Riemann Lebesgue Theorem

Thm (Riemann Lesbegue Theorem)
假定

$f:[a,b]\to \mathbb{R}$。則：

$$\begin{array}{rl}f& \text{ Riemann integrable}⟺\\ f& \mathbf{bounded}\text{ and}\\ & \text{ set of its discontinuous points is a "zero set"}\end{array}$$

直觀地來看這個定理：黎曼和就是底乘高，而有界函數的不連續點挑動的幅度不會無限地大，然後 zero set 又說「底可以無限地小」，因此這些不連續點對黎曼和的貢獻就可以因為 zero set 被壓得很低。不過這只是直觀，實際上這個定理沒有那麼顯然。比如從接下來引入的 Lebesgue number 就可以看到：

Lebesgue Number

Def (Lesbesgue Number)
假定

$M$ 是個 metric space，集合

$A\subset M$，

$\mathcal{U}$ 是一個

$A$ 的 open cover。若

$\lambda$ 滿足：

$$\mathrm{\forall }a\in A.\mathrm{\exists }u\in \mathcal{U}.B(a,\lambda )\subset u$$

則稱

$\lambda$ 是一個

$\mathcal{U}$ 的 Lesbegue number

這個

$\lambda$ 並不是唯一的。假設找到一個

$\lambda$，那麼比它更小半徑的球，應該也會塞在

$B(a,\lambda )$ 裡面，所以也是一個滿足定義的數。

Compact 必有 Lebesgue Number

Thm (Compact Set)
假定

$A$ 是一個 compact set，則 Lesbegue number 存在。

給定一個

$A$ 的 open cover

$\mathcal{U}$。假定不存在 Lebesgue number，也就是：有一個元素，不管取半徑多小的球，這個球都會「卡在

$\mathcal{U}$ 中某些不同的

$u$ 之間」，也就是：

$$\mathrm{\exists }a\in A.\mathrm{\forall }u\in \mathcal{U}.B(a,\delta )\not\subset u$$

因為對於任意的

$\delta$，這樣的

$a$ 都存在。所以對於任意

${\delta }_n=1/n$，

$n\in \mathbb{N}$ 形式的

${\delta }_n$，在這個前提下都可以找到

$a_n\in A$，讓

$B(a_n,{\delta }_n)$ 這個開球塞不進任何

$\mathcal{U}$ 中的開集：

$$\mathrm{\forall }{\delta }_n.\mathrm{\exists }{a}_n\in A.\mathrm{\forall }u\in \mathcal{U}.B(a_n,{\delta }_n)\not\subset u$$

把這樣的

$a_n$ 收集成一個數列

$\{a_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}\subset A$。因為

$A$ compact，所以存在收斂子序列

$\{a_{n_k}\}\subset \{a_n\}$，收斂到某個

$A$ 中的點。也就是：

$$\mathrm{\exists }a\in A.a_{n_k}\to a$$

另外一方面，因為

$a\in A$，且

$\mathcal{U}$ 是個 open cover。所以可以找到一個包住

$a$ 的開集：

$$\mathrm{\exists }.u^{\ast }\in \mathcal{U}.a\in \mathcal{U}$$

又因為這個

$u^{\ast }$ 是開集，且

$a\in u^{\ast }$。所以可以找到一個既包住

$a$ 又可以塞在

$u\ast$ 裡面的開球：

$$\mathrm{\exists }ϵ>0.B(a,ϵ)\subset u^{\ast }$$

這時候就可以開始生矛盾出來：因為

$a_{n_k}$ 可以跟

$a$ 靠得很近，

${\delta }_{n_k}$ 又可以任意小。所以感覺上當這兩個都小過「某一個程度時」，

$B(a_{n_k},{\delta }_{n_k})$ 就會可以塞在

$B(a,ϵ)$ 裡面，然後就矛盾了。比如說可以令那個「某一個程度」是

$ϵ/2$：

1. 因為

   $a_{n_k}\to a$，所以存在
   $N_1$，使得任意
   $n_k>N_1$ 有：
   $$|a_{n_k}-a|<\frac{ϵ}{2}$$

2. 因為

   $1/n_k\to 0$，所以存在
   $N_2$，使得任意
   $n_k>N_2$ 有
   $${\delta }_{n_k}=\frac{1}{n_k}<\frac{ϵ}{2}$$

