# Riemann Lebesgue Theorem

:::danger
**Thm (Riemann Lesbegue Theorem)**
假定 $f:[a, b] \to \mathbb R$。則：
$$
\begin{align}
f & \text{ Riemann integrable} \iff \newline
f & \mathbf{\ bounded\ }\text{ and} \newline
& \text{ set of its discontinuous points is a "zero set"}
\end{align}
$$
:::

直觀地來看這個定理：黎曼和就是底乘高，而有界函數的不連續點挑動的幅度不會無限地大，然後 *zero set* 又說「底可以無限地小」，因此這些不連續點對黎曼和的貢獻就可以因為 *zero set* 被壓得很低。不過這只是直觀，實際上這個定理沒有那麼顯然。比如從接下來引入的 *Lebesgue number* 就可以看到：

## Lebesgue Number

:::warning
**Def (Lesbesgue Number)**
假定 $M$ 是個 *metric space*，集合 $A \subset M$， $\mathcal U$ 是一個 $A$ 的 *open cover*。若 $\lambda$ 滿足：

$$
\forall a \in A.\exists u \in \mathcal U.B(a, \lambda) \subset u
$$

則稱 $\lambda$ 是一個 $\mathcal U$ 的 *Lesbegue number*
:::

這個 $\lambda$ 並不是唯一的。假設找到一個 $\lambda$，那麼比它更小半徑的球，應該也會塞在 $B(a, \lambda)$ 裡面，所以也是一個滿足定義的數。

### Compact 必有 Lebesgue Number

:::danger
**Thm (Compact Set)**
假定 $A$ 是一個 *compact set*，則 *Lesbegue number* 存在。
:::

給定一個 $A$ 的 *open cover* $\mathcal U$。假定不存在 *Lebesgue number*，也就是：==有一個元素，不管取半徑多小的球，這個球都會「卡在 $\mathcal U$ 中某些不同的 $u$ 之間」==，也就是：

$$
\exists a \in A.\forall u \in \mathcal U.B(a, \delta) \not \subset u
$$

因為對於任意的 $\delta$，這樣的 $a$ 都存在。所以對於任意 $\delta_n = 1/n$，$n \in \mathbb N$ 形式的 $\delta_n$，在這個前提下都可以找到 $a_n \in A$，讓 $B(a_n, \delta_n)$ 這個開球塞不進任何 $\mathcal U$ 中的開集：

$$
\forall \delta_n.\exists a_n \in A.\forall u \in \mathcal U.B(a_n, \delta_n) \not \subset u
$$

把這樣的 $a_n$ 收集成一個數列 $\{a_n\}_{n = 1}^{\infty} \subset A$。因為 $A$ *compact*，所以存在收斂子序列 $\{a_{n_k}\}\subset \{a_n\}$，收斂到某個 $A$ 中的點。也就是：

$$\exists a \in A.a_{n_k} \to a$$

另外一方面，因為 $a \in A$，且 $\mathcal U$ 是個 *open cover*。所以可以找到一個包住 $a$ 的開集：

$$
\exists.u^* \in \mathcal U.a \in \mathcal U
$$

又因為這個 $u^*$ 是開集，且 $a \in u^*$。所以可以找到一個既包住 $a$ 又可以塞在 $u*$ 裡面的開球：

$$
\exists \epsilon > 0.B(a, \epsilon) \subset u^*
$$

這時候就可以開始生矛盾出來：因為 $a_{n_{k}}$ 可以跟 $a$ 靠得很近， $\delta_{n_k}$ 又可以任意小。所以感覺上當這兩個都小過「某一個程度時」，$B(a_{n_k}, \delta_{n_k})$ 就會可以塞在 $B(a, \epsilon)$ 裡面，然後就矛盾了。比如說可以令那個「某一個程度」是 $\epsilon / 2$：

