Topological Space - Connectedness (Part 2)

剛剛定義了怎麼樣的空間叫做 connected，接下來要看看拓樸空間的集合的聯通性。直覺上來說，如果一個集合有一個分割，這個分割每一塊都各自屬於某些沒有交集的集合，那他感覺就不太連通。

定義：集合連通

一個集合連「不連通」的意思是：有兩個開集，他們跟集合的交集構成一個集合的 partition。所以看起來就是：

Def (子空間聯通)
假定

$X$ 是一個拓樸空間，

$S\subset X$。若存在兩個開集合

$U,V\subset X$，且這兩個開集合滿足：

$$\begin{array}{r}U\cap V=\varphi \end{array}$$

並且使得這兩個開集與

$S$ 滿足：

1. 把原集合分成兩部分：

$$\text{bbox}[yellow]\begin{array}{r}U\cap S\ne \varphi \\ V\cap S\ne \varphi \end{array}$$

2. 分開的兩部分沒有交集：

$$\text{bbox}[yellow]\begin{array}{r}(U\cap S)\cap (V\cap S)=\varphi \end{array}$$

2. 交集的聯集是該集合：

$$\text{bbox}[yellow]\begin{array}{r}(U\cap S)\cup (V\cap S)=S\end{array}$$

那麼就稱

$S$ 是個聯通的。

之所以不是直接沿用 separation 定義的理由是：如果直接沿用「

$S$ 如果存在 separation 就連通; 否則就不聯通」會出現一些奇怪的狀況。比如說：

$$S=[1,2]\cup [3,4]$$

如果沿用空間 separation 的定義，要找開集

$u,v$ 使得

$S=u\cup v$ 的話，這個

$u\cup v$ 怎麼看都會是開集，但

$S$ 明顯就不看個開集。所以這樣的定義會很奇怪。

連通性會被連續函數保留。更進一步，他會被 homeomorphism 保留。下面介紹這樣的定理：

定理：連續函數保連通

Thm (連續函數保連通)
假定

$f:X\to Y$ 是一個連續函數，其中

$X,Y$ 都是拓樸空間。則：

$$\text{bbox}[pink]\begin{array}{r}X\text{ is connected }\Rightarrow \\ f(X)\text{ is connected}\end{array}$$

假定

$f(X)$ 不連通，而

$U,V\subset Y$ 是兩個滿足不連通定義的那兩個開集。由不連通的定義可知這兩個開集要滿足：

$$f(X)=(f(X)\cap U)\cup (f(X)\cap V)$$

因此：

$$\begin{array}{rl}X& =f^{pre}((f(X)\cap U)\cup (f(X)\cap V))\end{array}$$

然後由 preimage 的定義可以知道：

$$\begin{array}{rl}{f}^{pre}(A\cup B)& =f^{pre}(A)\cup f^{pre}(B)\\ f^{pre}(A\cap B)& =f^{pre}(A)\cap f^{pre}(B)\end{array}$$

所以把上面那行展開，得到：

$$\begin{array}{rl}X& =(X\cap f^{pre}(U))\cup (C\cap f^{pre}(V))\end{array}$$

但因為

$X$ 自己就是母空間，任何集合跟母空間的交集就是自己。所以：

$$X=f^{pre}(U)\cup f^{pre}(V)$$

接著就發現：因為

$U,V$ 是開集且

$f$ 連續，所以

$f^{pre}(U)$ 跟

$f^{pre}(V)$ 都是開集。於是這兩個集合就變成了一個

$X$ 上的 separation。可是前提已經說

$X$ 不連通，因此就矛盾。

連續函數會保留連通性這件事，可以進一步推到中間值定理：

定理：中間值定理

Corollary (中間值定理)
假定

$f:X\to \mathbb{R}$ 是個連續函數，

$X$ 是個連通拓樸空間。則給定任意

$p,q\in X$：

$$\text{bbox}[pink]\begin{array}{rl}& \mathrm{\forall }y\text{ between }f(p),f(q).\\ & \mathrm{\exists }x\in X.f(x)=y\end{array}$$

