Topological Space - Connectedness (Part 1)

在定義聯通之前，之前要先定義 separation：

Def (Separation)

假定

$(X,J)$ 是個拓樸空間，假定

$U,V\subset J$ 滿足下面幾個性質：

1. 都在

$X$ 裡面：：

$$U\in X,V\in X$$

2. 兩者非空：

$$U\ne \varphi ,V\ne \varphi$$

3. 兩者互斥：

$$U\cap V=\varphi$$

4. 聯集是母集合：

$$U\cup V=X$$

那麼就稱

$(U,V)$ 是一個

$X$ 的 separation。

Connectedness

Def (Disonnected)

$(X,J)$ 是一個拓樸空間。假定

$X$ 存在一個 separaion，那麼就稱

$X$ 是 disconnected。

有了 disconnected，就可以接著定義 connected：

Def (Connected)

假定

$X$ 不是 disconnected，那麼就稱

$X$ 是 connected。

聽起來超級饒口。這邊有一個觀察：

Observation

假定

$U,V$ 是一個

$X$ 的 separation，那麼有：

$$X=U\cup V$$

那麼可以觀察到：

$$\begin{array}{rl}U& =V^c\\ V& =U^c\end{array}$$

也就是這樣的

$U,V$ 會既開又關，或是說 clopen。因此：

$$\begin{array}{rl}& X\text{ is disconnected }⟺\\ & \text{exists a proper clopen subset }u\subset X\end{array}$$