1. 因為 $a_{n_k} \to a$，所以存在 $N_1$，使得任意 $n_k > N_1$ 有：

$$
|a_{n_k} - a| < \frac {\epsilon}{2}
$$

2. 因為 $1/n_{k} \to 0$，所以存在 $N_2$，使得任意 $n_k > N_2$ 有

$$
\delta_{n_k} = \frac {1}{n_k} < \frac {\epsilon}{2}
$$

這時，令：

$$
N = \max \{N_1, N_2\}
$$

然後就發現：這時只要 $n_k > N$， $B(a_{n_k}, \delta_{n_k})$ 的球心 $a_{n_k}$ 離 $B(a, \epsilon)$ 的距離比 $\epsilon/2$ 小，半徑 $\delta_{n_k}$ 也比 $\epsilon/2$ 小，所以整顆球怎麼樣也不會超出 $B(a, \epsilon)$ 的範圍。但 $B(a, \epsilon)$ 在 $u^* \subset \mathcal U$ 中，然後就爆掉了。這個過程用比較數學的寫法是：對於任意 $y \in B(a_{n_k}, \delta_{n_k})$，由三角不等式有：

$$
|y - a| \leq \underbrace{|y - a_{n_k}|}_{<\ \delta_{n_k}\ =\ \epsilon/2} + \underbrace{|a_{n_k} - a|}_{<\ \epsilon / 2} < \epsilon
$$

因此：

$$
B(n_{k}, \delta_{n_k}) \subset B(a, \epsilon) \subset u^*
$$

但前面反証時假定：沒有任何半徑的球塞得進去任何 $\mathcal U$ 中的開集，所以就矛盾。

## Zero Set

:::warning
**Def (Zero Set)**
假定 $S \subset \mathbb R$。若對於任意 $\epsilon > 0$，都存在一個 *open cover*

$$
\mathcal U = \{(a_i, b_i)\}_{i = 1}^{\infty}
$$

使得：

$$
S \subset \bigcup_{i = 1}^{\infty}(a_i, b_i)
$$

且：

$$
\sum_{i = 1}^{\infty}(b_i - a_i)
< \epsilon
$$

就稱 $S$ 是一個 *zero set*。
:::

這種「用開區間蓋集合」的概念會在更後面的測度理論被拿來用到。在測度論的語言中，會說這種「可以用總長任意短的開區間蓋著的集合」叫做「測度為 0」。接下來看看一些 *zero set* 的實例：

### 一些 Zero Set 的例子

:::danger
**Observation**

**++*zero set* 的子集也是 *zero set*++**
假定 $A$ 是個 *zero set*，則：

$$
\forall A' \subset A.A' \text{ is zero set}
$$

**++有限集合必定是 *zero set*++**

$$
|A| < \infty \Rightarrow A \text{ is zero set}
$$

**++可數集必定是 *zero set*++**

$$
A \text{ is countable} \Rightarrow A \text{ is zero set}
$$

**++可數個 *zero set* 的聯集必定是 *zero set*++**

假定 $A_i$ 是 *zero set*，那麼：

$$
\bigcup_{i = 1}^{\infty} A_i
$$

也是個 *zero set*
:::

前兩個很顯然：第一個找包住 $A$ 的那個 *open cover* 去包 $A'$ 就可以了; 第二個每個人找長度是 $\epsilon /|A|$ 的鄰域去包。

第三個比較有趣，不過可以用下面的方法構造：假定 $A = \{x_1 \dots x_n \dots\}$，那麼令：
和

$$
(a_i, b_i) = \left(x_i - \frac {\epsilon}{2^i}, x_i + \frac {\epsilon}{2^i}\right)
$$

總長就是 $2\epsilon$。

最後一個用類似的作法：任意 $A_i$ 都找得到總長比 $\epsilon/2^i$ 小的 *open cover*，所以加起來就比 $2\epsilon$ 小。

## Oscillation

:::warning
**Def (Oscillation)**
一個函數 $f$ 在 $x$ 的 *oscillation* 定義為：
$$
osc(x, f) = \limsup_{t \to x}f(t) - \liminf_{t \to x}f(t)
$$

其中：

$$
\limsup_{t \to x} f(t) = \lim_{\delta \to 0}\left(\sup_{t \in (x - \delta, x + \delta)} f(t)\right)
$$

$$
\liminf_{t \to x} f(t) = \lim_{\delta \to 0}\left(\inf_{t \in (x - \delta, x + \delta)} f(t)\right)
$$

:::

這個定義好的地方是：很有上和跟下和的差值的既視感。除此之外，還有一件好事：

:::danger
**Lemma (oscillation 和連續性的關係)**
$$
f \mathbf{\ continuous\ }\text{ at } x \iff osc(x, f) = 0
$$
:::

