

$b\ne a$，都存在一個

$a$ 的鄰域

$u_a$，以及一個

$b$ 的鄰域

$u_b$，使得：

$$u_a\cap u_b=\varphi \Rightarrow b\notin u_a$$

但這樣一來，

$b$ 就不可能是

$\bar{A}$ 的中的點。因為

$b\in \bar{A}$ 的充要條件是：任意

$b$ 的鄰域都要包含

$A$ 中的點。所以僅有

$a$ 能滿足這個條件。

數列極限唯一：

跟上面的證明類似，都是用「存在分開相異點的鄰域」來證明。假定

$p,p^{\prime }$ 是相異的收斂點，那麼就存在

$p,p^{\prime }$ 的鄰域

$u_p,u_{p^{\prime }}$，使得

$u_p\cap u_{p^{\prime }}=\varphi$。

但另外一方面，

$$\begin{array}{rl}{p}_n\to p& \Rightarrow \mathrm{\exists }{N}_1.n>N_1\Rightarrow p_n\in u_p\\ p_n\to p^{\prime }& \Rightarrow \mathrm{\exists }{N}_2.n>N_2\Rightarrow p_n\in u_{p^{\prime }}\end{array}$$

但這樣的問題是：如果令

$N=max\{N_1,N_2\}$，對於所有超過

$N$ 的

$n$，即

$n>N$ 時，就會有

$p_n\in u_p$ 且

$p_n\in u_{p^{\prime }}$，也就是：

$$n>N\Rightarrow p_n\in u_p\cap u_{p^{\prime }}$$

前面又說

$u_p\cap u_{p^{\prime }}=\varphi$。所以就矛盾了。

Cluster Point 的鄰域必有無限多元素

Thm (Cluster Point 的鄰域必有無限多元素)

假定

$X$ 是一個 Hausdorff space，

$A\subseteq X$。若

$p$ 是一個

$A$ 的 cluster point，則任意

$p$ 的鄰域必定包含無限多個

$A$ 中的點。

這個直覺是這樣：假定那個 cluster point 的鄰域沒有包含無限多個

$A$ 中的點，那總有一天他一定不會跟

$A$ 有交集。這邊的「總有一天」是指這樣：假定存在一個

$p$ 的鄰域

$u_p$ 只包含了有限個

$A$ 中的點。因為

$p$ 是

$A$ 的 cluster point，把這個鄰域跟

$A$ 的交集

$(u_p\cap A)$ 挖掉

$p$ 之後，必定不會是空的，而且挖掉之後只少不多，一樣是有限個。為了方便，假定：

$$(u_p\cap A)\setminus \{p\}=\{q_1,q_2\dots q_N\}$$

這樣一來，就可以構造一個跟

$A$ 沒有交集的

$p$ 的鄰域。因為 Hausdorff，所以對於任意

$q_i$，都可以找到

$p$ 的鄰域

$u_{p_i}$ 及

$q_i$ 的鄰域

$u_{q_i}$，使得：

$$u_{p_i}\subseteq u_p$$

且：

$$u_{q_i}\cap u_{p_i}=\varphi$$

比如說先取 Hausdorff 保證的，把

$p$ 跟

$q_i$ 隔開的那個

$p$ 的鄰域; 再取

$u_p$ 是開集且

$p\in u_p$ 保證的，可以塞在

$u_p$ 裡面的

$p$ 的鄰域，然後交集起來。因為拓樸空間的開集交集仍然是開集，所以取這個交集為

$u_{p_i}$，就滿足上面的兩個要求了。

這樣造出來的

$u_{p_i}$ 可以發現有：

$$q_i\notin u_{p_i}$$

所以如果接著取：

$$u=\bigcap _{i=1}^N{u}_{p_i}$$

這個

$u$ 就會跟「

$p$ 是

$A$ 的 cluster point」矛盾。因為 1)

$u$ 是一個

$p$ 的鄰域，而且 2)

$u\subseteq u_p$，另外還有 3)

$q_1\dots q_N$ 都不在

$u$ 裡面。既然

$u$ 包在

$u_p$ 中，而且

$u_p$ 跟

$A$ 的交集最多只有

$q_1\dots q_N$，頂多再加上

$p$。但這些除了

$p$ 以外沒有一個在

$u$ 裡面，所以

$u\cap A\setminus \{p\}$ 就沒有元素了。不過既然這樣造出來的

$u$ 又是

$p$ 的鄰域，這樣就不滿足 「

$p$ 是

$A$ 的 cluster point」，所以矛盾。