這時，令：

$$N=max\{N_1,N_2\}$$

然後就發現：這時只要

$n_k>N$，

$B(a_{n_k},{\delta }_{n_k})$ 的球心

$a_{n_k}$ 離

$B(a,ϵ)$ 的距離比

$ϵ/2$ 小，半徑

${\delta }_{n_k}$ 也比

$ϵ/2$ 小，所以整顆球怎麼樣也不會超出

$B(a,ϵ)$ 的範圍。但

$B(a,ϵ)$ 在

$u^{\ast }\subset \mathcal{U}$ 中，然後就爆掉了。這個過程用比較數學的寫法是：對於任意

$y\in B(a_{n_k},{\delta }_{n_k})$，由三角不等式有：

$$|y-a|\le \underset{<{\delta }_{n_k}=ϵ/2}{\underbrace{|y-a_{n_k}|}}+\underset{<ϵ/2}{\underbrace{|a_{n_k}-a|}}<ϵ$$

因此：

$$B(n_k,{\delta }_{n_k})\subset B(a,ϵ)\subset u^{\ast }$$

但前面反証時假定：沒有任何半徑的球塞得進去任何

$\mathcal{U}$ 中的開集，所以就矛盾。

Zero Set

Def (Zero Set)
假定

$S\subset \mathbb{R}$。若對於任意

$ϵ>0$，都存在一個 open cover

$$\mathcal{U}=\{(a_i,b_i){\}}_{i=1}^{\mathrm{\infty }}$$

使得：

$$S\subset \bigcup _{i=1}^{\mathrm{\infty }}(a_i,b_i)$$

且：

$$\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}(b_i-a_i)<ϵ$$

就稱

$S$ 是一個 zero set。

這種「用開區間蓋集合」的概念會在更後面的測度理論被拿來用到。在測度論的語言中，會說這種「可以用總長任意短的開區間蓋著的集合」叫做「測度為 0」。接下來看看一些 zero set 的實例：

一些 Zero Set 的例子

Observation

zero set 的子集也是 zero set
假定

$A$ 是個 zero set，則：

$$\mathrm{\forall }{A}^{\prime }\subset A.A^{\prime }\text{ is zero set}$$

有限集合必定是 zero set

$$|A|<\mathrm{\infty }\Rightarrow A\text{ is zero set}$$

可數集必定是 zero set

$$A\text{ is countable}\Rightarrow A\text{ is zero set}$$

可數個 zero set 的聯集必定是 zero set

假定

$A_i$ 是 zero set，那麼：

$$\bigcup _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_i$$

也是個 zero set

前兩個很顯然：第一個找包住

$A$ 的那個 open cover 去包

$A^{\prime }$ 就可以了; 第二個每個人找長度是

$ϵ/|A|$ 的鄰域去包。

第三個比較有趣，不過可以用下面的方法構造：假定

$A=\{x_1\dots x_n\dots \}$，那麼令：
和

$$(a_i,b_i)=(x_i-\frac{ϵ}{2^i},x_i+\frac{ϵ}{2^i})$$

總長就是

$2ϵ$。

最後一個用類似的作法：任意

$A_i$ 都找得到總長比

$ϵ/2^i$ 小的 open cover，所以加起來就比

$2ϵ$ 小。

Oscillation

Def (Oscillation)
一個函數

$f$ 在

$x$ 的 oscillation 定義為：

$$osc(x,f)=\underset{t\to x}{lim sup}f(t)-\underset{t\to x}{lim inf}f(t)$$

其中：

$$\underset{t\to x}{lim sup}f(t)=\underset{\delta \to 0}{lim}(\underset{t\in (x-\delta ,x+\delta )}{sup}f(t))$$

$$\underset{t\to x}{lim inf}f(t)=\underset{\delta \to 0}{lim}(\underset{t\in (x-\delta ,x+\delta )}{inf}f(t))$$

這個定義好的地方是：很有上和跟下和的差值的既視感。除此之外，還有一件好事：

Lemma (oscillation 和連續性的關係)

$$f\mathbf{continuous}\text{ at }x⟺osc(x,f)=0$$

這提供一個連結不連續點跟上下和差的一個直覺：因為如果把上下和的

$\mathrm{\Delta }{x}_i$ 都提出來，那麼就像是：

$$U(f,P)-L(f,P)=\sum _i(\underset{x\in [x_{i-1},x_i]}{sup}f(x)-\underset{x\in [x_{i-1},x_i]}{inf}f(x))(x_i-x_{i-1})$$