這提供一個連結不連續點跟上下和差的一個直覺：因為如果把上下和的 $\Delta x_i$ 都提出來，那麼就像是：

$$
U(f, P) - L(f, P) = \sum_{i}\bigg(\sup_{x \in [x_{i-1}, x_i]} f(x) - \inf_{x \in [x_{i-1}, x_i]} f(x)\bigg)(x_i - x_{i-1})
$$

所以，若有不連續點，直覺來說，當他所屬的區間夠小時，那個區間對黎曼和的貢獻感覺就會接近 $osc(x, f) \cdot \Delta x_i$。

## Riemann-Lebesgue Theorem

:::danger
**Thm (Riemann Lesbegue Theorem)**
假定 $f:[a, b] \to \mathbb R$。則：
$$
\begin{align}
f & \mathbf{\ Riemann\ integrable} \iff \newline
f & \mathbf{\ bounded\ }\text{ and} \newline
& \text{ set of its discontinuous points is a "zero set"}
\end{align}
$$
:::

因為有界函數的不連續點，都是有限震盪的那些點，所以假定集合 $D$ 表示那些不連續點，也就是：

$$
D = \{x \in [a, b] | f \text{ is not cont. on }x\}
$$

### 左往右
==$\Rightarrow$==：直覺是：如果 $\|P\|$ 夠小時，上和跟下和的差距就可以任意小，因此不連續部分貢獻的上下和差距必定不能差太大。而這部分貢獻的差，直觀來看就是底乘高。所以除掉高之後，這個任意小的能力就可以跟 *zero set* 的定義有所連結。

為了證明方便，把這些不連續點進行分類：

$$
D_k = \bigg\{x \in D | osc(x, f) \geq \frac {1}{k}\bigg\}
$$

其中 $k \in \mathbb N$。則明顯地：

$$
D = \bigcup_{i = 1}^{\infty}D_k
$$

如果能證明 $D_k$ 是 *zero set*，就可以由「$D$ 是可數個 *zero set* 的聯集」證明 $D$ 也是 *zero set*。

首先，因為 $f$ 黎曼可積。因此對於任意 $\epsilon$，都存在一個分割 $P$，使得：

$$
U(f, P) - L(f, P) < \text{small}
$$

這個 *small* 是什麼是可以訂的，不過為了後面的彈性就先保留。現在有一個分割 $P$，透過這個 $P$，可以把 $D_k$ 中的點分成兩類：

1. 這個點恰好是 $[x_{i - 1}, x_i]$ 的端點
2. 這個點落在 $[x_{i - 1}, x_i]$ 內部

但不管哪一個，都可以找到任意小的 *cover* 去蓋他們。下面各自說明：

==CASE 1.== 對於那些 $D_k$ 中恰好落在 $P$ 的端點的那些點而言，這樣的端點對每一個分割都是有限數目的點，所以不管所有端點是不是在 $D_k$ 中，都把他們通通包進來。接下來就宣稱：就算把那些不在 $D_k$ 中，但是 $P$ 裡面的端點的點通通包進來，還是可以任意小地蓋住這所有的點。比如說，考慮：

$$
I = \bigcup_{i = 1}^{n}\left[ x_i - \frac {\epsilon}{2N}, x_i + \frac {\epsilon}{2N}\right]
$$

其中，$N$ 是 $P$ 中端點的數目。那麼 $I$ 的總長就是 $\epsilon / 2$，$\epsilon$ 要多小有多小。這就造出了一個蓋住所有端點的方法。

==CASE 2.== 另外一方面，對於那些不在邊界的不連續點，把他們歸類：令 $d_{ij}\in D_k$ 表示地 $i$ 個區間 $[x_{i-1}, x_i] = I_i$ 中，第 $j$ 個屬於 $I_i$ 的點。對於任意 $d_{ij}$ 而言，由 $osc$ 的定義，可知：

$$
\frac {1}{k} \leq osc(d_{ij}, f) \leq \underbrace{\sup_{x\in I_i}f(x)}_{M_i} - \underbrace{\inf_{x\in I_i}f(x)}_{m_i}
$$

> 第二個不等式來自「全國賽比區賽競爭」：$osc$ 是在 $d_{ij}$ 附近任意小的區間取 $\sup f(t)$ 及 $\inf f(t)$ 的差，但與之競爭的極值有整個 $I_i$ 區間的所有值，競爭者比較多，所以差距較大。

