Topological Space - Continuity, Open / Closed Map

接下來要做的是看看各種函數的性質在更基本的 topological space 看起來怎麼樣。首先是連續的概念。

Continuity

在 metric space 中，連續有四個等價定義。不過 \(\epsilon-\delta\) 跟「保收斂」這兩個跟距離有關的定義，在拓樸空間中無用武之地（畢竟根本沒有 metric 的概念）。不過拓樸空間有開集，所以跟開集閉集的那些敘述仍然可以用。因此，連續的定義就是：

Def (Continuous on Topological Space)

假定 \(X, Y\) 是兩個拓樸空間，且 \(f : X \to Y\)。若對於任意 \(Y\) 中的開集 \(v\)，他們的 preimage 都是開集。即：

\[ \begin{align} &\forall v \subset Y. v\text{ is }\mathbf{open} \newline &\Rightarrow f^{pre}(v) \text{ is }\mathbf{open} \end{align} \]

那麼就稱 \(f\) 為 continuous。

因為拓樸空間有「閉集的補集是開集」，所以同樣的敘述也看以用在閉集上。「閉集的 preimage 都是閉集」就是連續：

Def (Continuous on Topological Space)

假定 \(X, Y\) 是兩個拓樸空間，且 \(f : X \to Y\)。若對於任意 \(Y\) 中的閉集 \(K\)，他的 preimage 也是閉集。即：

\[ \begin{align} &\forall K \subset Y. K\text{ is }\mathbf{closed} \newline &\Rightarrow f^{pre}(K) \text{ is }\mathbf{closed} \end{align} \]

等價的理由是因為：由拓樸空間的定義可知：若 \(K\) 是閉集，那麼 \(K^c\) 是開集。所以

\[ \begin{align} K \text{ closed } &\Rightarrow K^c \text{ open } \newline &\Rightarrow f^{pre}(K^c) \text{ open } \newline &\Rightarrow \left(f^{pre}(K)\right)^c \text{ open } \Rightarrow f^{pre}(K) \text{ closed} \end{align} \]

Open Map & Closed Map

「開集的 preimage 都是開集」，但不表示所有的開集送過去之後都還是開集。「開集送過去都是開集」這個叫做 open map：

Def (Open Map / Closed Map)
假定 \(X, Y\) 是兩個拓樸空間，且 \(f : X \to Y\)。若對於任意開集 \(u \subset X\)，\(f(u)\) 都是開集，即：

\[ \begin{align} &\forall u \subset X. u\text{ is }\mathbf{open} \newline &\Rightarrow f(u) \text{ is }\mathbf{open} \end{align} \]
則稱 \(f\) 是一個 open map。而相反地，若對於任意 \(X\) 中閉集 \(A\)，有：

\begin{align} &\forall A \subset X. A\text{ is }\mathbf{closed} \newline &\Rightarrow f(A) \text{ is }\mathbf{closed} \end{align}

則稱 \(f\) 是一個 closed map。

上面這些東西在拓樸空間中有一些等價條件：

等價條件

Thm (等價條件)

假定 \(X, Y\) 是兩個拓樸空間，且 \(f : X \to Y\)。則：

1. 連續 = 「閉包送過去」在「送過去的閉包」裡：

\[ \begin{align} & f \mathbf{\ continuous} \newline &\iff \forall A \in X.f\left(\overline A\right) \subseteq \overline{f(A)} \end{align} \]

2. closed = 「送過去的閉包」在「閉包送過去」裡：

\[ \begin{align} & f \mathbf{\ closed} \newline &\iff \forall A \in X.f\left(\overline A\right) \supseteq \overline{f(A)} \end{align} \]

3. 連續 = 「內部送回去」在「送回去的內部」裡：

\[ \begin{align} & f \mathbf{\ continuous} \newline &\iff \forall B \in Y.f^{pre}(Int(B)) \subseteq Int(f^{pre}(B)) \end{align} \]

4. Open = 「送回去的內部」在「內部送回去」裡：

\[ \begin{align} & f \mathbf{\ open} \newline &\iff \forall B \in Y.f^{pre}(Int(B)) \supseteq Int(f^{pre}(B)) \end{align} \]

1.

連續 = 「閉包送過去」在「送過去的閉包」裡：

\(\Leftarrow\) 可以嘗試證明：

\[ \bar A \subseteq f^{pre}\left(\overline{f(A)}\right) \]

不過這樣似乎還是看不出什麼所以然。但是可以注意：因為 \(f\) 連續，所以會把閉集送回閉集，因此 \(f^{pre}\left(\overline{f(A)}\right)\) 也是個閉集。更進一步，因為：

\[ f(A) \subseteq \overline {f(A)} \Rightarrow f^{pre}(f(A)) \subseteq f^{pre}\left(\overline {f(A)}\right) \]

但很顯然 \(A \subseteq f^{pre}(f(A))\)，所以就有：

\[ A \subseteq f^{pre}\left(\overline {f(A)}\right) \]

然後同時取 closure 但因為 \(f^{pre}\left(\overline {f(A)}\right)\) 自己是閉集，有取跟沒取一樣，所以就證明出來了：

\[ \overline{A} \subseteq \overline{f^{pre}\left(\overline {f(A)}\right)} = f^{pre}\left(\overline {f(A)}\right) \]

順帶一提，可以左右同時取 closure 是因為：\(A\) 的 closure 是包含 \(A\) 的最小閉集，所以如果有另外個閉集也包含 \(A\)，那麼這個閉集一定也包含 \(\bar A\)。

