Topological Space - Continuity, Open / Closed Map

接下來要做的是看看各種函數的性質在更基本的 topological space 看起來怎麼樣。首先是連續的概念。

Continuity

在 metric space 中，連續有四個等價定義。不過

$ϵ-\delta$ 跟「保收斂」這兩個跟距離有關的定義，在拓樸空間中無用武之地（畢竟根本沒有 metric 的概念）。不過拓樸空間有開集，所以跟開集閉集的那些敘述仍然可以用。因此，連續的定義就是：

Def (Continuous on Topological Space)

假定

$X,Y$ 是兩個拓樸空間，且

$f:X\to Y$。若對於任意

$Y$ 中的開集

$v$，他們的 preimage 都是開集。即：

$$\begin{array}{rl}& \mathrm{\forall }v\subset Y.v\text{ is }\mathbf{open}\\ & \Rightarrow f^{pre}(v)\text{ is }\mathbf{open}\end{array}$$

那麼就稱

$f$ 為 continuous。

因為拓樸空間有「閉集的補集是開集」，所以同樣的敘述也看以用在閉集上。「閉集的 preimage 都是閉集」就是連續：

Def (Continuous on Topological Space)

假定

$X,Y$ 是兩個拓樸空間，且

$f:X\to Y$。若對於任意

$Y$ 中的閉集

$K$，他的 preimage 也是閉集。即：

$$\begin{array}{rl}& \mathrm{\forall }K\subset Y.K\text{ is }\mathbf{closed}\\ & \Rightarrow f^{pre}(K)\text{ is }\mathbf{closed}\end{array}$$

等價的理由是因為：由拓樸空間的定義可知：若

$K$ 是閉集，那麼

$K^c$ 是開集。所以

$$\begin{array}{rl}K\text{ closed }& \Rightarrow K^c\text{ open }\\ & \Rightarrow f^{pre}(K^c)\text{ open }\\ & \Rightarrow {(f^{pre}(K))}^c\text{ open }\Rightarrow f^{pre}(K)\text{ closed}\end{array}$$

Open Map & Closed Map

「開集的 preimage 都是開集」，但不表示所有的開集送過去之後都還是開集。「開集送過去都是開集」這個叫做 open map：

Def (Open Map / Closed Map)
假定

$X,Y$ 是兩個拓樸空間，且

$f:X\to Y$。若對於任意開集

$u\subset X$，

$f(u)$ 都是開集，即：

$$\begin{array}{rl}& \mathrm{\forall }u\subset X.u\text{ is }\mathbf{open}\\ & \Rightarrow f(u)\text{ is }\mathbf{open}\end{array}$$
則稱

$f$ 是一個 open map。而相反地，若對於任意

$X$ 中閉集

$A$，有：

$$\begin{array}{rl}& \mathrm{\forall }A\subset X.A\text{ is }\mathbf{closed}\\ & \Rightarrow f(A)\text{ is }\mathbf{closed}\end{array}$$

則稱

$f$ 是一個 closed map。

上面這些東西在拓樸空間中有一些等價條件：

等價條件

Thm (等價條件)

假定

$X,Y$ 是兩個拓樸空間，且

$f:X\to Y$。則：

1. 連續 = 「閉包送過去」在「送過去的閉包」裡：

$$\begin{array}{rl}& f\mathbf{continuous}\\ & ⟺\mathrm{\forall }A\in X.f\left(\bar{A}\right)\subseteq \overline{f(A)}\end{array}$$

2. closed = 「送過去的閉包」在「閉包送過去」裡：

$$\begin{array}{rl}& f\mathbf{closed}\\ & ⟺\mathrm{\forall }A\in X.f\left(\bar{A}\right)\supseteq \overline{f(A)}\end{array}$$

3. 連續 = 「內部送回去」在「送回去的內部」裡：

$$\begin{array}{rl}& f\mathbf{continuous}\\ & ⟺\mathrm{\forall }B\in Y.f^{pre}(Int(B))\subseteq Int(f^{pre}(B))\end{array}$$

4. Open = 「送回去的內部」在「內部送回去」裡：

$$\begin{array}{rl}& f\mathbf{open}\\ & ⟺\mathrm{\forall }B\in Y.f^{pre}(Int(B))\supseteq Int(f^{pre}(B))\end{array}$$

1.

連續 = 「閉包送過去」在「送過去的閉包」裡：

$\Leftarrow$ 可以嘗試證明：

$$\overline{A}\subseteq f^{pre}\left(\overline{f(A)}\right)$$

不過這樣似乎還是看不出什麼所以然。但是可以注意：因為

$f$ 連續，所以會把閉集送回閉集，因此

$f^{pre}\left(\overline{f(A)}\right)$ 也是個閉集。更進一步，因為：

$$f(A)\subseteq \overline{f(A)}\Rightarrow f^{pre}(f(A))\subseteq f^{pre}\left(\overline{f(A)}\right)$$

但很顯然

$A\subseteq f^{pre}(f(A))$，所以就有：

$$A\subseteq f^{pre}\left(\overline{f(A)}\right)$$

然後同時取 closure 但因為

$f^{pre}\left(\overline{f(A)}\right)$ 自己是閉集，有取跟沒取一樣，所以就證明出來了：

$$\bar{A}\subseteq \overline{f^{pre}\left(\stackrel{―}{f(A)}\right)}=f^{pre}\left(\overline{f(A)}\right)$$

