Topological Space - Convergence and Limit
因為現在沒有 metric space 中的距離，所以就不能用類似 \(\epsilon-\delta\) 的敘述去定義收斂。不過，現在有 open set，所以就可以用 open neighborhood 的概念談論收斂。
Convergence
Def (拓樸空間上的收斂)
假定 \((X, J)\) 是一個拓樸空間， \((P_n)_{n = 1}^{\infty} \subset X\) 是一個序列。\(P_n \to P\) 的定義是：對於任意包含 \(P\) 的 open neighborhood \(u\)，都可以滿足：
\[
\bbox[yellow]{\forall u.\exists N\in \mathbb N.\forall n \geq N.P_n \in u}
\]
言下之意跟實數或 metric space 中的行為一樣：只要夠後面，想要塞進多小的空間都可以。
雖然拓樸空間的定義看起來很任意，隨便寫都是一個拓樸空間。不過，隨便寫出來的拓樸空間常常會有很不直覺的行為，比如說：
\[
\begin{align}
X &= \{1, 2, 3\}\newline
J &= \{\phi, \{1, 2\}, \{1, 2, 3\}\}
\end{align}
\]
並且令：
\[
\{P_n\}_{n = 1}^{\infty} = \{1, 2, 1, 2, 1, 2, 1 \dots\}
\]
那麼：
\[
P_n \to 1
\]
且：
\[
P_n \to 2
\]
且：
\[
P_n \to 3
\]
上面這個例子可以發現：1, 2, 3 都是 \(P_n\) 收斂的值。看起來不太直覺，所以為了讓討論有意義，往往會需要訂一些比較有意義的拓樸。
Limit Point
Def (Cluster Point)
假定 \(X\) 是個拓樸空間。若 \(p \in A \subseteq X\) 滿足：
\[
\bbox[yellow]{
\forall \text{nbhd}(p) =: u_p.(u_p\cap A)\setminus \{p\} \neq \phi
}
\]
則稱 \(p\) 是一個 \(A\) 的 cluster point。而若 \(q \in A \subseteq X\) 滿足：
\[
\bbox[yellow]{
\exists \text{nbhd}(p) =: u_p.(u_p\cap A) = \{p\}
}
\]
則稱 \(p\) 是 \(A\) 的一個 isolated point。
這邊的 open neighborhood 拉回 metric space 就是類似 \(\epsilon\)-ball 的概念。對於 cluster point 的概念類似於：離 \(p\) 任意大小畫出一個 open neighborhood，都找得到一個點跟 \(p\) 任意接近; 而在 isolated point 的狀況，就是這樣去找能跟 \(p\) 任意接近的點，在夠近之後，只能找得到 \(p\) 本身。
所以可以發現：這樣 cluster point 的概念其實類似於 metric space 中的 limit point。而在 metric space 中，閉集是包含所有自己的 limit point 的集合，而在拓樸空間中，類似的結論也是成立的：
閉集 = 包含所有 cluster point 的集合
Thm (閉集 = 包住所有極限點的集合)
\[
\bbox[pink]{
\begin{align}
&A \text{ is closed}\iff \newline
&A \text{ contains all its cluster point}
\end{align}}
\]
這個定理跟之前在 metric space 的閉包定義看起來差不多。
「\(\Rightarrow\)」
反證：假定有一個 cluster point \(p\) 不在 \(A\) 裡面，那麼：
\[
p \not \in A \Rightarrow p \in X \setminus A
\]
但因為 \(A\) 是閉集，所以 \(X \setminus A\) 就是開集，而且 \(p\) 在裡面。用開集的性質 \(X \setminus A = int(X \setminus A)\) 知道 \(p\) 自動是 \(X \setminus A\) 的內點。因此：
\[
\exists \text{nbhd}(p) =: u_p.u_p \subset X \setminus A
\]
因為是開集等價條件生出來的 ，所以這個鄰域 \(u_p \cap A = \phi\)。但另外一方面，\(p\) 是個 cluster point，所以對於任意開集有：
\[
(u_p \cap A) \setminus \{p\} \neq \phi
\]
又說他跟 \(A\) 有交集。於是矛盾。
「\(\Leftarrow\)」
假定 \(A\) 所有的 cluster point 都被包在自己裡面，也就是說：任意 \(p \in X \setminus A\) 的點，都不會是 \(A\) 的 cluster point (不然 A 就不 contains 所有的 cluster point 了嘛)。
既然這樣，就表示任何 \(p \in X \setminus A\) 不滿足成為「\(A\) 的 cluster point」的條件，即：
\[
\forall p \in (X\setminus A).
\exists \text{nbhd}(p) =: u_p.
u_p \cap A \setminus \{p\} = \phi
\]
不過，既然 \(p \not \in A\)，所以上面這句話就是在說：
\[
\forall p \in (X\setminus A).\exists \text{nbhd}(p) =: u_p. u_p \cap A = \phi
\]
或者是：
\[
\forall p \in (X\setminus A).\exists \text{nbhd}(p) =: u_p. u_p \subset (X \setminus A)
\]
然後就發現：這句話根本就是在說：
\[
(X \setminus A) \text{ is open}
\]
因此：
\[
A \text{ is closed}
\]
HackMD