# Function Space - 函數空間的級數

接著考慮的是函數的級數，也就是形如：

$$
\{F_n\}_{n = 1}^{\infty} = \left\{ \sum_{i = 1}^{n} f_i \right\}_{n = 1}^{\infty}
$$

的函數數列。 $F_n$ 的每一項都是前 $n$ 個 $\{f_i\}$ 的和，因此也是個函數。因此收斂的定義就可以沿用函數收斂的定義。

判斷函數級數收斂的其中一個方法，是 **Weiestrass M-test**

## Weiestrass M-Test

:::danger
**Weiestrass M-Test**
假定 $\{f_k\}$ 是定義在 $[a, b]$ 上的實函數數列。若存在 $\{M_k\} \subset \mathbb R$，使得：
$$
\forall x \in [a, b].|f_k(x)| < M_k
$$
且：
$$
\sum_{k = 1}^{\infty} M_k = M < \infty
$$
則 $\sum_{i = 1}^{\infty}f_k$ 均勻收斂。更進一步，它是絕對收斂的。
:::

由條件可以知道每個 $f_k$ 都是有界的，因此這是一個有界函數中的子序列。而有界函數加上 *sup norm* 形成的 *metric space* 是完備的。所以想辦法說這個數列 *Cauchy* 就可以讓它收斂了。

而要說他是 *Cauchy* 的關鍵，就在那個 $\sum M_k$。他是收斂的，所以他 *Cauchy*：

$$
\begin{align}
d_{sup}(F_m, F_n) &= \sup\left| \sum_{k = 1}^{m}f_k - \sum_{k = 1}^nf_n\right| \newline
&= \sup \left| \sum_{i = m + 1}^n f_k \right| \leq \sum_{i = m + 1}^n M_k = \left| \sum_{k = 1}^m M_k - \sum_{k = 1}^n M_k \right| < \epsilon
\end{align}
$$

又因為有界函數是完備的，因此 $F_n$ 收斂。而進一步，因為 $M_k$ 是每一個 $f_k$ 的一個上界，所以：

$$
\sum_{k = 1}^{n} \sup_{x\in[a, b]}|f_k(x)| < \sum_{k = 1}^{n} M_k \to M < \infty
$$

因此這個函數數列也絕對收斂。

:::danger
**Corollary (均勻收斂保連續)**
假定 $\{f_k\} \subset (C^0[a, b], d_{sup})$，且：
$$
\sum_{k = 1}^{\infty}f_k = F
$$
則 $F$ 也是個連續函數。
:::

這邊級數收斂一樣是用均勻收斂。而會成立的理由是：有限個連續函數相加後仍然是連續函數，所以 $F_n = \sum_{k = 1}^nf_k$ 是 $C^0[a, b]$ 上的函數數列; 而 $C^0([a, b])$ 又是 $C_b[a, b]$ 的閉集，所以那個收斂的點就被包在這個自己裡面了。

## 均勻收斂保可積

:::danger
**Thm (均勻收斂保可積)**
假定 $\{f_n\} \subset \mathcal R$ 是個黎曼可積的函數形成的數列，且已知 $f_n \to f$。則 $f$ 也黎曼可積，且：
$$
\lim_{n \to \infty} \int_{a}^{b}f_n = \int_a^b f = \int_a^b(\lim_{n \to \infty}f_n)
$$
:::

因為要驗證黎曼可積，最直覺的方法就是用 *Reimann-Lebesgue Theorem* 去看不連續點是不是 *zero set*。令：

$$
Z_n = \{\text{discont. points of } f_n\}
$$

因為每一個 $f_n$ 都是黎曼可積，所以每一個 $Z_n$ 都會是 *zero set*。因此：

$$
Z = \bigcup_{n = 1}^{\infty} Z_n
$$

也會是個 *zero set*，因為可數個 *zero set* 聯集起來還是 *zero set*。但 $Z$ 包了所有 $f$ 可能的不連續點了，又是個 *zero set*。所以 $f$ 也黎曼可積。

接著要證明的是：

$$
\lim_{n \to \infty} \left(\underbrace{\int_a^b f_n}_{A_n}\right) = \underbrace{\int_{a}^{b}f}_{ A}
$$

而這個關鍵觀察來自於 $f_n \to f$，所以 $n$ 夠大時，

$$|f_n(x) - f(x)| \leq |f_n - f| < \epsilon$$

因此當 $n$ 夠大時，兩者的差異也會跟著很小：

$$
\left|\int_a^bf_n(x) - \int_a^b f(x)\right| = \left|\int_a^b (f(x) - f_n(x))\right| \leq \int_a^b |f(x) - f_n(x)| < \epsilon (b - a)
$$

這個定理的其中一個結論是逐項積分：

## 逐項積分

:::danger
**Corollary (均勻收斂保逐項積分)**
假定 $\{f_n\} \subset \mathcal R$，且：
$$
\sum_{k = 1}^\infty f_k \text{ convrges uniformly}
$$

則：
$$
\sum_{k = 1}^{\infty}\left(\int_a^b f_k\right) = \int_{a}^{b}\left(\sum_{k = 1}^{\infty}f_k\right)
$$
:::

先寫出有限項的和：

$$
\sum_{k = 1}^{n} \int_a^b f_k = \int_a^b \sum_{k = 1}^n f_k
$$

左右取極限：

$$
\lim_{n \to \infty}\sum_{k = 1}^{n} \int_a^b f_k = \lim_{n\to\infty}\int_a^b \sum_{k = 1}^n f_k
$$

