這邊要討論子群之間一起取 quotient group 後,他們的某些關係是否能維持。
取 quotient group 是個把群「濃縮」的過程,所以一些群之間的關係,在拿兩者共同的不變子群下去作 quotient group 之後,這個關係也會一併「繼承」給做出來的那兩個 quotient group。而有哪些關係會繼承?這就是 Lattice Isomorphism Theorem 要討論的事。
子群間要能夠「一起取 quotient group」,首先的前提是這些群都要做得出 quotient group,也就是要包含 normal subgroup; 除此之外,還要可以「一起取」,也就是說:這個 normal subgroup 大家都要有的。
所以,下面在給定一個 normal subgroup 之後,討論的範圍就縮限在那些「包含給定的 normal subgroup」的那些子群,或是說「做得出 quotient group 的那些子群」,並討論他們一起做 quotient group 後關係是否會有變化:
Thm (取 Quotient Group 保子群)
假定
則
這個定理想要表達的事情有點像是:
但如同上面所說,在給定
這時可能會有一個問題:明明要「
理由是:「
而這個定理除了「子群關係取 quotient group 後會維持」,其實還更強:「每一個
證明是考慮那個「取 coset」的 mapping,是一個 surjective 的 homomorphism:
這樣一來,原先的
Surjection:
要證明的目標是:每個
要證明 surjective 只要「找到」就可以了。至於找到的東西是不是唯一的那個,那是 injective 該煩惱的事。這邊只要找到一個就可以了。
而既然是找子群,而且已經知道
而這邊就有一個現成的 homomorphism,那就是
更進一步,這個 preimage 還包含了
所以得證這個 preimage 是一個包含
Injection:
如果已經知道 injection 的充要條件是「怒空僅零」的話,可以直接用這個條件證。不過上課是用左反來證明。
要證明 injection 可以用定義,或是直接暴力找左反。有左反的充要條件是 injective。而這邊的左反明顯第一個就想找
是個 well-defined 的函數,而且他是
接下來驗證這個東西真的是個左反。這也就是要驗證:對於任意
或者說是要驗證:
這當中有一個包含關係是顯然:因為
所以只剩下另外一個方向的包含關係要驗證。
對於任意能使
但這就表示:
而前提有提到:
現在既然有
由此得證:任何能使