所以，若有不連續點，直覺來說，當他所屬的區間夠小時，那個區間對黎曼和的貢獻感覺就會接近

$osc(x,f)\cdot \mathrm{\Delta }{x}_i$。

Riemann-Lebesgue Theorem

Thm (Riemann Lesbegue Theorem)
假定

$f:[a,b]\to \mathbb{R}$。則：

$$\begin{array}{rl}f& \mathbf{Riemann}\mathbf{integrable}⟺\\ f& \mathbf{bounded}\text{ and}\\ & \text{ set of its discontinuous points is a "zero set"}\end{array}$$

因為有界函數的不連續點，都是有限震盪的那些點，所以假定集合

$D$ 表示那些不連續點，也就是：

$$D=\{x\in [a,b]|f\text{ is not cont. on }x\}$$

左往右

$\Rightarrow$：直覺是：如果

$\Vert P\Vert$ 夠小時，上和跟下和的差距就可以任意小，因此不連續部分貢獻的上下和差距必定不能差太大。而這部分貢獻的差，直觀來看就是底乘高。所以除掉高之後，這個任意小的能力就可以跟 zero set 的定義有所連結。

為了證明方便，把這些不連續點進行分類：

$$D_k=\{x\in D|osc(x,f)\ge \frac{1}{k}\}$$

其中

$k\in \mathbb{N}$。則明顯地：

$$D=\bigcup _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{D}_k$$

如果能證明

$D_k$ 是 zero set，就可以由「

$D$ 是可數個 zero set 的聯集」證明

$D$ 也是 zero set。

首先，因為

$f$ 黎曼可積。因此對於任意

$ϵ$，都存在一個分割

$P$，使得：

$$U(f,P)-L(f,P)<\text{small}$$

這個 small 是什麼是可以訂的，不過為了後面的彈性就先保留。現在有一個分割

$P$，透過這個

$P$，可以把

$D_k$ 中的點分成兩類：

1. 這個點恰好是
   $[x_{i-1},x_i]$ 的端點
2. 這個點落在
   $[x_{i-1},x_i]$ 內部

但不管哪一個，都可以找到任意小的 cover 去蓋他們。下面各自說明：

CASE 1. 對於那些

$D_k$ 中恰好落在

$P$ 的端點的那些點而言，這樣的端點對每一個分割都是有限數目的點，所以不管所有端點是不是在

$D_k$ 中，都把他們通通包進來。接下來就宣稱：就算把那些不在

$D_k$ 中，但是

$P$ 裡面的端點的點通通包進來，還是可以任意小地蓋住這所有的點。比如說，考慮：

$$I=\bigcup _{i=1}^n[x_i-\frac{ϵ}{2N},x_i+\frac{ϵ}{2N}]$$

其中，

$N$ 是

$P$ 中端點的數目。那麼

$I$ 的總長就是

$ϵ/2$，

$ϵ$ 要多小有多小。這就造出了一個蓋住所有端點的方法。

CASE 2. 另外一方面，對於那些不在邊界的不連續點，把他們歸類：令

$d_{ij}\in D_k$ 表示地

$i$ 個區間

$[x_{i-1},x_i]=I_i$ 中，第

$j$ 個屬於

$I_i$ 的點。對於任意

$d_{ij}$ 而言，由

$osc$ 的定義，可知：

$$\frac{1}{k}\le osc(d_{ij},f)\le \underset{M_i}{\underbrace{\underset{x\in I_i}{sup}f(x)}}-\underset{m_i}{\underbrace{\underset{x\in I_i}{inf}f(x)}}$$

