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Topological Space - Connectedness (Part 1)

在定義聯通之前,之前要先定義 separation

Def (Separation)

假定

(X,J) 是個拓樸空間,假定
U,VJ
滿足下面幾個性質:

1. 都在

X 裡面:

\bbox[yellow]UX,VX

2. 兩者非空:

\bbox[yellow]Uϕ,Vϕ

3. 兩者互斥:

\bbox[yellow]UV=ϕ

4. 聯集是母集合:

\bbox[yellow]UV=X

那麼就稱

(U,V) 是一個
X
separation

Connectedness

Def (Disonnected)

(X,J) 是一個拓樸空間。假定
X
存在一個 separaion,那麼就稱
X
disconnected

有了 disconnected,就可以接著定義 connected

Def (Connected)

假定

X 不是 disconnected,那麼就稱
X
connected

聽起來超級饒口。這邊有一個觀察:

Observation

假定

U,V 是一個
X
separation,那麼有:

X=UV

那麼可以觀察到:

U=VcV=Uc

也就是這樣的

U,V既開又關,或是說 clopen。因此:

\bbox[pink]X is disconnected exists a proper clopen subset uX