左式已經是目標的樣子了。因為這就是無限級數的定義：

$$
\lim_{n \to \infty}\sum_{k = 1}^{n} \int_a^b f_k = \sum_{k = 1}^{\infty} \int_a^b f_k
$$

右式利用剛剛「均勻收斂下，極限可以滲透進積分」，得到：

$$
\begin{align}
\lim_{n\to\infty}\int_a^b \sum_{k = 1}^n f_k &= \int_a^b \lim_{n\to\infty}\sum_{k = 1}^n f_k = \int_{a}^{b}\sum_{k = 1}^{\infty}f_k
\end{align}
$$

## 均勻收斂與可微

既然均勻收斂可以保可積，那就不免想問：那可微會不會也保留？答案是未必。但加上一些條件之後，就可以保留：

:::danger
**Thm**
假定 $\{f_n\}$ 中的函數均在 $[a, b]$ 可微，且：
$$
\{f_n\} \overset{\text{uniformly}}{\longrightarrow} f
$$
如果更進一步：
$$
\{f_n'\} \overset{\text{uniformly}}{\longrightarrow} g
$$
則：
$$
f' = g
$$
:::

言下之意，雖然不能保證可微分被保留。但如果微分之後的函數數列收斂，那先取極限再微分的結果跟先微分一樣。

證明的目標其實是兩個極限能不能互換：

$$
\lim_{t \to x}\lim_{n\to\infty}\frac {f_n(t) - f(x)}{t - x} \overset{?}{=} \lim_{n\to\infty}\lim_{t \to x}\frac {f_n(t) - f(x)}{t - x}
$$

固定 $x \in [a, b]$，定義：

$$
\phi_n(t) = \begin{cases}
\frac {f_n(t) - f_n(x)}{t - x} & \text{if }t \neq x \newline
f_n'(x) & \text{if t = x}
\end{cases}
$$

接下來只要 $\phi_n$ 收斂，而且收斂到的那個函數 $\phi$ 在 $x$ 連續，那就可以利用這個 $\phi$ 去證明想要的結果。因為 $\phi$ 會長成這樣：

$$
\phi_n(t) \to \phi(t) = \begin{cases}
\lim_{n \to \infty}\left(\frac {f_n(t) - f_n(x)}{t - x}\right) = \frac {f(t) - f(x)}{t - x} & \text{if }t \neq x \newline
\lim_{n\to\infty}f_n'(x) = g(x) & \text{if t = x}
\end{cases}
$$

因此，利用 $\phi$ 連續可以證明：

$$
\lim_{t \to x}\phi(t) = \phi(x) \Rightarrow \lim_{t \to x}\frac {f(t) - f(x)}{t - x} = g(x)
$$

這就是想要的結果。

那麼要如何證明 $\phi_n$ 收斂？利用 $\phi_n$ *Cahchy* 就好^[因為在某個區間內可微，就必定在該區間連續; 在該區間連續，中間值定理用下去就一定有界; 既然是有界，那麼就可以用有界函數的完備性，用 *Cauchy* 證明收斂。]。而既然函數分兩個部分定義，所以就分兩段討論 $|\phi_m(t) - \phi_n(t)|$ 會長怎樣。如果對於任意 $t\in[a, b]$，$|\phi_m(t) - \phi_n(t)|$ 上界都可以任意小，那最小上界就可以跟著任意小，然後任務就完成了。

==CASE：$t \neq x$==

這時：

$$
\begin{align}
\phi_n - \phi_m &= \left(\frac {f_n(t) - f_n(x)}{t - x}\right) - \left(\frac {f_m(t) - f_m(x)}{t - x}\right) \newline
&= \frac {(f_n - f_m)(t) - (f_n - f_m)(x)}{t - x}\newline
&= (f_m' - f_n')(\theta) \quad (\text{for some }\theta \in (a, b)) \newline
&= f_n'(\theta) - f_m'(\theta)
\end{align}
$$

最後兩步是套用了 *mean value theorem*。

==CASE：$t = x$==

這時因為 $\phi_n(x) = f_n'(x)$，所以就直接：

$$
\phi_n - \phi_m = f_n'(x) - f_m'(x)
$$

==COMBINE==

因為 $\{f_n'\}$ 已經知道均勻收斂，所以他 *Cauchy*。再加上均勻收斂的定義告訴我們 *sup norm* 可以任意小，也就是：

$$
\sup_{x \in [a, b]}|f_n'(x) - f_m'(x)| < \epsilon
$$

因此跟著：

$$
|\phi_m(t) - \phi_n(t)| =
\begin{cases}
|f_n'(\theta) - f_m'(\theta)|&\leq \sup_{t \in [a, b]}|f_n'(t) - f_m'(t)| < \epsilon & (t \neq x)\newline
|f_n'(x) - f_m'(x)|&\leq \sup_{t \in [a, b]}|f_n'(t) - f_m'(t)| < \epsilon & (t = x)
\end{cases}
$$

因此，對於所有 $t \in [a, b]$，不管 $t \neq x$ 或 $t = x$ 的狀況下，$\epsilon$ 都是 $|\phi_n(t) - \phi_m(t)|$ 的上界，而這個 $\epsilon$ 是任選的，所以 $\{\phi_n\}$ 就 *Cauchy* 了。