Topology on Metric Subspace

Metric space 也是一種 topological space。現在想問的問題是：如果

$S$ 是某個 metric space

$M$ 中的子集合，那麼他會繼承哪些母空間的拓樸性質？既然拓樸空間是以定義開集為出發點，這邊就從子空間跟母空間的開集、閉集的關係開始。

子空間的開球

Observation (母空間的開球交子空間 = 子空間的開球)
假定

$M$ 是一個 metric soace，

$S\subset M$。

則：

$$B_S(a,r)=B(a,r)\cap S$$

其中，

$B_S(a,r)$ 是子空間中，半徑為

$r$ 的開球：

$$B_S(a,r)=\{y\in S:d(a,y)<r\}$$

而

$B(a,r)$ 是母空間中，以

$a$ 為中心，

$r$ 為半徑的開球：

$$B(a,r)=\{x\in M:d(a,x)<r\}$$

因為在

$B_S(a,r)$ 的元素都在

$S\subset M$ 中，而在

$B(a,r)\cap S$ 中的元素，既在

$S$ 中，跟

$a$ 的距離也比

$r$ 小(也就是

$d(a,x)<r$)，所以依照

$B_S(a,r)$ 的定義知道也在裡面。所以兩個集合就相等了。

子空間的開集

Thm (母空間的開集交子空間 = 子空間的開集)
假定

$M$ 是一個 metric soace，

$S\subset M$ 是個 metric subspace，

$v\subset S$。則：

$$\begin{array}{rl}& v\text{ is }\mathbf{\text{open}}\text{ in S}⟺\\ & \mathrm{\exists }\text{ open set }u\in M.S\cap u=v\end{array}$$

$\Rightarrow$：假定

$v$ 在

$S$ 中 open，表示存在開球

$B_S(v,{ϵ}_r)\subset S$。用上面的觀察可知

$B(v,{ϵ}_r)$，會是

$M$ 中的開球，且：

$$B(v,{ϵ}_r)\cap S=B_S(v,{ϵ}_v)$$

把這樣的

$B(v,r)$ 通通抓出來聯集：

$$u=\bigcup _{v\in S}B(v,{ϵ}_v)$$

因為 metric space 也是拓樸空間，任意數目的開集都是開集，所以

$u$ 就是定理要求的開集。

$\Leftarrow$：另外一方面，假定存在這樣一個開集

$u\in M$，並且

$u\cap S=v$。既然

$u$ 是開集，所以任意

$p\in v=u\cap S$，都存在一個開球

$B(p,ϵ)\subset u$。這時候再用觀察，有：

$$S\cap B(p,ϵ)=B_S(p,ϵ)$$

這時可知：

$B_S(p,ϵ)\subset u$ (因為

$B_S(p,ϵ)\subset B(p,ϵ)\subset u$)，而且

$B_S(p,ϵ)\subset S$ (因為是

$B_S(p,ϵ)\cap S$)，所以可知：

$$B_S(p,ϵ)\subset S\cap u=v$$

因為對於任意

$p\in v$ 都有這個開集，所以

$v$ 就是開集。

子空間的閉集

假定

$M$ 是一個 metric soace，

$S\subset M$ 是個 metric subspace，

$k\subset S$。則：

$$\begin{array}{rl}& k\text{ is }\mathbf{\text{closed}}\text{ in S}⟺\\ & \mathrm{\exists }\text{ closed set }K\in M.S\cap K=k\end{array}$$

證明動機是「把閉集挖掉之後剩下的東西」會是個開集，所以就可以用開集的結果去操作。

$\Rightarrow$ 因為

$k$ 在

$S$ 裡面 closed，換句話說

$(S\setminus k)$ 在

$S$ 裡面 open。所以套用子空間開集的結果，存在一個開集

$U$，使得：

$$U\cap S=(S\setminus k)$$

然後取：

$$K=U^c$$

這樣一來，因為

$U$ 是開集，所以

$U^c$ 就是閉集。而且因為

$S$ 這個集合的東西，不是在

$U$ 裡，就是在

$U^c$ 裡。所以這個像全機率公式的東西：

$$S=(U\cap S)\cup (U^c\cap S)\Rightarrow (U^c\cap S)=S\setminus (S\cap S)$$

所以就會得到

$K\cap S=k$ 的結論：

$$\begin{array}{rl}K\cap S& =(U^c\cap S)\\ & =S\setminus (U\cap S)\\ & =S\setminus (S\setminus k)\\ & =k\end{array}$$

$\Leftarrow$ 雖然

$K$ 是個閉集，不過已經有給開集用的定理了，而且

$K$ 是閉集表示

$K^c$ 是開集。所以任務就是對

$K^c$ 這個開集去做操作。

因為

$K^c$ 是開集，所以

$K^c\cap S$ 也是開集。而且還有那個像全機率公式的那條：

$$(K^c\cap S)=S\setminus \underset{k}{\underbrace{(K\cap S)}}$$

但已經知道

$(K\cap S)=k$ 了，所以：

$$(K^c\cap S)=S\setminus k$$

這時發現：因為

$(K^c\cap S)$ 是個開集，所以

$S\setminus k$ 是個開集; 但

$S\setminus k$ 在

$S$ 既然是個開集，那麼他在

$S$ 中的補集

$k$ 就是個閉集。由此得證。

封閉子空間的閉集都是母空間的閉集

Corollary
假定

$M$ 是一個 metric soace，

$S\subset M$ 是個 metric subspace，且

$K$ closed，

$k\subset S$。則：

$$\begin{array}{rl}& k\text{ is }\mathbf{\text{closed}}\text{ in }S\Rightarrow \\ & k\text{ is }\mathbf{\text{closed}}\text{ in }M\end{array}$$

因為

$k$ 在

$S$ 裡面 closed，所以存在閉集

$C\subset M$，使得：

$$C\cap S=k$$

但因為

$S$ 也是閉集，而兩個閉集的交集仍然是閉集，所以

$k$ 也是

$M$ 裡面的閉集。