# Topology on Metric Subspace

*Metric space* 也是一種 *topological space*。現在想問的問題是：如果 $S$ 是某個 *metric space* $M$ 中的子集合，那麼他會繼承哪些母空間的拓樸性質？既然拓樸空間是以定義開集為出發點，這邊就從子空間跟母空間的開集、閉集的關係開始。

## 子空間的開球

:::danger
**Observation (母空間的開球交子空間 = 子空間的開球)**
假定 $M$ 是一個 *metric soace*，$S \subset M$。

則：

$$
B_S(a, r) = B(a, r) \cap S
$$

其中，$B_S(a, r)$ 是子空間中，半徑為 $r$ 的開球：

$$
B_S(a, r) = \{y \in S : d(a, y) < r\}
$$

而 $B(a, r)$ 是母空間中，以 $a$ 為中心，$r$ 為半徑的開球：

$$
B(a, r) = \{x \in M : d(a, x) < r\}
$$
:::

因為在 $B_S(a, r)$ 的元素都在 $S \subset M$ 中，而在 $B(a, r) \cap S$ 中的元素，既在 $S$ 中，跟 $a$ 的距離也比 $r$ 小(也就是 $d(a, x) < r$)，所以依照 $B_S(a, r)$ 的定義知道也在裡面。所以兩個集合就相等了。

## 子空間的開集

:::danger
**Thm (母空間的開集交子空間 = 子空間的開集)**
假定 $M$ 是一個 *metric soace*，$S \subset M$ 是個 *metric subspace*，$v \subset S$。則：
$$
\begin{align}
& v \text{ is } \textbf{open} \text{ in S} \iff \newline
&\exists \text{ open set }u \in M.S\cap u = v
\end{align}
$$
:::

==$\Rightarrow$==：假定 $v$ 在 $S$ 中 *open*，表示存在開球 $B_S(v, \epsilon_r) \subset S$。用上面的觀察可知 $B(v, \epsilon_r)$，會是 $M$ 中的開球，且：

$$
B(v, \epsilon_r) \cap S = B_S(v, \epsilon_v)
$$

把這樣的 $B(v, r)$ 通通抓出來聯集：

$$
u = \bigcup_{v \in S} B(v, \epsilon_v)
$$

因為 *metric space* 也是拓樸空間，任意數目的開集都是開集，所以 $u$ 就是定理要求的開集。

==$\Leftarrow$==：另外一方面，假定存在這樣一個開集 $u \in M$，並且 $u \cap S = v$。既然 $u$ 是開集，所以任意 $p \in v = u \cap S$，都存在一個開球 $B(p, \epsilon) \subset u$。這時候再用觀察，有：

$$
S \cap B(p, \epsilon) = B_S(p, \epsilon)
$$

這時可知：$B_S(p, \epsilon) \subset u$ (因為 $B_S(p, \epsilon) \subset B(p, \epsilon) \subset u$)，而且 $B_S(p, \epsilon) \subset S$ (因為是 $B_S(p, \epsilon) \cap S$)，所以可知：

$$
B_S(p, \epsilon) \subset S \cap u = v
$$

因為對於任意 $p \in v$ 都有這個開集，所以 $v$ 就是開集。

## 子空間的閉集

:::danger
假定 $M$ 是一個 *metric soace*，$S \subset M$ 是個 *metric subspace*，$k \subset S$。則：
$$
\begin{align}
& k \text{ is } \textbf{closed} \text{ in S} \iff \newline
&\exists \text{ closed set }K \in M.S\cap K= k
\end{align}
$$
:::

證明動機是「把閉集挖掉之後剩下的東西」會是個開集，所以就可以用開集的結果去操作。

==$\Rightarrow$== 因為 $k$ 在 $S$ 裡面 *closed*，換句話說 $(S\setminus k)$ 在 $S$ 裡面 *open*。所以套用子空間開集的結果，存在一個開集 $U$，使得：

$$
U \cap S = (S \setminus k)
$$

然後取：

$$
K = U^c
$$

這樣一來，因為 $U$ 是開集，所以 $U^c$ 就是閉集。而且因為 $S$ 這個集合的東西，不是在 $U$ 裡，就是在 $U^c$ 裡。所以~~這個像全機率公式的東西~~：

$$
S = (U \cap S) \cup (U^c \cap S) \Rightarrow (U^c \cap S) = S \setminus (S \cap S)
$$

所以就會得到 $K \cap S = k$ 的結論：

$$
\begin{align}
K \cap S
&= (U^c \cap S) \newline
&= S \setminus (U \cap S) \newline
&= S \setminus (S \setminus k)
\newline&= k
\end{align}
$$

==$\Leftarrow$== 雖然 $K$ 是個閉集，不過已經有給開集用的定理了，而且 $K$ 是閉集表示 $K^c$ 是開集。所以任務就是對 $K^c$ 這個開集去做操作。

因為 $K^c$ 是開集，所以 $K^c \cap S$ 也是開集。而且還有~~那個像全機率公式的那條~~：

$$
(K^c \cap S) = S \setminus \underbrace{(K \cap S)}_{k}
$$

但已經知道 $(K\cap S) = k$ 了，所以：

$$
(K^c \cap S) = S \setminus k
$$

這時發現：因為 $(K^c \cap S)$ 是個開集，所以 $S\setminus k$ 是個開集; 但 $S \setminus k$ 在 $S$ 既然是個開集，那麼他在 $S$ 中的補集 $k$ 就是個閉集。由此得證。

## 封閉子空間的閉集都是母空間的閉集

:::danger
**Corollary**
假定 $M$ 是一個 *metric soace*，$S \subset M$ 是個 *metric subspace*，且 $K$ *closed*，$k \subset S$。則：
$$
\begin{align}
& k \text{ is } \textbf{closed} \text{ in }S \Rightarrow \newline
& k \text{ is } \textbf{closed} \text{ in }M
\end{align}
$$
:::

因為 $k$ 在 $S$ 裡面 *closed*，所以存在閉集 $C \subset M$，使得：

$$
C \cap S = k
$$

但因為 $S$ 也是閉集，而兩個閉集的交集仍然是閉集，所以 $k$ 也是 $M$ 裡面的閉集。