Metric Space - Completeness

Def (Cauchy Sequence)
假定

$(M,d)$ 是一個 metric space。如果序列

$\{P_n\}$ 滿足：

$$\begin{array}{rl}& \mathrm{\forall }ϵ>0.\mathrm{\exists }N\in \mathbb{N}.\\ & n,m>N\Rightarrow d(P_n,P_m)<ϵ\end{array}$$

白話文就是：當

$n$ 很大的時候，後面大家都會擠在一起。但這樣的序列未必在

$M$ 中有極限存在。比如說

$\mathbb{Q}$ 中的序列到最後可能彼此很近，但有可能收斂到無理數。

Def (Completeness)

$(M,d)$ 是一個 metric space。如果每個

$M$ 中的柯西列都收斂到

$(M,d)$ 中的元素，那麼就稱

$M$ 為 complete

比如說：

$\mathbb{R}$ 是 complete 的; 裝備歐氏距離的

$R^n$ 也是完備的; 任何完備空間的閉集也都是完備的。下面就來證明這件事：

Thm (完備空間的閉集還是完備)

$(M,d)$ 是一個 metric space。則：

$$\begin{array}{rl}& (M,d)\text{ is }\mathbf{complete}\Rightarrow \\ & \mathrm{\forall }\text{ closed set }K\subset M.(K,d)\text{ is }\mathbf{complete}\end{array}$$

這聽起來也很直覺：因為

$K\subset M$，所以每個

$K$ 中的柯西列都是

$M$ 中的柯西列，所以收斂。但是因為

$K$ 是閉集，所以收斂到的點就都會在

$K$ 裡面，然後就發現

$K$ 完備了。

這邊有一個注意事項：完備性不是拓樸性質，所以不會被 homeomorphism 保留。比如說

$(0,1)\simeq \mathbb{R}$，但考慮數列：

$$p_n=(1-\frac{1}{n})$$

很明顯

$p_n$ 是柯西列，

$p_n\to 1$，但是

$1\notin (0,1)$。