第二個不等式來自「全國賽比區賽競爭」：

$osc$ 是在

$d_{ij}$ 附近任意小的區間取

$supf(t)$ 及

$inff(t)$ 的差，但與之競爭的極值有整個

$I_i$ 區間的所有值，競爭者比較多，所以差距較大。

既然在這樣不連續的狀況下，上下和的差距還是可以任意小，就表示這些不連續點貢獻的上下和差不可能太大，至少直覺地看：乘上所在區間的寬度後，不能大過上下和差距的那個「任意小」。把這樣的概念用進去估計，找出那些包含了不連續點的子區間，並且把他們長度加總：

$$\begin{array}{rl}\underset{(\ast )}{\underbrace{\sum _{i_k}\frac{1}{k}\mathrm{\Delta }{x}_{i_k}}}\le \sum _{i_k}osc(d_{i_{k}j})\mathrm{\Delta }{x}_{i_k}& \le \sum _{i_k}(M_{i_k}-m_{i_k})\mathrm{\Delta }{x}_{i_k}\\ & \le \underset{\text{small}}{\underbrace{U(f,P)-L(f,P)}}\end{array}$$

最關鍵的就是最左方的那坨

$(\ast )$，因為把

$1/k$ 提出去，就是「

$P$ 當中包含了不連續點的那些子區間的總長」。接著又發現不等號最右方可以任意小，所以就令她：

$$\begin{array}{rl}\underset{(\ast )}{\underbrace{\sum _{i_k}\frac{1}{k}\mathrm{\Delta }{x}_{i_k}}}\le \sum _{i_k}osc(d_{i_{k}j})\mathrm{\Delta }{x}_{i_k}& \le \sum _{i_k}(M_{i_k}-m_{i_k})\mathrm{\Delta }{x}_{i_k}\\ & \le \underset{\text{small}}{\underbrace{U(f,P)-L(f,P)}}\\ & <\frac{ϵ}{2k}\end{array}$$

這樣一來，就有：

$$\underset{(\ast )}{\underbrace{\sum _{i_k}\frac{1}{k}\mathrm{\Delta }{x}_{i_k}}}<\frac{ϵ}{2k}\Rightarrow \sum _{i_k}\mathrm{\Delta }{x}_{i_k}<\frac{ϵ}{2}$$

也就是說「

$P$ 當中包含了不連續點的那些子區間的總長」可以隨著分割變細、上下和差距任意地小，而跟著任意地小。因此，取 cover，

$$\bigcup _{i_k}{I}_{i_k}$$

就形成了可以蓋住所有不連續點，而且總長能夠任意小的覆蓋。由此得證這些點也是 zero set。最後，總和CASE 1. 及 CASE 2.，得證

$D_k$ 是個 zero set，進而得證

$D$ 是個 zero set。

右往左

$\Leftarrow$：上下和或黎曼和直觀地來說就是「底乘高」，而 zero set 暗示了底的部分可以任意小，所以就可以把不連續點的有限震盪對黎曼和的貢獻壓住。剩下連續的部分畢竟是連續，只要取的區間夠小，相鄰的上界與下界就必定不會差太大。所以只要分割取得夠細，那麼他們對上下和的貢獻也可以任意小。既然兩個都可以任意小，那麼整個上下和之間的差就可以任意小了。

這邊的 partition 用「

$D$ 是 zero set」開始造。因為是 zero set，所以用 zero set 的定義知道：存在一個 cover：

$$\{J_k=(a_k,b_k)\}$$

其中，這個 cover 的總長可以任意小。即：

$$\sum _k(b_k-a_k)<{\text{small}}_1$$

蓋完這些不連續的部分之後，開始處理那些連續的點。因為連續，所以對於任意不在那些震盪點的

$x$，即：

$$x\in [a,b]\setminus D$$

都可以找到一個

$x$ 的開鄰域

$V_x$，使得這個鄰域內

$f(x)$ 的上界

$M_i$ 與下界

$m_i$ 可以任意小：

$$\begin{array}{rl}\mathrm{\forall }x& \in [a,b]\setminus D.\mathrm{\exists }{V}_x.\\ & \underset{M_x}{\underbrace{\underset{t\in V_x}{sup}f(t)}}-\underset{m_x}{\underbrace{\underset{t\in V_x}{inf}f(t)}}\le {\text{small}}_2\end{array}$$

這樣一來，所有的

$V_x$ 跟所有的

$\{J_k\}$ 就形成一個 cover：

$$[a,b]\subset (\bigcup J_k)\cup (\bigcup Vx)$$

既然造出了一個 open cover。接下來很直覺的想到要用實數上的閉區間 compact。因為

$[a,b]$ 是 compact，所以有兩件好事：

1. 依照 compact 的定義，任意 cover 存在 finite subcover。所以可以把上述的 open cover 簡化成有限數目的 cover。

