# Topological Space - Continuity, Open / Closed Map

接下來要做的是看看各種函數的性質在更基本的 *topological space* 看起來怎麼樣。首先是連續的概念。

## Continuity

在 *metric space* 中，連續有四個等價定義。不過 $\epsilon-\delta$ 跟「保收斂」這兩個跟距離有關的定義，在拓樸空間中無用武之地（畢竟根本沒有 *metric* 的概念）。不過拓樸空間有開集，所以跟開集閉集的那些敘述仍然可以用。因此，連續的定義就是：

:::warning
**Def (Continuous on Topological Space)**

假定 $X, Y$ 是兩個拓樸空間，且 $f : X \to Y$。若對於任意 $Y$ 中的開集 $v$，他們的 *preimage* 都是開集。即：

$$
\begin{align}
&\forall v \subset Y. v\text{ is }\mathbf{open}
\newline
&\Rightarrow f^{pre}(v) \text{ is }\mathbf{open}
\end{align}
$$

那麼就稱 $f$ 為 *continuous*。
:::

因為拓樸空間有「閉集的補集是開集」，所以同樣的敘述也看以用在閉集上。「閉集的 *preimage* 都是閉集」就是連續：

:::warning
**Def (Continuous on Topological Space)**

假定 $X, Y$ 是兩個拓樸空間，且 $f : X \to Y$。若對於任意 $Y$ 中的閉集 $K$，他的 *preimage* 也是閉集。即：

$$
\begin{align}
&\forall K \subset Y. K\text{ is }\mathbf{closed}
\newline
&\Rightarrow f^{pre}(K) \text{ is }\mathbf{closed}
\end{align}
$$
:::

等價的理由是因為：由拓樸空間的定義可知：若 $K$ 是閉集，那麼 $K^c$ 是開集。所以

$$
\begin{align}
K \text{ closed } &\Rightarrow K^c \text{ open }
\newline
&\Rightarrow f^{pre}(K^c) \text{ open }
\newline
&\Rightarrow \left(f^{pre}(K)\right)^c \text{ open } \Rightarrow f^{pre}(K) \text{ closed}
\end{align}
$$

## Open Map & Closed Map

「開集的 *preimage* 都是開集」，但不表示所有的開集送過去之後都還是開集。「開集送過去都是開集」這個叫做 *open map*：

:::warning
**Def (Open Map / Closed Map)**
假定 $X, Y$ 是兩個拓樸空間，且 $f : X \to Y$。若對於任意開集 $u \subset X$，$f(u)$ 都是開集，即：

$$
\begin{align}
&\forall u \subset X. u\text{ is }\mathbf{open}
\newline
&\Rightarrow f(u) \text{ is }\mathbf{open}
\end{align}
$$
則稱 $f$ 是一個 *open map*。而相反地，若對於任意 $X$ 中閉集 $A$，有：

\begin{align}
&\forall A \subset X. A\text{ is }\mathbf{closed}
\newline
&\Rightarrow f(A) \text{ is }\mathbf{closed}
\end{align}

則稱 $f$ 是一個 *closed map*。

:::

上面這些東西在拓樸空間中有一些等價條件：

## 等價條件

:::danger
**Thm (等價條件)**

假定 $X, Y$ 是兩個拓樸空間，且 $f : X \to Y$。則：

++**1. 連續 = 「閉包送過去」在「送過去的閉包」裡：**++

$$
\begin{align}
& f \mathbf{\ continuous}
\newline
&\iff \forall A \in X.f\left(\overline A\right) \subseteq \overline{f(A)}
\end{align}
$$

++**2. closed = 「送過去的閉包」在「閉包送過去」裡：**++

$$
\begin{align}
& f \mathbf{\ closed}
\newline
&\iff \forall A \in X.f\left(\overline A\right) \supseteq \overline{f(A)}
\end{align}
$$

++**3. 連續 = 「內部送回去」在「送回去的內部」裡：**++

$$
\begin{align}
& f \mathbf{\ continuous}
\newline
&\iff \forall B \in Y.f^{pre}(Int(B)) \subseteq Int(f^{pre}(B))
\end{align}
$$

++**4. Open = 「送回去的內部」在「內部送回去」裡：**++

$$
\begin{align}
& f \mathbf{\ open}
\newline
&\iff \forall B \in Y.f^{pre}(Int(B)) \supseteq Int(f^{pre}(B))
\end{align}
$$
:::

### 1.

++**連續 = 「閉包送過去」在「送過去的閉包」裡：**++

==$\Leftarrow$== 可以嘗試證明：

$$
\bar A \subseteq f^{pre}\left(\overline{f(A)}\right)
$$

不過這樣似乎還是看不出什麼所以然。但是可以注意：因為 $f$ 連續，所以會把閉集送回閉集，因此 $f^{pre}\left(\overline{f(A)}\right)$ 也是個閉集。更進一步，因為：

$$
f(A) \subseteq \overline {f(A)} \Rightarrow f^{pre}(f(A)) \subseteq f^{pre}\left(\overline {f(A)}\right)
$$

但很顯然 $A \subseteq f^{pre}(f(A))$，所以就有：

$$
A \subseteq f^{pre}\left(\overline {f(A)}\right)
$$

然後同時取 *closure* 但因為 $f^{pre}\left(\overline {f(A)}\right)$ 自己是閉集，有取跟沒取一樣，所以就證明出來了：

$$
\overline{A} \subseteq \overline{f^{pre}\left(\overline {f(A)}\right)} = f^{pre}\left(\overline {f(A)}\right)
$$

