# Metric Space - Completeness

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**Def (Cauchy Sequence)**
假定 $(M, d)$ 是一個 *metric space*。如果序列 $\{P_n\}$ 滿足：

$$
\begin{align}
&\forall \epsilon > 0.\exists N \in \mathbb N.\newline
&\quad n,m > N \Rightarrow d(P_n, P_m) < \epsilon
\end{align}
$$

:::

白話文就是：當 $n$ 很大的時候，後面大家都會擠在一起。但這樣的序列未必在 $M$ 中有極限存在。比如說 $\mathbb Q$ 中的序列到最後可能彼此很近，但有可能收斂到無理數。

:::warning
**Def (Completeness)**

$(M, d)$ 是一個 *metric space*。如果每個 $M$ 中的柯西列都收斂到 $(M, d)$ 中的元素，那麼就稱 $M$ 為 *complete*

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比如說：$\mathbb R$ 是 *complete* 的; 裝備歐氏距離的 $R^n$ 也是完備的; 任何完備空間的閉集也都是完備的。下面就來證明這件事：

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**Thm (完備空間的閉集還是完備)**

$(M, d)$ 是一個 *metric space*。則：

$$
\begin{align}
&(M, d)\text{ is } \mathbf{complete} \Rightarrow \newline
&\quad\forall \text{ closed set }K \subset M.(K, d) \text{ is } \mathbf{complete}
\end{align}
$$

:::

這聽起來也很直覺：因為 $K\subset M$，所以每個 $K$ 中的柯西列都是 $M$ 中的柯西列，所以收斂。但是因為 $K$ 是閉集，所以收斂到的點就都會在 $K$ 裡面，然後就發現 $K$ 完備了。

這邊有一個注意事項：==完備性不是拓樸性質==，所以不會被 *homeomorphism* 保留。比如說 $(0, 1) \simeq \mathbb R$，但考慮數列：

$$
p_n = \left(1 - \frac {1}{n}\right)
$$

很明顯 $p_n$ 是柯西列，$p_n \to 1$，但是 $1 \not \in (0, 1)$。