\(\Rightarrow\) 另外一個方向是：假定 \(K \subset Y\) 是閉集，目前還不知道 \(f^{pre}(K)\) 是不是對的。不過沒關係，就直接取閉包送到對面去看一看。發現：

\[ f\left(\overline{f^{pre}(K)}\right) \subseteq \overline{f(f^{pre}(K))} = \overline K = K \]

換句話說，也就是：

\[ \overline{f^{pre}(K)} \subseteq f^{pre}(K) \]

但顯然又有 \(f^{pre}(K) \subseteq \overline{f^{pre}(K)}\)，所以就得證：

\[ f^{pre}(K) = \overline{f^{pre}(K)} \]

也就是：

\[ f^{pre}(K) \mathbf{\ closed} \]

2.

closed = 「送過去的閉包」在「閉包送過去」裡：

\(\Leftarrow\) 上面的思路知道：因為 \(f\) closed，加上閉包自己就是閉集，所以 \(f(\bar A)\) 是個閉集。既然是個包含某個集合閉包的閉集，只要證明 \(f(A) \subset f(\bar A)\)，依照「閉包是包含原集合最小的閉集」， \(\overline {f(A)}\) 就會自動在 \(f(\bar A)\) 裡面。但這很顯然，因為 \(A \subseteq \bar A\)，所以 \(f(A) \subset f(\bar A)\)，然後就證明完了。

\(\Rightarrow\) 另外一個方向：假定現在有一個閉集 \(K \subset X\)，目標是 \(f(K)\) 是閉集。這也就是說要證明「自己的閉包就是自己」，或是說 \(\overline{f(K)} \subseteq f(K)\) 及 \(\overline{f(K)} \supseteq f(K)\) 。但後者是顯然，因為自己一定在自己的閉包裡面，所以只要證前者就可以了。

由條件知道：

\[ \overline {f(K)} \subseteq f\left(\overline K\right) = {f(K)} \]

最後一個等號是因為 \(K\) 是閉集，所以自己就是自己的閉包。由此得證 \(f(K)\) 也是個閉集，即 \(f\) 為 closed map。

3.

連續 = 「內部送回去」在「送回去的內部」裡：

\(\Leftarrow\) 跟上面類似，但這邊是用「集合的內部定義是『包含所有包在原集合中的開集』的集合」。因為連續，所以 \(f^{pre}(Int(B))\) 是個開集。只要可以證明：

\[ f^{pre}(Int(B)) \subseteq f^{pre}(B) \]

那麼就有：

\[ f^{pre}(Int(B)) \subseteq Int(f^{pre}(B)) \]

但這個命題也很顯然。因為 \(Int(B) \subseteq B\)，所以根本就自動有：

\[ Int(B) \subseteq B \Rightarrow f^{pre}(Int(B)) \subseteq f^{pre}(B) \]

然後就證完了。

\(\Rightarrow\) 另外一個方向也很顯然。直接假定 \(B\) 是開集，然後想辦法說 \(f^{pre}(B)\) 是開集。由條件可以知道：

\[ f^{pre}(B) \subseteq Int(f^{pre}(B)) \]

但另外一方面，依照集合內點的定義，集合的 \(Int\) 一定會包在原集合裡。所以顯然有：

\[ f^{pre}(B) \supseteq Int(f^{pre}(B)) \]

因此：

\[ f^{pre}(B) = Int(f^{pre}(B)) \]

所以 \(f^{pre}(B)\) 就 open。由此得證 \(f\) 連續。

4.

Open = 「送回去的內部」在「內部送回去」裡：

\(\Leftarrow\) 如果可以證明：

\[ f(Int(f^{pre}(B))) \subseteq Int(B) \]

的話，就證明了原命題。不過，因為：

\[ Int(f^{pre}(B)) \subseteq f^{pre}(B) \Rightarrow f(Int(f^{pre}(B))) \subseteq B \]

但因為 \(Int(f^{pre}(B))\) 是個開集，而 \(f\) 是個 open map，所以 \(f(Int(f^{pre}(B)))\) 也是個開集。依照「內部」的定義，所有包在集合內部的開集，都會包在集合的內部裡。所以：

\[ f(Int(f^{pre}(B))) \subseteq Int(B) \]

\(\Rightarrow\) 另外一個方向，如果 \(u \subseteq X\) 是開集，也就是說 \(Int(u) = u\)，目標是證明 \(f(u)\) 也是開集。但這只要證明 \(f(u) \subseteq Int(f(u))\) 就好。如果令 \(B = f(u)\)，那麼就有：

\[ f^{pre}(Int(f(u))) \supseteq Int(f^{pre}(f(u))) \]

但 \(Int(f^{pre}(f(u)))\) 的定義，任何包在 \(f^{pre}(f(u))\) 中的開集也都會在他裡面。但很明顯：

\[ u \subseteq f^{pre}(f(u)) \]

而且 \(u\) 又是個開集。因此：

\[ u \subseteq Int(f^{pre}f(u)) \]

所以就有：

\[ f^{pre}(Int(f(u))) \supseteq Int(f^{pre}(f(u))) \supseteq u \]

第一個跟最後一個，就有：

\[ f^{pre}(Int(f(u))) \supseteq u \]

因此，左右同時用 \(f\) 送過去，就有：

\[ Int(f(u)) \supseteq f(u) \]

由此得證。