接下來要做的是看看各種函數的性質在更基本的 topological space 看起來怎麼樣。首先是連續的概念。
在 metric space 中,連續有四個等價定義。不過 跟「保收斂」這兩個跟距離有關的定義,在拓樸空間中無用武之地(畢竟根本沒有 metric 的概念)。不過拓樸空間有開集,所以跟開集閉集的那些敘述仍然可以用。因此,連續的定義就是:
Def (Continuous on Topological Space)
假定 是兩個拓樸空間,且 。若對於任意 中的開集 ,他們的 preimage 都是開集。即:
那麼就稱 為 continuous。
因為拓樸空間有「閉集的補集是開集」,所以同樣的敘述也看以用在閉集上。「閉集的 preimage 都是閉集」就是連續:
Def (Continuous on Topological Space)
假定 是兩個拓樸空間,且 。若對於任意 中的閉集 ,他的 preimage 也是閉集。即:
等價的理由是因為:由拓樸空間的定義可知:若 是閉集,那麼 是開集。所以
「開集的 preimage 都是開集」,但不表示所有的開集送過去之後都還是開集。「開集送過去都是開集」這個叫做 open map:
Def (Open Map / Closed Map)
假定 是兩個拓樸空間,且 。若對於任意開集 , 都是開集,即:
則稱 是一個 open map。而相反地,若對於任意 中閉集 ,有:
則稱 是一個 closed map。
上面這些東西在拓樸空間中有一些等價條件:
Thm (等價條件)
假定 是兩個拓樸空間,且 。則:
1. 連續 = 「閉包送過去」在「送過去的閉包」裡:
2. closed = 「送過去的閉包」在「閉包送過去」裡:
3. 連續 = 「內部送回去」在「送回去的內部」裡:
4. Open = 「送回去的內部」在「內部送回去」裡:
連續 = 「閉包送過去」在「送過去的閉包」裡:
可以嘗試證明:
不過這樣似乎還是看不出什麼所以然。但是可以注意:因為 連續,所以會把閉集送回閉集,因此 也是個閉集。更進一步,因為:
但很顯然 ,所以就有:
然後同時取 closure 但因為 自己是閉集,有取跟沒取一樣,所以就證明出來了:
順帶一提,可以左右同時取 closure 是因為: 的 closure 是包含 的最小閉集,所以如果有另外個閉集也包含 ,那麼這個閉集一定也包含 。
另外一個方向是:假定 是閉集,目前還不知道 是不是對的。不過沒關係,就直接取閉包送到對面去看一看。發現:
換句話說,也就是:
但顯然又有 ,所以就得證:
也就是:
closed = 「送過去的閉包」在「閉包送過去」裡:
上面的思路知道:因為 closed,加上閉包自己就是閉集,所以 是個閉集。既然是個包含某個集合閉包的閉集,只要證明 ,依照「閉包是包含原集合最小的閉集」, 就會自動在 裡面。但這很顯然,因為 ,所以 ,然後就證明完了。
另外一個方向:假定現在有一個閉集 ,目標是 是閉集。這也就是說要證明「自己的閉包就是自己」,或是說 及 。但後者是顯然,因為自己一定在自己的閉包裡面,所以只要證前者就可以了。
由條件知道:
最後一個等號是因為 是閉集,所以自己就是自己的閉包。由此得證 也是個閉集,即 為 closed map。
連續 = 「內部送回去」在「送回去的內部」裡:
跟上面類似,但這邊是用「集合的內部定義是『包含所有包在原集合中的開集』的集合」。因為連續,所以 是個開集。只要可以證明:
那麼就有:
但這個命題也很顯然。因為 ,所以根本就自動有:
然後就證完了。
另外一個方向也很顯然。直接假定 是開集,然後想辦法說 是開集。由條件可以知道:
但另外一方面,依照集合內點的定義,集合的 一定會包在原集合裡。所以顯然有:
因此:
所以 就 open。由此得證 連續。
Open = 「送回去的內部」在「內部送回去」裡:
如果可以證明:
的話,就證明了原命題。不過,因為:
但因為 是個開集,而 是個 open map,所以 也是個開集。依照「內部」的定義,所有包在集合內部的開集,都會包在集合的內部裡。所以:
另外一個方向,如果 是開集,也就是說 ,目標是證明 也是開集。但這只要證明 就好。如果令 ,那麼就有:
但 的定義,任何包在 中的開集也都會在他裡面。但很明顯:
而且 又是個開集。因此:
所以就有:
第一個跟最後一個,就有:
因此,左右同時用 送過去,就有:
由此得證。