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代數導論 (13) - Lattice Isomorphism Theorem (Part 1)

這邊要討論子群之間一起取 quotient group 後,他們的某些關係是否能維持。

quotient group 是個把群「濃縮」的過程,所以一些群之間的關係,在拿兩者共同的不變子群下去作 quotient group 之後,這個關係也會一併「繼承」給做出來的那兩個 quotient group。而有哪些關係會繼承?這就是 Lattice Isomorphism Theorem 要討論的事。

定理:Lattice Isomorphic Theorem (Part 1)

子群間要能夠「一起取 quotient group」,首先的前提是這些群都要做得出 quotient group,也就是要包含 normal subgroup; 除此之外,還要可以「一起取」,也就是說:這個 normal subgroup 大家都要有的。

所以,下面在給定一個 normal subgroup 之後,討論的範圍就縮限在那些「包含給定的 normal subgroup」的那些子群,或是說「做得出 quotient group 的那些子群」,並討論他們一起做 quotient group 後關係是否會有變化:

Thm (取 Quotient Group 保子群)

假定

G 是一個群,
KG
。假定
H
為「
G
中所有包含
K
的子群」,
H
為「所有
G/K
中的子群」,即:

H={HKHG}H={HHG/K}

H
H
間存在雙射。而且這個雙射就是:

ψ:HHHH/K

這個定理想要表達的事情有點像是:

HG(H/K)(G/K)

但如同上面所說,在給定

K 這個 normal subgroup 的狀況下,
H/K
並不總是個群。只有當
KH
時,
H/K
才會是個群。所以只要求
HG
還太鬆,要把討論範圍縮限在那些滿足
KHG
H
才行。

這時可能會有一個問題:明明要「

KH」的狀況下,
H/K
才是個群,為什麼這邊加上的條件卻是「
KH
」?答案是:
KG
的狀況下,只要有「
KH
」就自動有「
KH
」。

理由是:「

KG」表示「
G
中的每個元素都能 normalize
K
」,但「
H
包含在
G
裡面」,所以
H
裡面的元素當然也都可以 normalize
K
。但驗證
KH
顯然比
KH
還要方便一點。

而這個定理除了「子群關係取 quotient group 後會維持」,其實還更強:「每一個

G/K 中的子群,都只能由
G
中某個特定的『合格』子群造出來」。而這邊的「合格」是指前面
KH
這件事 (或在這個狀況下等價地,
KH
)。

證明是考慮那個「取 coset」的 mapping,是一個 surjectivehomomorphism

Φ:GG/KggK

這樣一來,原先的

ψ 就可以改為:

ψ:HHHΦ(H)

Surjection

要證明的目標是:每個

H=G/K 中的 subgroup
H
,都是某個「
G
中以
K
normal subgroup 的子群」造出來的。也就是說:要證明存在
KHG
,使得:

Φ(H)=H

要證明 surjective 只要「找到」就可以了。至於找到的東西是不是唯一的那個,那是 injective 該煩惱的事。這邊只要找到一個就可以了。

而既然是找子群,而且已經知道

H=H/K 是個群,所以最直接的方法就是利用 homomorphism 「對應域子群的 preimage,必定會是個定義域中的群」,把它用 homomorphism 拉回 preimage。然後,然後就造出一個群了。

而這邊就有一個現成的 homomorphism,那就是

Φ。前面討論 coset 時,已經證明了「取 coset」的這個動作是個 homomorphism。所以對任意
HG/K=H
,都有:

Φpre(H)G

更進一步,這個 preimage 還包含了

K。因為如果
HG/K
,那麼
G/K
這個 quotient group 的單位元
(1)K
就必定會在
H
中。因此:

(1)KHKΦpre(H)

所以得證這個 preimage 是一個包含

K 的子群。

Injection

如果已經知道 injection 的充要條件是「怒空僅零」的話,可以直接用這個條件證。不過上課是用左反來證明。

要證明 injection 可以用定義,或是直接暴力找左反。有左反的充要條件是 injective。而這邊的左反明顯第一個就想找

Φpre。所以就暴力宣稱:

ψ:HHHΦpre(H)

是個 well-defined 的函數,而且他是

Φ 的左反。well-defined 是因為:前面已經證明,對於任意
H
Φpre(H)
都會是個包含
K
的子群,所以必定是個
H
中的元素。

接下來驗證這個東西真的是個左反。這也就是要驗證:對於任意

HH,有:

(ψψ)(H)=H

或者說是要驗證:

Φpre(Φ(H))=H

這當中有一個包含關係是顯然:因為

Φ(H)Φ(H),所以很顯然
H
自己要包在
Φ(H)
preimage 裡面。也就是:

HΦpre(Φ(H))

所以只剩下另外一個方向的包含關係要驗證。

對於任意能使

Φ(g)Φ(H)
gG
(目標是:
gH
)。既然
Φ(g)Φ(H)
,表示存在一個
H
中的元素
h
,使得
Φ(g)
Φ(h)
相等。即:

hH.Φ(g)=Φ(h)Φ(H)

但這就表示:

h,g 做出來的 coset 是一樣的。因此:

(g)K=(h)K(gh1)K

而前提有提到:

HH 依照定義是個包含
K
的子群。因此:

gh1KH

現在既然有

hH,使用 coset 的定義可知:

gh1Hg(h)HH

由此得證:任何能使

Φ(g)H/K
g
,最終都有
gH