# Topological Space - Convergence and Limit

因為現在沒有 *metric space* 中的距離，所以就不能用類似 $\epsilon-\delta$ 的敘述去定義收斂。不過，現在有 *open set*，所以就可以用 *open neighborhood* 的概念談論收斂。

## Convergence

:::warning
**Def (拓樸空間上的收斂)**
假定 $(X, J)$ 是一個拓樸空間， $(P_n)_{n = 1}^{\infty} \subset X$ 是一個序列。$P_n \to P$ 的定義是：對於任意包含 $P$ 的 open neighborhood $u$，都可以滿足：

$$
\bbox[yellow]{\forall u.\exists N\in \mathbb N.\forall n \geq N.P_n \in u}
$$

言下之意跟實數或 metric space 中的行為一樣：只要夠後面，想要塞進多小的空間都可以。
:::

雖然拓樸空間的定義看起來很任意，隨便寫都是一個拓樸空間。不過，隨便寫出來的拓樸空間常常會有很不直覺的行為，比如說：

:::info
$$
\begin{align}
X &= \{1, 2, 3\}\newline
J &= \{\phi, \{1, 2\}, \{1, 2, 3\}\}
\end{align}
$$

並且令：

$$
\{P_n\}_{n = 1}^{\infty} = \{1, 2, 1, 2, 1, 2, 1 \dots\}
$$

那麼：

$$
P_n \to 1
$$

且：

$$
P_n \to 2
$$

且：

$$
P_n \to 3
$$
:::

上面這個例子可以發現：1, 2, 3 都是 $P_n$ 收斂的值。看起來不太直覺，所以為了讓討論有意義，往往會需要訂一些比較有意義的拓樸。

## Limit Point

:::warning
**Def (Cluster Point)**
假定 $X$ 是個拓樸空間。若 $p \in A \subseteq X$ 滿足：
$$
\bbox[yellow]{
\forall \text{nbhd}(p) =: u_p.(u_p\cap A)\setminus \{p\} \neq \phi
}
$$

則稱 $p$ 是一個 $A$ 的 *cluster point*。而若 $q \in A \subseteq X$ 滿足：
$$
\bbox[yellow]{
\exists \text{nbhd}(p) =: u_p.(u_p\cap A) = \{p\}
}
$$

則稱 $p$ 是 $A$ 的一個 *isolated point*。
:::

這邊的 *open neighborhood* 拉回 *metric space* 就是類似 $\epsilon$-ball 的概念。對於 *cluster point* 的概念類似於：離 $p$ 任意大小畫出一個 *open neighborhood*，都找得到一個點跟 $p$ 任意接近; 而在 *isolated point* 的狀況，就是這樣去找能跟 $p$ 任意接近的點，在夠近之後，只能找得到 $p$ 本身。

所以可以發現：這樣 *cluster point* 的概念其實類似於 *metric space* 中的 *limit point*。而在 *metric space* 中，閉集是包含所有自己的 *limit point* 的集合，而在拓樸空間中，類似的結論也是成立的：

## 閉集 = 包含所有 cluster point 的集合

:::danger
**Thm (閉集 = 包住所有極限點的集合)**
$$
\bbox[pink]{
\begin{align}
&A \text{ is closed}\iff \newline
&A \text{ contains all its cluster point}
\end{align}}
$$
:::

這個定理跟之前在 metric space 的閉包定義看起來差不多。

==「$\Rightarrow$」==

反證：假定有一個 cluster point $p$ 不在 $A$ 裡面，那麼：

$$
p \not \in A \Rightarrow p \in X \setminus A
$$

但因為 $A$ 是閉集，所以 $X \setminus A$ 就是開集，而且 $p$ 在裡面。用開集的性質 $X \setminus A = int(X \setminus A)$ 知道 $p$ 自動是 $X \setminus A$ 的內點。因此：

$$
\exists \text{nbhd}(p) =: u_p.u_p \subset X \setminus A
$$

因為是開集等價條件生出來的 ，所以這個鄰域 $u_p \cap A = \phi$。但另外一方面，$p$ 是個 cluster point，所以對於任意開集有：

$$
(u_p \cap A) \setminus \{p\} \neq \phi
$$

又說他跟 $A$ 有交集。於是矛盾。

==「$\Leftarrow$」==

假定 $A$ 所有的 cluster point 都被包在自己裡面，也就是說：任意 $p \in X \setminus A$ 的點，都不會是 $A$ 的 cluster point (不然 A 就不 contains 所有的 cluster point 了嘛)。

既然這樣，就表示任何 $p \in X \setminus A$ 不滿足成為「$A$ 的 cluster point」的條件，即：

$$
\forall p \in (X\setminus A).
\exists \text{nbhd}(p) =: u_p.
u_p \cap A \setminus \{p\} = \phi
$$

不過，既然 $p \not \in A$，所以上面這句話就是在說：

$$
\forall p \in (X\setminus A).\exists \text{nbhd}(p) =: u_p. u_p \cap A = \phi
$$

或者是：

$$
\forall p \in (X\setminus A).\exists \text{nbhd}(p) =: u_p. u_p \subset (X \setminus A)
$$

然後就發現：這句話根本就是在說：

$$
(X \setminus A) \text{ is open}
$$

因此：

$$
A \text{ is closed}
$$