# Function Space - 完備的函數空間

這邊思考的問題是：給定一堆函數，上面要搭配什麼樣的 *metric*，才能造出一個完備的 *metric space*？這邊有一個結論：

:::danger
**有界函數 + sup-norm = 完備的函數空間**
令：

$$
C_b[a, b] := \{f:[a, b] \to \mathbb R : f \text{ is bounded}\}
$$

以及：

$$d_{sup}(f, g) = \sup_{x \in [a, b]}|f(x) - g(x)|$$

則：

$$
(C_b[a, b], d_{sup})
$$

是一個完備的 *metric space*
:::

## *sup norm*

這邊首先定義 *sup norm*。顧名思義這看起來就是個跟 $\sup$ 有關的長度。

:::warning
**Def(Sup Norm)**
假定 $f:[a, b] \to \mathbb R \in C_b$，則：

$$
\|f\|_{sup} = \sup_{x \in [a, b]}|f(x)|
$$

是一個 *well-defined* 的 *norm*，即其滿足以下的性質：

**++半正定++：**
$$
\begin{align}
&\|f\| \geq 0 \text{ and} \newline
&\|f\| = 0 \iff f = 0
\end{align}
$$
**++係數積可拆++**
假定 $x \in \mathbb R$，則：
$$
\|cf\| = |c| \|f\|
$$
**++三角不等式++**
$$
\|f + g\| \leq \|f\| + \|g\|
$$
:::

這些性質的前提都是 $f$ 是有界的，也就是存在正數 $M$，使得對於任意 $x$ 有 $|f(x)| < M$。不然如果有一邊是 $\infty$，就不用玩了。

第一個是有界的結果。因為任意 $x$ 都有 $0 \leq |f(x)| \leq M$，所以 $|f(x)|$ 的最小上界就只會是非負實數。

第二個是 $\sup$ 的性質。假定 $A \subset \mathbb R$，則：

$$
\sup_{x \in A} cx = c \sup_{x \in A} x
$$

所以：

$$
\sup_{x \in [a, b]} |cf(x)| = \sup_{x \in [a, b]} |c| |f(x)| = |c|\sup_{x \in [a, b]}|f(x)|
$$

這樣的 *norm* 可以作為有界函數上的一個 *metric*：

:::warning
**Def (有界函數的 metric)**
定義：
$$
d_{sup}(f, g) = \|f - g\|
$$
則 $d_{sup}$ 是一個 $C_b$ 的 *metric*。即 $d_{sup}$ 滿足：
**++半正定++：**
$$
\begin{align}
&d_{sup}(f, g) \geq 0 \text{ and} \newline
&d_{sup}(f, g) = 0 \iff f = g
\end{align}
$$
**++對稱++**
$$
d_{sup}(f, g) = d_{sup}(g, f)
$$
**++三角不等式++**
$$
d(f, g) \leq d(f, h) + f(h, g)
$$
:::

這樣定義 *metric* 的好處是：實際上這個 *metric* 是在把均勻收斂的概念引入有界函數的集合中：

:::danger
**Lemma (sup norm 收斂就是均勻收斂)**
假定 $\{f_n\} \subset C_b[a, b]$。則對於任意 $\epsilon > 0$，下列敘述等價：
$$
\lim_{n \to \infty} d_{sup}(f_n, f) = 0 \iff \lim_{n \to \infty}\left(\sup_{x\in[a, b]}|f_n(x) - f(x)|\right) = 0
$$
:::

這其實甚至不需要當作 Lenna，因為他只是把均勻收斂換一句話講。把 $d_{sup}$ 的定義一層一層往回找就會發現根本是在講一樣的東西：

$$
d_{sup}(f_n, f) = \|f_n - f\| = \sup_{x \in [a, b]}|f_n(x) - f(x)|
$$

## 有界函數 + sup norm

:::danger
**Thm：(有界函數, sup-norm) 完備**
令：

$$
C_b[a, b] := \{f:[a, b] \to \mathbb R : f \text{ is bounded}\}
$$

以及：

$$d_{sup}(f, g) = \sup_{x \in [a, b]}|f(x) - g(x)|$$

則：

$$
(C_b[a, b], d_{sup})
$$

是一個完備的 *metric space*
:::

