Topological Space - Convergence and Limit

因為現在沒有 metric space 中的距離，所以就不能用類似

$ϵ-\delta$ 的敘述去定義收斂。不過，現在有 open set，所以就可以用 open neighborhood 的概念談論收斂。

Convergence

Def (拓樸空間上的收斂)
假定

$(X,J)$ 是一個拓樸空間，

$(P_n{)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}\subset X$ 是一個序列。

$P_n\to P$ 的定義是：對於任意包含

$P$ 的 open neighborhood

$u$，都可以滿足：

$$\mathrm{\forall }u.\mathrm{\exists }N\in \mathbb{N}.\mathrm{\forall }n\ge N.P_n\in u$$

言下之意跟實數或 metric space 中的行為一樣：只要夠後面，想要塞進多小的空間都可以。

雖然拓樸空間的定義看起來很任意，隨便寫都是一個拓樸空間。不過，隨便寫出來的拓樸空間常常會有很不直覺的行為，比如說：

$$\begin{array}{rl}X& =\{1,2,3\}\\ J& =\{\varphi ,\{1,2\},\{1,2,3\}\}\end{array}$$

並且令：

$$\{P_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}=\{1,2,1,2,1,2,1\dots \}$$

那麼：

$$P_n\to 1$$

且：

$$P_n\to 2$$

且：

$$P_n\to 3$$

上面這個例子可以發現：1, 2, 3 都是

$P_n$ 收斂的值。看起來不太直覺，所以為了讓討論有意義，往往會需要訂一些比較有意義的拓樸。

Limit Point

Def (Cluster Point)
假定

$X$ 是個拓樸空間。若

$p\in A\subseteq X$ 滿足：

$$\mathrm{\forall }\text{nbhd}(p)=:u_p.(u_p\cap A)\setminus \{p\}\ne \varphi$$

則稱

$p$ 是一個

$A$ 的 cluster point。而若

$q\in A\subseteq X$ 滿足：

$$\mathrm{\exists }\text{nbhd}(p)=:u_p.(u_p\cap A)=\{p\}$$

則稱

$p$ 是

$A$ 的一個 isolated point。

這邊的 open neighborhood 拉回 metric space 就是類似

$ϵ$-ball 的概念。對於 cluster point 的概念類似於：離

$p$ 任意大小畫出一個 open neighborhood，都找得到一個點跟

$p$ 任意接近; 而在 isolated point 的狀況，就是這樣去找能跟

$p$ 任意接近的點，在夠近之後，只能找得到

$p$ 本身。

所以可以發現：這樣 cluster point 的概念其實類似於 metric space 中的 limit point。而在 metric space 中，閉集是包含所有自己的 limit point 的集合，而在拓樸空間中，類似的結論也是成立的：

閉集 = 包含所有 cluster point 的集合

Thm (閉集 = 包住所有極限點的集合)

$$\begin{array}{rl}& A\text{ is closed}⟺\\ & A\text{ contains all its cluster point}\end{array}$$

這個定理跟之前在 metric space 的閉包定義看起來差不多。

「

$\Rightarrow$」

反證：假定有一個 cluster point

$p$ 不在

$A$ 裡面，那麼：

$$p\notin A\Rightarrow p\in X\setminus A$$

但因為

$A$ 是閉集，所以

$X\setminus A$ 就是開集，而且

$p$ 在裡面。用開集的性質

$X\setminus A=int(X\setminus A)$ 知道

$p$ 自動是

$X\setminus A$ 的內點。因此：

$$\mathrm{\exists }\text{nbhd}(p)=:u_p.u_p\subset X\setminus A$$

因為是開集等價條件生出來的 ，所以這個鄰域

$u_p\cap A=\varphi$。但另外一方面，

$p$ 是個 cluster point，所以對於任意開集有：

$$(u_p\cap A)\setminus \{p\}\ne \varphi$$

又說他跟

$A$ 有交集。於是矛盾。

「

$\Leftarrow$」

假定

$A$ 所有的 cluster point 都被包在自己裡面，也就是說：任意

$p\in X\setminus A$ 的點，都不會是

$A$ 的 cluster point (不然 A 就不 contains 所有的 cluster point 了嘛)。

既然這樣，就表示任何

$p\in X\setminus A$ 不滿足成為「

$A$ 的 cluster point」的條件，即：

$$\mathrm{\forall }p\in (X\setminus A).\mathrm{\exists }\text{nbhd}(p)=:u_p.u_p\cap A\setminus \{p\}=\varphi$$

不過，既然

$p\notin A$，所以上面這句話就是在說：

$$\mathrm{\forall }p\in (X\setminus A).\mathrm{\exists }\text{nbhd}(p)=:u_p.u_p\cap A=\varphi$$

或者是：

$$\mathrm{\forall }p\in (X\setminus A).\mathrm{\exists }\text{nbhd}(p)=:u_p.u_p\subset (X\setminus A)$$

然後就發現：這句話根本就是在說：

$$(X\setminus A)\text{ is open}$$

因此：

$$A\text{ is closed}$$