Function Space - 完備的函數空間

這邊思考的問題是：給定一堆函數，上面要搭配什麼樣的 metric，才能造出一個完備的 metric space？這邊有一個結論：

有界函數 + sup-norm = 完備的函數空間
令：

$$C_b[a,b]:=\{f:[a,b]\to \mathbb{R}:f\text{ is bounded}\}$$

以及：

$$d_{sup}(f,g)=\underset{x\in [a,b]}{sup}|f(x)-g(x)|$$

則：

$$(C_b[a,b],d_{sup})$$

是一個完備的 metric space

sup norm

這邊首先定義 sup norm。顧名思義這看起來就是個跟

$sup$ 有關的長度。

Def(Sup Norm)
假定

$f:[a,b]\to \mathbb{R}\in C_b$，則：

$$\Vert f{\Vert }_{sup}=\underset{x\in [a,b]}{sup}|f(x)|$$

是一個 well-defined 的 norm，即其滿足以下的性質：

半正定：

$$\begin{array}{rl}& \Vert f\Vert \ge 0\text{ and}\\ & \Vert f\Vert =0⟺f=0\end{array}$$
係數積可拆
假定

$x\in \mathbb{R}$，則：

$$\Vert cf\Vert =|c|\Vert f\Vert$$
三角不等式

$$\Vert f+g\Vert \le \Vert f\Vert +\Vert g\Vert$$

這些性質的前提都是

$f$ 是有界的，也就是存在正數

$M$，使得對於任意

$x$ 有

$|f(x)|<M$。不然如果有一邊是

$\mathrm{\infty }$，就不用玩了。

第一個是有界的結果。因為任意

$x$ 都有

$0\le |f(x)|\le M$，所以

$|f(x)|$ 的最小上界就只會是非負實數。

第二個是

$sup$ 的性質。假定

$A\subset \mathbb{R}$，則：

$$\underset{x\in A}{sup}cx=c\underset{x\in A}{sup}x$$

所以：

$$\underset{x\in [a,b]}{sup}|cf(x)|=\underset{x\in [a,b]}{sup}|c||f(x)|=|c|\underset{x\in [a,b]}{sup}|f(x)|$$

這樣的 norm 可以作為有界函數上的一個 metric：

Def (有界函數的 metric)
定義：

$$d_{sup}(f,g)=\Vert f-g\Vert$$
則

$d_{sup}$ 是一個

$C_b$ 的 metric。即

$d_{sup}$ 滿足：
半正定：

$$\begin{array}{rl}& d_{sup}(f,g)\ge 0\text{ and}\\ & d_{sup}(f,g)=0⟺f=g\end{array}$$
對稱

$$d_{sup}(f,g)=d_{sup}(g,f)$$
三角不等式

$$d(f,g)\le d(f,h)+f(h,g)$$

這樣定義 metric 的好處是：實際上這個 metric 是在把均勻收斂的概念引入有界函數的集合中：

Lemma (sup norm 收斂就是均勻收斂)
假定

$\{f_n\}\subset C_b[a,b]$。則對於任意

$ϵ>0$，下列敘述等價：

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{d}_{sup}(f_n,f)=0⟺\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(\underset{x\in [a,b]}{sup}|f_n(x)-f(x)|)=0$$

這其實甚至不需要當作 Lenna，因為他只是把均勻收斂換一句話講。把

$d_{sup}$ 的定義一層一層往回找就會發現根本是在講一樣的東西：

$$d_{sup}(f_n,f)=\Vert f_n-f\Vert =\underset{x\in [a,b]}{sup}|f_n(x)-f(x)|$$

有界函數 + sup norm

Thm：(有界函數, sup-norm) 完備
令：

$$C_b[a,b]:=\{f:[a,b]\to \mathbb{R}:f\text{ is bounded}\}$$

以及：

$$d_{sup}(f,g)=\underset{x\in [a,b]}{sup}|f(x)-g(x)|$$

則：

$$(C_b[a,b],d_{sup})$$

是一個完備的 metric space

要證明完備就是要證「自己裡面的柯西列都收斂到自己裡面」。首先觀察：既然

$\{f_n\}$ 是個函數空間的柯西列，也就是當

$m,n$ 很大時

$$d(f_m,f_n)=\underset{x\in [a,b]}{sup}|f_m(x)-f_n(x)|$$

可以任意小，那麼

$[a,b]$ 中任意點跟著可以任意小，因為：

$$|f_m(x)-f_n(x)|\le \underset{x\in [a,b]}{sup}|f_m(x)-f_n(x)|$$

也就是說：隨便帶一個

$x\in [a,b]$ 進去

$\{f_n\}$，就會得到一個柯西列

$\{f_n(x)\}$。而且既然這是實數上的柯西列，所以就保證收斂。於是就令：

$$f(x)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{f}_n(x)$$

並且宣稱：

$$f_n\to f$$

因為均勻收斂跟

$d_{sup}$ 收斂根本是一樣的事，所以這邊直接用均勻收斂的定義。因為

$\{f_n\}$ 是函數空間的柯西列，也就是說：對於任意

$ϵ$，當

$m,n>N$ 時：

$$ϵ>\underset{x\in [a,b]}{sup}|f_m(x)-f_n(x)|\ge |f_m(x)-f_n(x)|$$

另外一方面，因為對於任意

$x\in [a,b]$，有：

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{f}_n(x)=f(x)$$

也就是對於任意

$ϵ>0$，都存在

$N^{\prime }$，使得

$m>N^{\prime }$ 時：

$$|f_m(x)-f(x)|<ϵ$$

更進一步，我們可以挑選一個滿足

$m>N$ 的

$m$ ^[1]。如此一來，就可以使用三角不等式：

$$\begin{array}{rl}|f_n(x)-f(x)|& \le \underset{<ϵ}{\underbrace{|f_n(x)-f_m(x)|}}+\underset{<ϵ}{\underbrace{|f_m(x)-f(x)|}}<2ϵ\end{array}$$

接著要證明

$f$ 有界。利用

$\{f_n\}$ 收斂，所以可以找到一個

$n$^[1]，使得

$\mathrm{\forall }x\in [a,b]$：

$$|f_n(x)-f(x)|<1$$

由三角不等式^[1]知道：

$$|f(x)|<|f_n(x)|+1$$

但因為

$f_n$ 有界，所以

$f$ 就在這個狀況下就跟著有界了。

接下來看一個這個定理的延伸“

連續函數 + sup norm

Corollary (連續函數完備)
令：

$$C^0([a,b]\to \mathbb{R})=\{f:[a,b]\to \mathbb{R}:f\text{ is cont.}\}$$
則：

$$(C^0([a,b],\mathbb{R}),d_{sup})$$
是個完備的 metric space

因為

$C_b[a,b]$ 是完備的，而在

$[a,b]$ 上的連續函數，由中間值定理知道一定是有界的，所以有：

$$C^0([a,b],\mathbb{R})\subset C_b[a,b]$$

這時把點子動到「完備空間的閉集也是完備」上，僅證

$C^0([a,b],\mathbb{R})$ 是閉集即可。也就是假定

$$\{f_n\}\subset C^0([a,b],\mathbb{R})$$

目標是：

$$f_n\to f\text{ then }f\in C^0([a,b],\mathbb{R})$$

但因為在

$d_{sup}$ 下的收斂等價於均勻收斂，而均勻收斂又保連續，所以

$f$ 也會是連續的。因此

$f\in C^0([a,b],\mathbb{R})$。目標就達成了。