反證：假定不成立，也就是：

$$\mathrm{\exists }y\text{ between }f(p),f(q).\mathrm{\forall }x\in X.f(x)\ne y$$

不失一般性假定

$f(p)<f(q)$，並為了方便，令

$I=[f(p),f(q)]$ 。這時可以用

$y$ 把

$\mathbb{R}$ 「分成兩段」：

$$\mathbb{R}=(-\mathrm{\infty },y)\cup (y,\mathrm{\infty })$$

接著把上面的東西拉回 preimage：

$$X=\underset{U}{\underbrace{f^{pre}((-\mathrm{\infty },y))}}\cup \underset{V}{\underbrace{f^{pre}((y,\mathrm{\infty }))}}$$

不失一般性，假定

$f(p)<f(q)$，並令

$I=[f(p),f(q)]$。可以證明

$U,V$ 是一個

$X$ 的 separation。因：

1. $U$ 跟
   $V$ 都是開集：因為
   $(-\mathrm{\infty },y)$,
   $(y,\mathrm{\infty })$ 是開集且
   $f$ 連續，所以他們的 preimage 也都是開集。
2. $U$,
   $V$ 均非空：因
   $f(p)\in (-\mathrm{\infty },y)$ 且
   $f(q)\in (y,\mathrm{\infty })$。因此
   $p\in U$ 且
   $q\in V$。
3. $U,V$ 交集為空：如果有元素
   $s$ 存在
   $U\cap V$，則
   $f(s)>y$ 且
   $f(s)<y$，但在實數這是不可能的。

但是

$X$ 存在 separation 與

$X$ 連通相互矛盾。由此得證。

更多性質

接下來的定理描述這樣的直覺：如果一個連通的集合，塞在一個不連通的集合中，那他應該會是被完整的塞在某個塞得下它的完整的空間中。

Thm
假定

$X$ 是一個拓樸空間，假定

$U,V\subset X$ 是兩個沒有交集的開集，且

$A\subset X$ 是連通的。那麼：

$$A\in U\cup V\Rightarrow A\subset U\text{ or }A\subset V$$

聽起來很合理，因為如果

$(A\cap U)\ne \varphi$ 且

$(A\cap V)\ne \varphi$，那麼：

$$A=(A\cap U)\cup (A\cap V)$$

其中

$U,V$ 是兩個不相交的開集。可是這樣

$A$ 就不連通了，於是矛盾。

Corollary
假定

$X$ 是一個拓樸空間，

$A\subset X$ 是一個連通的集合。則：

$$\text{bbox}A\text{ dense in }X\Rightarrow X\text{ is connected}$$

直覺是這樣：如果

$A$ 在

$X$ 裡面很稠密，而

$A$ 又是連通的，那麼

$X$ 應該也要跟著連通。假定沒有，也就是存在

$U,V$ 兩個不相交的非空開集，使得：

$$A\subset X=U\cup V$$

但依照上面的定理，可以知道此時：

$$A\subset U\text{ or }A\subset V$$

但不管

$A$ 在哪一個裡面，都會導致

$V$ 或

$U$ 其中一個跟

$A$ 沒有交集，然後就跟

$A$ 在

$X$ 裡面稠密的前提矛盾。比如說假定

$A\subset U$，則：

$$A\subset U\Rightarrow A\cap V=\varphi$$

但

$V$ 是開集，結果

$V$ 居然跟

$A$ 沒有交集。這就跟稠密的等價條件矛盾了。

Corollary
假定

$X$ 是一個拓樸空間，而且

$A\subset X$ 是一個連通的集合。那麼：

$$A\subseteq B\subseteq \overline{A}\Rightarrow B\text{ is connected}$$

這個直覺是：

$A$ 必定在

$\overline{A}$ 裡面 dense，因為很顯然

$\overline{A}=\overline{A}$。但

$B$ 又比

$\overline{A}$ 更小，所以

$A$ 應該也要在

$B$ 裡面 dense。

正式一點的證明，就是在

$B$ 中任取一個開集

$u_B$。既然

$u_B\subset B\subset \overline{A}$，所以

$u_B\cap A\ne \varphi$ 。因此就得證

$A$ 在

$B$ 裡面 dense。