要證明完備就是要證「自己裡面的柯西列都收斂到自己裡面」。首先觀察：既然 $\{f_n\}$ 是個函數空間的柯西列，也就是當 $m, n$ 很大時

$$
d(f_m, f_n) = \sup_{x \in [a, b]}|f_m(x) - f_n(x)|
$$

可以任意小，那麼 $[a, b]$ 中任意點跟著可以任意小，因為：

$$|f_m(x) - f_n(x)| \leq \sup_{x \in [a, b]}|f_m(x) - f_n(x)|$$

也就是說：隨便帶一個 $x \in [a, b]$ 進去 $\{f_n\}$，就會得到一個柯西列 $\{f_n(x)\}$。而且既然這是實數上的柯西列，所以就保證收斂。於是就令：

$$
f(x) = \lim_{n \to \infty}f_n(x)
$$

並且宣稱：

$$
f_n \to f
$$

因為均勻收斂跟 $d_{sup}$ 收斂根本是一樣的事，所以這邊直接用均勻收斂的定義。因為 $\{f_n\}$ 是函數空間的柯西列，也就是說：對於任意 $\epsilon$，當 $m, n > N$ 時：

$$
\epsilon > \sup_{x \in [a, b]}|f_m(x) - f_n(x)| \geq |f_m(x) - f_n(x)|
$$

另外一方面，因為對於任意 $x \in [a, b]$，有：

$$
\lim_{n \to \infty}f_n(x) = f(x)
$$

也就是對於任意 $\epsilon > 0$，都存在 $N'$，使得 $m > N'$ 時：

$$
|f_m(x) - f(x)| < \epsilon
$$

更進一步，我們可以挑選一個滿足 $m > N$ 的 $m$ ^[比如：當 $N' > N$ 的時候，明顯有 $m > N' > N$，所以 $m$ 隨便挑; 反之如果 $N > N'$，那就直接令 $m = N > N'$ 就好]。如此一來，就可以使用三角不等式：

$$
\begin{align}
|f_n(x) - f(x)| &\leq \underbrace{|f_n(x) - f_m(x)|}_{<\ \epsilon} + \underbrace{|f_m(x) - f(x)|}_{<\ \epsilon} < 2\epsilon
\end{align}
$$

接著要證明 $f$ 有界。利用 $\{f_n\}$ 收斂，所以可以找到一個 $n$^[利用 $\epsilon = 1 > \sup_{x\in[a, b]}|f_n(x) - f(x)| > |f_n(x) - f(x)|$]，使得 $\forall x \in [a, b]$：

$$
|f_n(x) - f(x)| < 1
$$

由三角不等式^[ $\bigg||f_n(x)| - |f(x)|\bigg|\leq \bigg|f_n(x) - f(x)\bigg| < 1$]知道：

$$
|f(x)| < |f_n(x)| + 1
$$

但因為 $f_n$ 有界，所以 $f$ 就在這個狀況下就跟著有界了。

接下來看一個這個定理的延伸“

## 連續函數 + *sup norm*

:::danger
**Corollary (連續函數完備)**
令：
$$
C^{0}([a, b] \to \mathbb R) = \{f:[a, b] \to \mathbb R:f \text{ is cont.}\}
$$
則：
$$
(C^{0}([a, b], \mathbb R), d_{sup})
$$
是個完備的 *metric space*
:::

因為 $C_b[a, b]$ 是完備的，而在 $[a, b]$ 上的連續函數，由中間值定理知道一定是有界的，所以有：

$$
C^0([a, b], \mathbb R) \subset C_b[a, b]
$$

這時把點子動到「完備空間的閉集也是完備」上，僅證 $C^{0}([a, b], \mathbb R)$ 是閉集即可。也就是假定

$$
\{f_n\} \subset C^{0}([a, b], \mathbb R)
$$

目標是：

$$
f_n \to f \text{ then } f \in C^{0}([a, b], \mathbb R)
$$

但因為在 $d_{sup}$ 下的收斂等價於均勻收斂，而均勻收斂又保連續，所以 $f$ 也會是連續的。因此 $f \in C^{0}([a, b], \mathbb R)$。目標就達成了。