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Topological Space - Convergence and Limit

因為現在沒有 metric space 中的距離,所以就不能用類似

\(\epsilon-\delta\) 的敘述去定義收斂。不過,現在有 open set,所以就可以用 open neighborhood 的概念談論收斂。

Convergence

Def (拓樸空間上的收斂)
假定

\((X, J)\) 是一個拓樸空間,
\((P_n)_{n = 1}^{\infty} \subset X\)
是一個序列。
\(P_n \to P\)
的定義是:對於任意包含
\(P\)
的 open neighborhood
\(u\)
,都可以滿足:

\[ \bbox[yellow]{\forall u.\exists N\in \mathbb N.\forall n \geq N.P_n \in u} \]

言下之意跟實數或 metric space 中的行為一樣:只要夠後面,想要塞進多小的空間都可以。

雖然拓樸空間的定義看起來很任意,隨便寫都是一個拓樸空間。不過,隨便寫出來的拓樸空間常常會有很不直覺的行為,比如說:

\[ \begin{align} X &= \{1, 2, 3\}\newline J &= \{\phi, \{1, 2\}, \{1, 2, 3\}\} \end{align} \]

並且令:

\[ \{P_n\}_{n = 1}^{\infty} = \{1, 2, 1, 2, 1, 2, 1 \dots\} \]

那麼:

\[ P_n \to 1 \]

且:

\[ P_n \to 2 \]

且:

\[ P_n \to 3 \]

上面這個例子可以發現:1, 2, 3 都是

\(P_n\) 收斂的值。看起來不太直覺,所以為了讓討論有意義,往往會需要訂一些比較有意義的拓樸。

Limit Point

Def (Cluster Point)
假定

\(X\) 是個拓樸空間。若
\(p \in A \subseteq X\)
滿足:
\[ \bbox[yellow]{ \forall \text{nbhd}(p) =: u_p.(u_p\cap A)\setminus \{p\} \neq \phi } \]

則稱

\(p\) 是一個
\(A\)
cluster point。而若
\(q \in A \subseteq X\)
滿足:
\[ \bbox[yellow]{ \exists \text{nbhd}(p) =: u_p.(u_p\cap A) = \{p\} } \]

則稱

\(p\)
\(A\)
的一個 isolated point

這邊的 open neighborhood 拉回 metric space 就是類似

\(\epsilon\)-ball 的概念。對於 cluster point 的概念類似於:離
\(p\)
任意大小畫出一個 open neighborhood,都找得到一個點跟
\(p\)
任意接近; 而在 isolated point 的狀況,就是這樣去找能跟
\(p\)
任意接近的點,在夠近之後,只能找得到
\(p\)
本身。

所以可以發現:這樣 cluster point 的概念其實類似於 metric space 中的 limit point。而在 metric space 中,閉集是包含所有自己的 limit point 的集合,而在拓樸空間中,類似的結論也是成立的:

閉集 = 包含所有 cluster point 的集合

Thm (閉集 = 包住所有極限點的集合)

\[ \bbox[pink]{ \begin{align} &A \text{ is closed}\iff \newline &A \text{ contains all its cluster point} \end{align}} \]

這個定理跟之前在 metric space 的閉包定義看起來差不多。

\(\Rightarrow\)

反證:假定有一個 cluster point

\(p\) 不在
\(A\)
裡面,那麼:

\[ p \not \in A \Rightarrow p \in X \setminus A \]

但因為

\(A\) 是閉集,所以
\(X \setminus A\)
就是開集,而且
\(p\)
在裡面。用開集的性質
\(X \setminus A = int(X \setminus A)\)
知道
\(p\)
自動是
\(X \setminus A\)
的內點。因此:

\[ \exists \text{nbhd}(p) =: u_p.u_p \subset X \setminus A \]

因為是開集等價條件生出來的 ,所以這個鄰域

\(u_p \cap A = \phi\)。但另外一方面,
\(p\)
是個 cluster point,所以對於任意開集有:

\[ (u_p \cap A) \setminus \{p\} \neq \phi \]

又說他跟

\(A\) 有交集。於是矛盾。

\(\Leftarrow\)

假定

\(A\) 所有的 cluster point 都被包在自己裡面,也就是說:任意
\(p \in X \setminus A\)
的點,都不會是
\(A\)
的 cluster point (不然 A 就不 contains 所有的 cluster point 了嘛)。

既然這樣,就表示任何

\(p \in X \setminus A\) 不滿足成為「
\(A\)
的 cluster point」的條件,即:

\[ \forall p \in (X\setminus A). \exists \text{nbhd}(p) =: u_p. u_p \cap A \setminus \{p\} = \phi \]

不過,既然

\(p \not \in A\),所以上面這句話就是在說:

\[ \forall p \in (X\setminus A).\exists \text{nbhd}(p) =: u_p. u_p \cap A = \phi \]

或者是:

\[ \forall p \in (X\setminus A).\exists \text{nbhd}(p) =: u_p. u_p \subset (X \setminus A) \]

然後就發現:這句話根本就是在說:

\[ (X \setminus A) \text{ is open} \]

因此:

\[ A \text{ is closed} \]