# 代數導論 (13) - Lattice Isomorphism Theorem (Part 1)

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這邊要討論子群之間一起取 *quotient group* 後，他們的某些關係是否能維持。

取 *quotient group* 是個把群「濃縮」的過程，所以一些群之間的關係，在拿兩者共同的不變子群下去作 *quotient group* 之後，這個關係也會一併「繼承」給做出來的那兩個 *quotient group*。而有哪些關係會繼承？這就是 *Lattice Isomorphism Theorem* 要討論的事。

## 定理：Lattice Isomorphic Theorem (Part 1)

子群間要能夠「一起取 *quotient group*」，首先的前提是==這些群都要做得出 *quotient group*==，也就是要包含 *normal subgroup*; 除此之外，還要可以「==一起取==」，也就是說：這個 *normal subgroup* 大家都要有的。

所以，下面在給定一個 *normal subgroup* 之後，討論的範圍就縮限在那些「包含給定的 *normal subgroup*」的那些子群，或是說「做得出 *quotient group* 的那些子群」，並討論他們一起做 *quotient group* 後關係是否會有變化：

:::danger
**Thm (取 Quotient Group 保子群)**

假定 $G$ 是一個群，$K \lhd G$。假定 $\mathcal H$ 為「$G$ 中所有包含 $K$ 的子群」，$\mathcal {\overline H}$ 為「所有 $G/K$ 中的子群」，即：

$$
\begin{align}
\mathcal H = \{H &\mid K \leq H \leq G\}
\newline
\overline{\mathcal H} = \{\overline H &\mid \overline H \leq G/K\}
\end{align}
$$

則 $\mathcal H$ 與 $\overline{\mathcal H}$ 間存在雙射。而且這個雙射就是：

$$
\begin{align}
\psi : \mathcal H &\to \overline{\mathcal H}
\newline
H &\mapsto H/K
\end{align}
$$

:::

這個定理想要表達的事情有點像是：

$$
H \leq G \iff (H/K) \leq (G/K)
$$

但如同上面所說，在給定 $K$ 這個 *normal subgroup* 的狀況下，$H/K$ 並不總是個群。只有當 $K \lhd H$ 時，$H/K$ 才會是個群。所以只要求 $H \leq G$ 還太鬆，要把討論範圍縮限在那些滿足 $K \leq H \leq G$ 的 $H$ 才行。

這時可能會有一個問題：明明要「$K \lhd H$」的狀況下，$H/K$ 才是個群，為什麼這邊加上的條件卻是「$K \leq H$」？答案是：$K \lhd G$ 的狀況下，只要有「$K \leq H$」就自動有「$K \lhd H$」。

理由是：「$K \lhd G$」表示「$G$ 中的每個元素都能 *normalize* $K$」，但「$H$ 包含在 $G$ 裡面」，所以 $H$ 裡面的元素當然也都可以 *normalize* $K$。但驗證 $K \leq H$ 顯然比 $K \lhd H$ 還要方便一點。

而這個定理除了「子群關係取 *quotient group* 後會維持」，其實還更強：「每一個 $G/K$ 中的子群，都只能由 $G$ 中某個特定的『合格』子群造出來」。而這邊的「合格」是指前面 $K \lhd H$ 這件事 (或在這個狀況下等價地，$K \leq H$)。

證明是考慮那個「取 *coset*」的 *mapping*，是一個 *surjective* 的 *homomorphism*：
$$
\begin{align}
\Phi : G &\to G/K
\newline
g &\mapsto gK
\end{align}
$$

這樣一來，原先的 $\psi$ 就可以改為：

$$
\begin{align}
\psi : \mathcal H &\to \overline{\mathcal H}
\newline
H &\mapsto \Phi(H)
\end{align}
$$

