# Topological Space - Connectedness (Part 1)

在定義聯通之前，之前要先定義 *separation*：

:::warning
**Def (Separation)**

假定 $(X, J)$ 是個拓樸空間，假定 $U, V \subset J$ 滿足下面幾個性質：

++**1. 都在 $X$ 裡面：**++：

$$
\bbox[yellow]{U \in X, V \in X}
$$

++**2. 兩者非空：**++

$$
\bbox[yellow]{U \neq \phi, V \neq \phi}
$$

++**3. 兩者互斥：**++

$$
\bbox[yellow]{U \cap V = \phi}
$$

++**4. 聯集是母集合：**++

$$
\bbox[yellow]{U \cup V = X}
$$

那麼就稱 $(U, V)$ 是一個 $X$ 的 *separation*。
:::

## Connectedness

:::warning
**Def (Disonnected)**

$(X, J)$ 是一個拓樸空間。假定 $X$ 存在一個 *separaion*，那麼就稱 $X$ 是 *disconnected*。
:::

有了 *disconnected*，就可以接著定義 *connected*：

:::warning
**Def (Connected)**

假定 $X$ 不是 *disconnected*，那麼就稱 $X$ 是 *connected*。
:::

聽起來超級饒口。這邊有一個觀察：

++Observation++

假定 $U, V$ 是一個 $X$ 的 *separation*，那麼有：

$$
X = U\cup V
$$

那麼可以觀察到：

$$
\begin{align}
U &= V^{c}\newline
V &= U^{c}
\end{align}
$$

也就是這樣的 $U, V$ 會**既開又關**，或是說 *clopen*。因此：

:::danger
$$
\bbox[pink]{
\begin{align}
&X \text{ is disconnected }\iff\newline
&\text{exists a proper clopen subset } u \subset X
\end{align}}
$$
:::