順帶一提，可以左右同時取 closure 是因為：

$A$ 的 closure 是包含

$A$ 的最小閉集，所以如果有另外個閉集也包含

$A$，那麼這個閉集一定也包含

$\overline{A}$。

$\Rightarrow$ 另外一個方向是：假定

$K\subset Y$ 是閉集，目前還不知道

$f^{pre}(K)$ 是不是對的。不過沒關係，就直接取閉包送到對面去看一看。發現：

$$f\left(\overline{f^{pre}(K)}\right)\subseteq \overline{f(f^{pre}(K))}=\bar{K}=K$$

換句話說，也就是：

$$\overline{f^{pre}(K)}\subseteq f^{pre}(K)$$

但顯然又有

$f^{pre}(K)\subseteq \overline{f^{pre}(K)}$，所以就得證：

$$f^{pre}(K)=\overline{f^{pre}(K)}$$

也就是：

$$f^{pre}(K)\mathbf{closed}$$

2.

closed = 「送過去的閉包」在「閉包送過去」裡：

$\Leftarrow$ 上面的思路知道：因為

$f$ closed，加上閉包自己就是閉集，所以

$f(\overline{A})$ 是個閉集。既然是個包含某個集合閉包的閉集，只要證明

$f(A)\subset f(\overline{A})$，依照「閉包是包含原集合最小的閉集」，

$\overline{f(A)}$ 就會自動在

$f(\overline{A})$ 裡面。但這很顯然，因為

$A\subseteq \overline{A}$，所以

$f(A)\subset f(\overline{A})$，然後就證明完了。

$\Rightarrow$ 另外一個方向：假定現在有一個閉集

$K\subset X$，目標是

$f(K)$ 是閉集。這也就是說要證明「自己的閉包就是自己」，或是說

$\overline{f(K)}\subseteq f(K)$ 及

$\overline{f(K)}\supseteq f(K)$ 。但後者是顯然，因為自己一定在自己的閉包裡面，所以只要證前者就可以了。

由條件知道：

$$\overline{f(K)}\subseteq f\left(\bar{K}\right)=f(K)$$

最後一個等號是因為

$K$ 是閉集，所以自己就是自己的閉包。由此得證

$f(K)$ 也是個閉集，即

$f$ 為 closed map。

3.

連續 = 「內部送回去」在「送回去的內部」裡：

$\Leftarrow$ 跟上面類似，但這邊是用「集合的內部定義是『包含所有包在原集合中的開集』的集合」。因為連續，所以

$f^{pre}(Int(B))$ 是個開集。只要可以證明：

$$f^{pre}(Int(B))\subseteq f^{pre}(B)$$

那麼就有：

$$f^{pre}(Int(B))\subseteq Int(f^{pre}(B))$$

但這個命題也很顯然。因為

$Int(B)\subseteq B$，所以根本就自動有：

$$Int(B)\subseteq B\Rightarrow f^{pre}(Int(B))\subseteq f^{pre}(B)$$

然後就證完了。

$\Rightarrow$ 另外一個方向也很顯然。直接假定

$B$ 是開集，然後想辦法說

$f^{pre}(B)$ 是開集。由條件可以知道：

$$f^{pre}(B)\subseteq Int(f^{pre}(B))$$

但另外一方面，依照集合內點的定義，集合的

$Int$ 一定會包在原集合裡。所以顯然有：

$$f^{pre}(B)\supseteq Int(f^{pre}(B))$$

因此：

$$f^{pre}(B)=Int(f^{pre}(B))$$

所以

$f^{pre}(B)$ 就 open。由此得證

$f$ 連續。

4.

Open = 「送回去的內部」在「內部送回去」裡：

$\Leftarrow$ 如果可以證明：

$$f(Int(f^{pre}(B)))\subseteq Int(B)$$

的話，就證明了原命題。不過，因為：

$$Int(f^{pre}(B))\subseteq f^{pre}(B)\Rightarrow f(Int(f^{pre}(B)))\subseteq B$$

但因為

$Int(f^{pre}(B))$ 是個開集，而

$f$ 是個 open map，所以

$f(Int(f^{pre}(B)))$ 也是個開集。依照「內部」的定義，所有包在集合內部的開集，都會包在集合的內部裡。所以：

$$f(Int(f^{pre}(B)))\subseteq Int(B)$$

$\Rightarrow$ 另外一個方向，如果

$u\subseteq X$ 是開集，也就是說

$Int(u)=u$，目標是證明

$f(u)$ 也是開集。但這只要證明

$f(u)\subseteq Int(f(u))$ 就好。如果令

$B=f(u)$，那麼就有：

$$f^{pre}(Int(f(u)))\supseteq Int(f^{pre}(f(u)))$$

但

$Int(f^{pre}(f(u)))$ 的定義，任何包在

$f^{pre}(f(u))$ 中的開集也都會在他裡面。但很明顯：

$$u\subseteq f^{pre}(f(u))$$

而且

$u$ 又是個開集。因此：

$$u\subseteq Int(f^{pre}f(u))$$

所以就有：

$$f^{pre}(Int(f(u)))\supseteq Int(f^{pre}(f(u)))\supseteq u$$

第一個跟最後一個，就有：

$$f^{pre}(Int(f(u)))\supseteq u$$

因此，左右同時用

$f$ 送過去，就有：

$$Int(f(u))\supseteq f(u)$$

由此得證。