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Topological Space - Continuity, Open / Closed Map

接下來要做的是看看各種函數的性質在更基本的 topological space 看起來怎麼樣。首先是連續的概念。

Continuity

metric space 中,連續有四個等價定義。不過

ϵδ 跟「保收斂」這兩個跟距離有關的定義,在拓樸空間中無用武之地(畢竟根本沒有 metric 的概念)。不過拓樸空間有開集,所以跟開集閉集的那些敘述仍然可以用。因此,連續的定義就是:

Def (Continuous on Topological Space)

假定

X,Y 是兩個拓樸空間,且
f:XY
。若對於任意
Y
中的開集
v
,他們的 preimage 都是開集。即:

vY.v is openfpre(v) is open

那麼就稱

fcontinuous

因為拓樸空間有「閉集的補集是開集」,所以同樣的敘述也看以用在閉集上。「閉集的 preimage 都是閉集」就是連續:

Def (Continuous on Topological Space)

假定

X,Y 是兩個拓樸空間,且
f:XY
。若對於任意
Y
中的閉集
K
,他的 preimage 也是閉集。即:

KY.K is closedfpre(K) is closed

等價的理由是因為:由拓樸空間的定義可知:若

K 是閉集,那麼
Kc
是開集。所以

K closed Kc open fpre(Kc) open (fpre(K))c open fpre(K) closed

Open Map & Closed Map

「開集的 preimage 都是開集」,但不表示所有的開集送過去之後都還是開集。「開集送過去都是開集」這個叫做 open map

Def (Open Map / Closed Map)
假定

X,Y 是兩個拓樸空間,且
f:XY
。若對於任意開集
uX
f(u)
都是開集,即:

uX.u is openf(u) is open
則稱
f
是一個 open map。而相反地,若對於任意
X
中閉集
A
,有:

AX.A is closedf(A) is closed

則稱

f 是一個 closed map

上面這些東西在拓樸空間中有一些等價條件:

等價條件

Thm (等價條件)

假定

X,Y 是兩個拓樸空間,且
f:XY
。則:

1. 連續 = 「閉包送過去」在「送過去的閉包」裡:

f continuousAX.f(A)f(A)

2. closed = 「送過去的閉包」在「閉包送過去」裡:

f closedAX.f(A)f(A)

3. 連續 = 「內部送回去」在「送回去的內部」裡:

f continuousBY.fpre(Int(B))Int(fpre(B))

4. Open = 「送回去的內部」在「內部送回去」裡:

f openBY.fpre(Int(B))Int(fpre(B))

1.

連續 = 「閉包送過去」在「送過去的閉包」裡:

可以嘗試證明:

A¯fpre(f(A))

不過這樣似乎還是看不出什麼所以然。但是可以注意:因為

f 連續,所以會把閉集送回閉集,因此
fpre(f(A))
也是個閉集。更進一步,因為:

f(A)f(A)fpre(f(A))fpre(f(A))

但很顯然

Afpre(f(A)),所以就有:

Afpre(f(A))

然後同時取 closure 但因為

fpre(f(A)) 自己是閉集,有取跟沒取一樣,所以就證明出來了:

Afpre(f(A))=fpre(f(A))

順帶一提,可以左右同時取 closure 是因為:

Aclosure 是包含
A
的最小閉集,所以如果有另外個閉集也包含
A
,那麼這個閉集一定也包含
A¯

另外一個方向是:假定
KY
是閉集,目前還不知道
fpre(K)
是不是對的。不過沒關係,就直接取閉包送到對面去看一看。發現:

f(fpre(K))f(fpre(K))=K=K

換句話說,也就是:

fpre(K)fpre(K)

但顯然又有

fpre(K)fpre(K),所以就得證:

fpre(K)=fpre(K)

也就是:

fpre(K) closed

2.

closed = 「送過去的閉包」在「閉包送過去」裡:

上面的思路知道:因為
f
closed,加上閉包自己就是閉集,所以
f(A¯)
是個閉集。既然是個包含某個集合閉包的閉集,只要證明
f(A)f(A¯)
,依照「閉包是包含原集合最小的閉集」,
f(A)
就會自動在
f(A¯)
裡面。但這很顯然,因為
AA¯
,所以
f(A)f(A¯)
,然後就證明完了。

另外一個方向:假定現在有一個閉集
KX
,目標是
f(K)
是閉集。這也就是說要證明「自己的閉包就是自己」,或是說
f(K)f(K)
f(K)f(K)
。但後者是顯然,因為自己一定在自己的閉包裡面,所以只要證前者就可以了。

由條件知道:

f(K)f(K)=f(K)

最後一個等號是因為

K 是閉集,所以自己就是自己的閉包。由此得證
f(K)
也是個閉集,即
f
closed map

3.

連續 = 「內部送回去」在「送回去的內部」裡:

跟上面類似,但這邊是用「集合的內部定義是『包含所有包在原集合中的開集』的集合」。因為連續,所以
fpre(Int(B))
是個開集。只要可以證明:

fpre(Int(B))fpre(B)

那麼就有:

fpre(Int(B))Int(fpre(B))

但這個命題也很顯然。因為

Int(B)B,所以根本就自動有:

Int(B)Bfpre(Int(B))fpre(B)

然後就證完了。

另外一個方向也很顯然。直接假定
B
是開集,然後想辦法說
fpre(B)
是開集。由條件可以知道:

fpre(B)Int(fpre(B))

但另外一方面,依照集合內點的定義,集合的

Int 一定會包在原集合裡。所以顯然有:

fpre(B)Int(fpre(B))

因此:

fpre(B)=Int(fpre(B))

所以

fpre(B)open。由此得證
f
連續。

4.

Open = 「送回去的內部」在「內部送回去」裡:

如果可以證明:

f(Int(fpre(B)))Int(B)

的話,就證明了原命題。不過,因為:

Int(fpre(B))fpre(B)f(Int(fpre(B)))B

但因為

Int(fpre(B)) 是個開集,而
f
是個 open map,所以
f(Int(fpre(B)))
也是個開集。依照「內部」的定義,所有包在集合內部的開集,都會包在集合的內部裡。所以:

f(Int(fpre(B)))Int(B)

另外一個方向,如果
uX
是開集,也就是說
Int(u)=u
,目標是證明
f(u)
也是開集。但這只要證明
f(u)Int(f(u))
就好。如果令
B=f(u)
,那麼就有:

fpre(Int(f(u)))Int(fpre(f(u)))

Int(fpre(f(u))) 的定義,任何包在
fpre(f(u))
中的開集也都會在他裡面。但很明顯:

ufpre(f(u))

而且

u 又是個開集。因此:

uInt(fpref(u))

所以就有:

fpre(Int(f(u)))Int(fpre(f(u)))u

第一個跟最後一個,就有:

fpre(Int(f(u)))u

因此,左右同時用

f 送過去,就有:

Int(f(u))f(u)

由此得證。