==Surjection==：

要證明的目標是：每個 $\mathcal {\overline H} = G/K$ 中的 *subgroup* $\overline H$，都是某個「$G$ 中以 $K$ 為 *normal subgroup* 的子群」造出來的。也就是說：要證明存在 $K \leq H \leq G$，使得：

$$
\Phi(H) = \overline{H}
$$

要證明 *surjective* 只要「找到」就可以了。至於找到的東西是不是唯一的那個，那是 *injective* 該煩惱的事。這邊只要找到一個就可以了。

而既然是找子群，而且已經知道 $\overline{H} = H/K$ 是個群，所以最直接的方法就是利用 *homomorphism* 「對應域子群的 *preimage*，必定會是個定義域中的群」，把它用 *homomorphism* 拉回 *preimage*。然後，然後就造出一個群了。

而這邊就有一個現成的 *homomorphism*，那就是 $\Phi$。前面討論 *coset* 時，已經證明了「取 *coset*」的這個動作是個 *homomorphism*。所以對任意 $\overline{H} \in G/K = \mathcal{\overline{H}}$，都有：

$$
\Phi^{pre}(\overline{H}) \leq G
$$

更進一步，這個 *preimage* 還包含了 $K$。因為如果 $\overline H \leq G/K$，那麼 $G/K$ 這個 *quotient group* 的單位元 $(1) K$ 就必定會在 $\overline H$ 中。因此：

$$
(1)K \in \overline{H} \Rightarrow K \subseteq \Phi^{pre}(\overline{H})
$$

所以得證這個 *preimage* 是一個包含 $K$ 的子群。

==Injection==：

> 如果已經知道 *injection* 的充要條件是「怒空僅零」的話，可以直接用這個條件證。不過上課是用左反來證明。

要證明 *injection* 可以用定義，或是直接暴力找左反。有左反的充要條件是 *injective*。而這邊的左反明顯第一個就想找 $\Phi^{pre}$。所以就暴力宣稱：

$$
\begin{align}
\psi' : \mathcal {\overline H} &\to H
\newline
\overline H &\to \Phi^{pre}(\overline H)
\end{align}
$$

是個 *well-defined* 的函數，而且他是 $\Phi$ 的左反。*well-defined* 是因為：前面已經證明，對於任意 $\overline{H}$，$\Phi^{pre}(\overline{H})$ 都會是個包含 $K$ 的子群，所以必定是個 $\mathcal H$ 中的元素。

接下來驗證這個東西真的是個左反。這也就是要驗證：對於任意 $H \in \mathcal H$，有：

$$
(\psi' \circ \psi)(H) = H
$$

或者說是要驗證：

$$
\Phi^{pre}(\Phi(H)) = H
$$

這當中有一個包含關係是顯然：因為 $\Phi(H) \subseteq \Phi(H)$，所以很顯然 $H$ 自己要包在 $\Phi(H)$ 的 *preimage* 裡面。也就是：

$$
H \subseteq \Phi^{pre}(\Phi(H))
$$

所以只剩下另外一個方向的包含關係要驗證。

對於任意能使 $\Phi(g) \in \Phi(H)$ 的 $g \in G$ (目標是： $g \in H$)。既然 $\Phi(g) \in \Phi(H)$，表示存在一個 $H$ 中的元素 $h$，使得 $\Phi(g)$ 與 $\Phi(h)$ 相等。即：

$$
\begin{align}
\exists h &\in H.
\newline
&\Phi(g) = \Phi(h) \in \Phi(H)
\end{align}
$$

但這就表示：$h, g$ 做出來的 *coset* 是一樣的。因此：

$$
(g)K = (h)K \Rightarrow (gh^{-1}) \in K
$$

而前提有提到：$H \in \mathcal {H}$ 依照定義是個包含 $K$ 的子群。因此：

$$
gh^{-1} \in K \subseteq H
$$

現在既然有 $h \in H$，使用 *coset* 的定義可知：

$$
gh^{-1} \subseteq H \Rightarrow g \in (h)H \subseteq H
$$

由此得證：任何能使 $\Phi(g) \in H/K$ 的 $g$，最終都有 $g \in H$。