順帶一提，可以左右同時取 *closure* 是因為：$A$ 的 *closure* 是包含 $A$ 的最小閉集，所以如果有另外個閉集也包含 $A$，那麼這個閉集一定也包含 $\bar A$。

==$\Rightarrow$== 另外一個方向是：假定 $K \subset Y$ 是閉集，目前還不知道 $f^{pre}(K)$ 是不是對的。不過沒關係，就直接取閉包送到對面去看一看。發現：

$$
f\left(\overline{f^{pre}(K)}\right) \subseteq \overline{f(f^{pre}(K))} = \overline K = K
$$

換句話說，也就是：

$$
\overline{f^{pre}(K)} \subseteq f^{pre}(K)
$$

但顯然又有 $f^{pre}(K) \subseteq \overline{f^{pre}(K)}$，所以就得證：

$$
f^{pre}(K) = \overline{f^{pre}(K)}
$$

也就是：

$$
f^{pre}(K) \mathbf{\ closed}
$$

### 2.

++**closed = 「送過去的閉包」在「閉包送過去」裡：**++

==$\Leftarrow$== 上面的思路知道：因為 $f$ *closed*，加上閉包自己就是閉集，所以 $f(\bar A)$ 是個閉集。既然是個包含某個集合閉包的閉集，只要證明 $f(A) \subset f(\bar A)$，依照「閉包是包含原集合最小的閉集」， $\overline {f(A)}$ 就會自動在 $f(\bar A)$ 裡面。但這很顯然，因為 $A \subseteq \bar A$，所以 $f(A) \subset f(\bar A)$，然後就證明完了。

==$\Rightarrow$== 另外一個方向：假定現在有一個閉集 $K \subset X$，目標是 $f(K)$ 是閉集。這也就是說要證明「自己的閉包就是自己」，或是說 $\overline{f(K)} \subseteq f(K)$ 及 $\overline{f(K)} \supseteq f(K)$ 。但後者是顯然，因為自己一定在自己的閉包裡面，所以只要證前者就可以了。

由條件知道：

$$
\overline {f(K)} \subseteq f\left(\overline K\right) = {f(K)}
$$

最後一個等號是因為 $K$ 是閉集，所以自己就是自己的閉包。由此得證 $f(K)$ 也是個閉集，即 $f$ 為 *closed map*。

### 3.

++**連續 = 「內部送回去」在「送回去的內部」裡：**++

==$\Leftarrow$== 跟上面類似，但這邊是用「集合的內部定義是『包含所有包在原集合中的開集』的集合」。因為連續，所以 $f^{pre}(Int(B))$ 是個開集。只要可以證明：

$$
f^{pre}(Int(B)) \subseteq f^{pre}(B)
$$

那麼就有：

$$
f^{pre}(Int(B)) \subseteq Int(f^{pre}(B))
$$

但這個命題也很顯然。因為 $Int(B) \subseteq B$，所以根本就自動有：

$$
Int(B) \subseteq B \Rightarrow f^{pre}(Int(B)) \subseteq f^{pre}(B)
$$

然後就證完了。

==$\Rightarrow$== 另外一個方向也很顯然。直接假定 $B$ 是開集，然後想辦法說 $f^{pre}(B)$ 是開集。由條件可以知道：

$$
f^{pre}(B) \subseteq Int(f^{pre}(B))
$$

但另外一方面，依照集合內點的定義，集合的 $Int$ 一定會包在原集合裡。所以顯然有：

$$
f^{pre}(B) \supseteq Int(f^{pre}(B))
$$

因此：

$$
f^{pre}(B) = Int(f^{pre}(B))
$$

所以 $f^{pre}(B)$ 就 *open*。由此得證 $f$ 連續。

### 4.

++**Open = 「送回去的內部」在「內部送回去」裡：**++

==$\Leftarrow$== 如果可以證明：

$$
f(Int(f^{pre}(B))) \subseteq Int(B)
$$

的話，就證明了原命題。不過，因為：

$$
Int(f^{pre}(B)) \subseteq f^{pre}(B) \Rightarrow f(Int(f^{pre}(B))) \subseteq B
$$

但因為 $Int(f^{pre}(B))$ 是個開集，而 $f$ 是個 *open map*，所以 $f(Int(f^{pre}(B)))$ 也是個開集。依照「內部」的定義，所有包在集合內部的開集，都會包在集合的內部裡。所以：

$$
f(Int(f^{pre}(B))) \subseteq Int(B)
$$

==$\Rightarrow$== 另外一個方向，如果 $u \subseteq X$ 是開集，也就是說 $Int(u) = u$，目標是證明 $f(u)$ 也是開集。但這只要證明 $f(u) \subseteq Int(f(u))$ 就好。如果令 $B = f(u)$，那麼就有：

$$
f^{pre}(Int(f(u))) \supseteq Int(f^{pre}(f(u)))
$$

但 $Int(f^{pre}(f(u)))$ 的定義，任何包在 $f^{pre}(f(u))$ 中的開集也都會在他裡面。但很明顯：

$$
u \subseteq f^{pre}(f(u))
$$

而且 $u$ 又是個開集。因此：

$$
u \subseteq Int(f^{pre}f(u))
$$

所以就有：

$$
f^{pre}(Int(f(u))) \supseteq Int(f^{pre}(f(u))) \supseteq u
$$

第一個跟最後一個，就有：

$$
f^{pre}(Int(f(u))) \supseteq u
$$

因此，左右同時用 $f$ 送過去，就有：

$$
Int(f(u)) \supseteq f(u)
$$

由此得證。