既然在這樣不連續的狀況下，上下和的差距還是可以任意小，就表示這些不連續點貢獻的上下和差不可能太大，至少直覺地看：乘上所在區間的寬度後，不能大過上下和差距的那個「任意小」。把這樣的概念用進去估計，找出那些包含了不連續點的子區間，並且把他們長度加總：

$$
\begin{align}
\underbrace{\sum_{i_k} \frac {1}{k} \Delta x_{i_k}}_{(*)} \leq \sum_{i_k} osc(d_{i_kj})\Delta x_{i_k} &\leq \sum_{i_k}(M_{i_k} - m_{i_k})\Delta x_{i_k}
\newline
&\leq \underbrace{U(f, P) - L(f, P)}_{\text{small}}
\end{align}
$$

最關鍵的就是最左方的那坨 $(*)$，因為把 $1/k$ 提出去，就是「$P$ 當中包含了不連續點的那些子區間的總長」。接著又發現不等號最右方可以任意小，所以就令她：

$$
\begin{align}
\underbrace{\sum_{i_k} \frac {1}{k} \Delta x_{i_k}}_{(*)} \leq \sum_{i_k} osc(d_{i_kj})\Delta x_{i_k} &\leq \sum_{i_k}(M_{i_k} - m_{i_k})\Delta x_{i_k}
\newline
&\leq \underbrace{U(f, P) - L(f, P)}_{\text{small}}
\newline
& < \frac {\epsilon}{2k}
\end{align}
$$

這樣一來，就有：

$$
\underbrace{\sum_{i_k} \frac {1}{k} \Delta x_{i_k}}_{(*)} < \frac {\epsilon}{2k} \Rightarrow \sum_{i_k} \Delta x_{i_k} < \frac {\epsilon}{2}
$$

也就是說「$P$ 當中包含了不連續點的那些子區間的總長」可以隨著分割變細、上下和差距任意地小，而跟著任意地小。因此，取 *cover*，

$$
\bigcup_{i_k}I_{i_k}
$$

就形成了可以蓋住所有不連續點，而且總長能夠任意小的覆蓋。由此得證這些點也是 *zero set*。最後，總和==CASE 1.== 及 ==CASE 2.==，得證 $D_k$ 是個 *zero set*，進而得證 $D$ 是個 *zero set*。

### 右往左

==$\Leftarrow$==：上下和或黎曼和直觀地來說就是「底乘高」，而 *zero set* 暗示了底的部分可以任意小，所以就可以把不連續點的有限震盪對黎曼和的貢獻壓住。剩下連續的部分畢竟是連續，只要取的區間夠小，相鄰的上界與下界就必定不會差太大。所以只要分割取得夠細，那麼他們對上下和的貢獻也可以任意小。既然兩個都可以任意小，那麼整個上下和之間的差就可以任意小了。

這邊的 *partition* 用「$D$ 是 *zero set*」開始造。因為是 *zero set*，所以用 *zero set* 的定義知道：存在一個 *cover*：

$$
\{J_k = (a_k, b_k)\}
$$

其中，這個 *cover* 的總長可以任意小。即：

$$
\sum_k (b_k - a_k) < \text{small}_1
$$

蓋完這些不連續的部分之後，開始處理那些連續的點。因為連續，所以對於任意不在那些震盪點的 $x$，即：

$$
x \in [a, b] \setminus D
$$

都可以找到一個 $x$ 的開鄰域 $V_x$，使得這個鄰域內 $f(x)$ 的上界 $M_i$ 與下界 $m_i$ 可以任意小：

$$
\begin{align}
\forall x &\in [a, b] \setminus D.\exists V_x.
\newline
&\underbrace{\sup_{t \in V_x} f(t)}_{M_x} - \underbrace{\inf_{t \in V_x}f(t)}_{m_x} \leq \text{small}_2
\end{align}
$$

這樣一來，所有的 $V_x$ 跟所有的 $\{J_k\}$ 就形成一個 *cover*：

$$
[a, b] \subset \left(\bigcup J_k\right) \cup \left(\bigcup Vx\right)
$$

既然造出了一個 *open cover*。接下來很直覺的想到要用實數上的閉區間 *compact*。==因為 $[a, b]$ 是 *compact*==，所以有兩件好事：

