這邊要討論子群之間一起取 quotient group 後,他們的某些關係是否能維持。
取 quotient group 是個把群「濃縮」的過程,所以一些群之間的關係,在拿兩者共同的不變子群下去作 quotient group 之後,這個關係也會一併「繼承」給做出來的那兩個 quotient group。而有哪些關係會繼承?這就是 Lattice Isomorphism Theorem 要討論的事。
子群間要能夠「一起取 quotient group」,首先的前提是這些群都要做得出 quotient group,也就是要包含 normal subgroup; 除此之外,還要可以「一起取」,也就是說:這個 normal subgroup 大家都要有的。
所以,下面在給定一個 normal subgroup 之後,討論的範圍就縮限在那些「包含給定的 normal subgroup」的那些子群,或是說「做得出 quotient group 的那些子群」,並討論他們一起做 quotient group 後關係是否會有變化:
Thm (取 Quotient Group 保子群)
假定 \(G\) 是一個群,\(K \lhd G\)。假定 \(\mathcal H\) 為「\(G\) 中所有包含 \(K\) 的子群」,\(\mathcal {\overline H}\) 為「所有 \(G/K\) 中的子群」,即:
\[ \begin{align} \mathcal H = \{H &\mid K \leq H \leq G\} \newline \overline{\mathcal H} = \{\overline H &\mid \overline H \leq G/K\} \end{align} \]
則 \(\mathcal H\) 與 \(\overline{\mathcal H}\) 間存在雙射。而且這個雙射就是:
\[ \begin{align} \psi : \mathcal H &\to \overline{\mathcal H} \newline H &\mapsto H/K \end{align} \]
這個定理想要表達的事情有點像是:
\[ H \leq G \iff (H/K) \leq (G/K) \]
但如同上面所說,在給定 \(K\) 這個 normal subgroup 的狀況下,\(H/K\) 並不總是個群。只有當 \(K \lhd H\) 時,\(H/K\) 才會是個群。所以只要求 \(H \leq G\) 還太鬆,要把討論範圍縮限在那些滿足 \(K \leq H \leq G\) 的 \(H\) 才行。
這時可能會有一個問題:明明要「\(K \lhd H\)」的狀況下,\(H/K\) 才是個群,為什麼這邊加上的條件卻是「\(K \leq H\)」?答案是:\(K \lhd G\) 的狀況下,只要有「\(K \leq H\)」就自動有「\(K \lhd H\)」。
理由是:「\(K \lhd G\)」表示「\(G\) 中的每個元素都能 normalize \(K\)」,但「\(H\) 包含在 \(G\) 裡面」,所以 \(H\) 裡面的元素當然也都可以 normalize \(K\)。但驗證 \(K \leq H\) 顯然比 \(K \lhd H\) 還要方便一點。
而這個定理除了「子群關係取 quotient group 後會維持」,其實還更強:「每一個 \(G/K\) 中的子群,都只能由 \(G\) 中某個特定的『合格』子群造出來」。而這邊的「合格」是指前面 \(K \lhd H\) 這件事 (或在這個狀況下等價地,\(K \leq H\))。
證明是考慮那個「取 coset」的 mapping,是一個 surjective 的 homomorphism:
\[
\begin{align}
\Phi : G &\to G/K
\newline
g &\mapsto gK
\end{align}
\]
這樣一來,原先的 \(\psi\) 就可以改為:
\[ \begin{align} \psi : \mathcal H &\to \overline{\mathcal H} \newline H &\mapsto \Phi(H) \end{align} \]
Surjection:
要證明的目標是:每個 \(\mathcal {\overline H} = G/K\) 中的 subgroup \(\overline H\),都是某個「\(G\) 中以 \(K\) 為 normal subgroup 的子群」造出來的。也就是說:要證明存在 \(K \leq H \leq G\),使得:
\[ \Phi(H) = \overline{H} \]
要證明 surjective 只要「找到」就可以了。至於找到的東西是不是唯一的那個,那是 injective 該煩惱的事。這邊只要找到一個就可以了。
而既然是找子群,而且已經知道 \(\overline{H} = H/K\) 是個群,所以最直接的方法就是利用 homomorphism 「對應域子群的 preimage,必定會是個定義域中的群」,把它用 homomorphism 拉回 preimage。然後,然後就造出一個群了。
而這邊就有一個現成的 homomorphism,那就是 \(\Phi\)。前面討論 coset 時,已經證明了「取 coset」的這個動作是個 homomorphism。所以對任意 \(\overline{H} \in G/K = \mathcal{\overline{H}}\),都有:
\[ \Phi^{pre}(\overline{H}) \leq G \]
更進一步,這個 preimage 還包含了 \(K\)。因為如果 \(\overline H \leq G/K\),那麼 \(G/K\) 這個 quotient group 的單位元 \((1) K\) 就必定會在 \(\overline H\) 中。因此:
\[ (1)K \in \overline{H} \Rightarrow K \subseteq \Phi^{pre}(\overline{H}) \]
所以得證這個 preimage 是一個包含 \(K\) 的子群。
Injection:
如果已經知道 injection 的充要條件是「怒空僅零」的話,可以直接用這個條件證。不過上課是用左反來證明。
要證明 injection 可以用定義,或是直接暴力找左反。有左反的充要條件是 injective。而這邊的左反明顯第一個就想找 \(\Phi^{pre}\)。所以就暴力宣稱:
\[ \begin{align} \psi' : \mathcal {\overline H} &\to H \newline \overline H &\to \Phi^{pre}(\overline H) \end{align} \]
是個 well-defined 的函數,而且他是 \(\Phi\) 的左反。well-defined 是因為:前面已經證明,對於任意 \(\overline{H}\),\(\Phi^{pre}(\overline{H})\) 都會是個包含 \(K\) 的子群,所以必定是個 \(\mathcal H\) 中的元素。
接下來驗證這個東西真的是個左反。這也就是要驗證:對於任意 \(H \in \mathcal H\),有:
\[ (\psi' \circ \psi)(H) = H \]
或者說是要驗證:
\[ \Phi^{pre}(\Phi(H)) = H \]
這當中有一個包含關係是顯然:因為 \(\Phi(H) \subseteq \Phi(H)\),所以很顯然 \(H\) 自己要包在 \(\Phi(H)\) 的 preimage 裡面。也就是:
\[ H \subseteq \Phi^{pre}(\Phi(H)) \]
所以只剩下另外一個方向的包含關係要驗證。
對於任意能使 \(\Phi(g) \in \Phi(H)\) 的 \(g \in G\) (目標是: \(g \in H\))。既然 \(\Phi(g) \in \Phi(H)\),表示存在一個 \(H\) 中的元素 \(h\),使得 \(\Phi(g)\) 與 \(\Phi(h)\) 相等。即:
\[ \begin{align} \exists h &\in H. \newline &\Phi(g) = \Phi(h) \in \Phi(H) \end{align} \]
但這就表示:\(h, g\) 做出來的 coset 是一樣的。因此:
\[ (g)K = (h)K \Rightarrow (gh^{-1}) \in K \]
而前提有提到:\(H \in \mathcal {H}\) 依照定義是個包含 \(K\) 的子群。因此:
\[ gh^{-1} \in K \subseteq H \]
現在既然有 \(h \in H\),使用 coset 的定義可知:
\[ gh^{-1} \subseteq H \Rightarrow g \in (h)H \subseteq H \]
由此得證:任何能使 \(\Phi(g) \in H/K\) 的 \(g\),最終都有 \(g \in H\)。