2. 因為

   $[a,b]$ 是 compact set，所以任何一個 open cover 都存在一個有限的 subcover，所以存在一個 Lebesgue number
   $\delta$，使得對於任意
   $x\in [a,b]$：
   $$B(x,\delta )\subset J_k\text{ or }B(x,\delta )\subset V_x$$

這樣對估計黎曼和的益處是：假定現在有一個

$\Vert P\Vert <\delta$ 的分割

$P$，那麼這個分割中的每個子區間都會完整地塞某個在

$V_x$ 或 某個

$J_k$ 之中。既然塞在裡面，就可以發動他們各自的性質。

為了做到這件事，計算黎曼和的時候，就把分割

$P$ 中的子區間

$I_i=[p_{i-1},p_i]$ 分成兩類：會完整被包在某個

$J_k$ 的子區間的，以及會整個包在某個

$V_x$ 的。即：

$$\begin{array}{rl}& U(f,P)-L(f,P)\\ & =\underset{A}{\underbrace{\sum _{I_i\subset J_k}(M_i-m_i)\mathrm{\Delta }{x}_i}}+\underset{B}{\underbrace{\sum _{I_i\subset V_x}(M_i-m_i)\mathrm{\Delta }{x}_i}}\end{array}$$

對於

$A$，他對黎曼和的貢獻可以用有界的那個上界來估計：

$$\begin{array}{r}B=\sum _{I_i\subset J_k}(M_i-m_i)\mathrm{\Delta }{x}_i\le (2M)\sum _{i\in J_k}\mathrm{\Delta }{x}_i\end{array}$$

其中：

$$|f(x)|<M\mathrm{\forall }x\in [a,b]$$

接下來要想辦法讓

$\sum \mathrm{\Delta }{x}_i$ 很小。這時就發現一個用的事：

$I_i\subset J_k$，而且

$J_k$ 就是造來蓋住 zero set 的那個 cover。而由 zero set 的定義知道這樣的

$J_k$ 總長是可以任意小。 也就是說：如果令

$J_k$ 的總長很小，而所有

$P$ 中滿足

$I_i\subset J_k$ 區間長度又不長於

$J_k$，那就可以把對黎曼和的貢獻壓得任意小。比如說，如果令：

$$\sum _k|J_k|=\sum _k(b_k-a_k)<\frac{ϵ}{4M}$$

那麼就有：

$$\begin{array}{rl}(2M)\sum _{I_i\in J_k}\mathrm{\Delta }{x}_i& =\sum _{I_i\subset J_k}(p_i-p_{i-1})\\ & \le \sum _{I_i\subset J_k}(b_k-a_k)\\ & \le \sum _k(b_k-a_k)\\ & <(2M)\frac{ϵ}{4M}=\frac{ϵ}{2}\end{array}$$

另外一方面，

$I_i\in V_x$ 的狀況，

$$\begin{array}{rl}B=& \sum _{I_i\subset V_x}(M_x-m_x)\mathrm{\Delta }{x}_i\\ & \le \sum _{I_i\subset V_x}({\text{small}}_2)\mathrm{\Delta }{x}_i=({\text{small}}_2)\sum _{I_i\subset V_x}\mathrm{\Delta }{x}_i\end{array}$$

因為挑選

$V_x$ 時，知道這是能夠自由控制內部的上界扣掉下界是多少的：

$$M_x-m_x<{\text{small}}_2=\frac{ϵ}{2(b-a)}$$

因此就有：

$$\begin{array}{rl}B& \le ({\text{small}}_2)\left(\sum _{I_i\subset V_x}\mathrm{\Delta }{x}_i\right)\\ & \le (\text{small}{)}_2\left(\sum _i\mathrm{\Delta }{x}_i\right)\\ & <\frac{ϵ}{2(b-a)}\left(\sum _i\mathrm{\Delta }{x}_i\right)\\ & =\frac{ϵ}{2(b-a)}(b-a)=\frac{ϵ}{2}\end{array}$$

綜合以上，上和及下和的差就是：

$$\begin{array}{rl}& U(f,P)-L(f,P)\\ & =A+B\\ & <\frac{ϵ}{2}+\frac{ϵ}{2}=ϵ\end{array}$$