1. 依照 *compact* 的定義，任意 *cover* 存在 *finite subcover*。所以可以把上述的 *open cover* 簡化成有限數目的 *cover*。

2. 因為 $[a, b]$ 是 *compact set*，所以任何一個 *open cover* 都存在一個有限的 *subcover*，所以存在一個 *Lebesgue number* $\delta$，使得對於任意 $x \in [a, b]$：

$$
B(x, \delta) \subset J_k \text{ or } B(x, \delta)\subset V_x
$$

這樣對估計黎曼和的益處是：假定現在有一個 $\|P\| < \delta$ 的分割 $P$，那麼這個分割中的每個子區間都會完整地塞某個在 $V_x$ 或 某個 $J_k$ 之中。既然塞在裡面，就可以發動他們各自的性質。

為了做到這件事，計算黎曼和的時候，就把分割 $P$ 中的子區間 $I_i = [p_{i-1}, p_i]$ 分成兩類：會完整被包在某個 $J_k$ 的子區間的，以及會整個包在某個 $V_x$ 的。即：

$$
\begin{align}
&U(f, P) - L(f, P)
\newline
& = \underbrace{\sum_{I_i \subset J_k}(M_i - m_i)\Delta x_i}_{A} + \underbrace{\sum_{I_i \subset V_x}(M_i - m_i)\Delta x_i}_{B}
\end{align}
$$

對於 $A$，他對黎曼和的貢獻可以用有界的那個上界來估計：

$$
\begin{align}
B = \sum_{I_i \subset J_k} (M_i - m_i) \Delta x_i \leq (2M) \sum_{i \in J_k} \Delta x_i
\end{align}
$$

其中：

$$
|f(x)| < M \quad \forall x \in [a, b]
$$

接下來要想辦法讓 $\sum\Delta x_i$ 很小。這時就發現一個用的事： ==$I_i \subset J_k$，而且 $J_k$ 就是造來蓋住 *zero set* 的那個 *cover*。而由 *zero set* 的定義知道這樣的 $J_k$ 總長是可以任意小。== 也就是說：如果令 $J_k$ 的總長很小，而所有 $P$ 中滿足 $I_i \subset J_k$ 區間長度又不長於 $J_k$，那就可以把對黎曼和的貢獻壓得任意小。比如說，如果令：

$$
\sum_k |J_k| = \sum_k (b_k - a_k) < \frac {\epsilon}{4M}
$$

那麼就有：

$$
\begin{align}
(2M) \sum_{I_i \in J_k} \Delta x_i &= \sum_{I_i \subset J_k}(p_i - p_{i - 1})
\newline
&\leq \sum_{I_i \subset J_k}(b_k - a_k)
\newline
&\leq \sum_{k}(b_k - a_k)
\newline
&< (2M)\frac {\epsilon}{4M} = \frac {\epsilon}{2}
\end{align}
$$

另外一方面，$I_i \in V_x$ 的狀況，

$$
\begin{align}
B = &\sum_{I_i \subset V_x} (M_x - m_x)\Delta x_i
\newline
&\leq \sum_{I_i \subset V_x}(\text{small}_2)\Delta x_i = (\text{small}_2)\sum_{I_i \subset V_x} \Delta x_i
\end{align}
$$

因為挑選 $V_x$ 時，知道這是能夠自由控制內部的上界扣掉下界是多少的：

$$
M_x - m_x < \text{small}_2 = \frac {\epsilon}{2(b - a)}
$$

因此就有：

$$
\begin{align}
B &\leq (\text{small}_2)\left(\sum_{I_i \subset V_x} \Delta x_i\right)
\newline
& \leq (\text{small})_2 \left(\sum_{i} \Delta x_i\right)
\newline
& < \frac {\epsilon}{2(b - a)}\left(\sum_{i} \Delta x_i\right)
\newline
&= \frac {\epsilon}{2(b - a)}(b - a) = \frac {\epsilon}{2}
\end{align}
$$

綜合以上，上和及下和的差就是：

$$
\begin{align}
&U(f, P) - L(f, P)
\newline
&= A + B
\newline
& < \frac {\epsilon}{2} + \frac {\epsilon}{2} = \epsilon
\end{align}
$$