Topological Space - Heine-Borel Theorem in Metric Space

在 metric space 中，compact 就自動有 closed 跟 bounded。但反過來說未必會對，closed 跟 totally bounded 未必有 compact。那 compact 有沒有什麼充分必要條件呢？這邊有一個：

Totally Bounded

Def (Totally Bounded)

假定

$X$ 是一個 metric space，而

$M\subseteq X$。若對於任意

$ϵ>0$，都存在有限個

$p_1\dots p_{N_{ϵ}}\in M$，使得：

$$M\subseteq \bigcup _{i=1}^{N_{ϵ}}B(p_i,ϵ)$$

那麼就稱

$M$ 為 totally bounded。

有了這個之後，就可以在 metric space 中找到類似 * Heine-Borel Theorem*，也就是 compact 跟 closed, complete, totally bounded 各種性質排列組合的那個充分必要條件很像的定理：

Generalized Heine-Borel Theorem

Thm (Generalized Heine-Borel Theorem)

假定

$X$ 是個 complete metric space，則：

$$\begin{array}{rl}& S\mathbf{compact}⟺\\ & S\mathbf{closed}\text{ and }\mathbf{totally}\mathbf{bounded}\end{array}$$

$\Rightarrow$：closed 是已經證過的，剩下 totally bounded，這時候就可以用上 open cover。因為對於任意

$ϵ>0$，所有以

$S$ 中的點為中心，半徑

$ϵ$ 的開球，必定會形成一個

$S$ 的 open cover。即：

$$\mathfrak{U}=\{B(p,ϵ){\}}_{p\in S}$$

是一個

$S$ 的 open cover。這時再用 open cover 的那個 compact 定義，知道

$\mathfrak{U}$ 必定有一個 finite subcover，而這個 finite subcover 就是有限個以

$S$ 中的元素為中心，

$ϵ$ 為半徑的開球。因此得證 totally bounded。

$\Leftarrow$：這個證明跟「閉區間 compact」 的證明一樣。只不過那時候的證明方法是二分，而這邊的證明方法是依照 totally bounded 的那些開球數目去分。

假定

$A=\{a_j{\}}_{j=1}^{\mathrm{\infty }}$ 是一個

$S$ 中的序列。現在的任務是：想辦法說明

$A$ 有收斂子序列。如同剛剛所說，這個證明從 totallu bounded 出發。令：

$${ϵ}_k=\frac{1}{k}$$

因為有 totally bounded，所以對於任何一個

${ϵ}_i$，都存在有限數目的開球，

$B(p_1^k,{ϵ}_k)\dots B((p_{N_k}^k,{ϵ}_k)$，使得：

$$\begin{array}{rl}& \mathrm{\exists }{\left\{B(p_j^k,{ϵ}_k)\right\}}_{j=1}^{N_1}.\\ & A\subseteq S\subseteq \bigcup _{j=1}^{N_1}B(p_j^k,{ϵ}_k)\end{array}$$

既然可以把數目無限的

$A$ 塞在數目有限個開球中，依照鴿籠原理，在這些開球：

$$B(p_1^k,{ϵ}_k)\dots B(p_{N_k}^k,{ϵ}_k)$$

中，一定至少有一個包住了無限多個

$A$ 中的點。這時，就可以這個特性，構造出一個

$A$ 的 nested sequence of set。而且裡面所有集合的的半徑，還會隨著包含關係而嚴格遞減。方法是這樣：

1. 從

   ${ϵ}_1=1$ 開始。假定這個開球是是
   $B(p_j^1,1)$，那麼令：
   $$A_1=B(p_j^1,{ϵ}_1)\cap A$$

2. 而這時，

   $A_1\subseteq A=\{a_j{\}}_{j=1}^{\mathrm{\infty }}$ 裡面的元素，就可以形成一個
   $A$ 的子序列。比如說：把
   $A_1$ 中的每個元素，依照在原序列
   $A$ 的 index 大小由小往大排，就生出一個
   $A$ 的子序列了。

3. 而

   $A_1$ 又是一個無限多元素的序列，而且
   $A\supset A_1$。這時令
   ${ϵ}_2=1/2$，然後找 totally bounded 保證的，可以蓋住
   $S$ 的有限個開球們。

4. 接下來，再度因為鴿籠原理，

   $A_1$ 是無限的集合，但這些蓋住
   $S$ 的半徑
   $1/2$ 的開球只有有限個。所以這些半徑為
   $1/2$ 的開球中，一定有某一個某個包含了無限多個
   $A_1$ 元素。令這個半徑為
   $1/2$ 的開球跟
   $A_1$ 的交集為
   $A_2$，然後再令
   ${ϵ}_3=1/3$…

如此一直遞迴地做下去，也就是像這樣：

$$A_k=\{\begin{array}{ll}A=\{a_j{\}}_{j=1}^{\mathrm{\infty }}& \text{if }k=0\\ \\ \text{some }p\in X\text{, gauranteed by totally bounded, }\\ \text{such that }(B(p,{ϵ}_k)\cap A_{k-1})\text{ has infinite point}& \text{if }k\ge 1\end{array}$$

這樣一來，每一個

$A_i$ 都能形成一個

$\{a_j\}$ 的子序列，因為只要把

$A_i$ 中的元素，對應在

$A=\{a_j{\}}_{j=1}^{\mathrm{\infty }}$ 中的 index 由小到大寫出來，就構成了一個

$A$ 的子序列。除此之外，

$\{A_k{\}}_{k=1}^{\mathrm{\infty }}$ 形成了一個 nested sequence of set，也就是：

$$\{a_j{\}}_{j=1}^{\mathrm{\infty }}=A\supset A_1\supset \cdots \supset A_j\supset \cdots$$

更進一步，對於任意

$A_k$，因為

$A_k$ 當初都是跟半徑為

$1/k$ 的開球取交集得到的，所以整個

$A_k$ 都會塞在半徑為

$1/k$ 的開球中。因此，

$A_k$ 這個子序列中任兩點的距離比

$1/k$ 還要小，而且又 nested。這些特性就足以在完備的

$X$ 中找出收斂子序列了。比如說：用下面的方法構造出

$\{a_j\}$ 的收斂子序列：

1. 在所有的

   $A_k$ 中取一個點。即取：
   $$a_{j_k}\subset A_k\subset A$$

2. 因為每個

   $A_k\subseteq A$，所以這序列選出來的元素都是
   $A$ 中的元素，照這個方法取出來的這個序列也會是
   $A$ 的子序列。假定這個取出來的序列叫做
   $\{a_k{\}}_{k=1}^{\mathrm{\infty }}$
   $$\{a_{j_k}{\}}_{k=1}^{\mathrm{\infty }}\subset A$$

這樣一來，就可以證明

$\{a_{j_k}\}$ 是收斂的。這是因為：

1. 任意一個

   $A_k$ 塞在半徑為
   $1/k$ 的開球中，所以裡面任兩點距離不超過
   $1/k$。換句話說：這個取出來的序列
   $\{a_{j_k}\}$ 只要
   $k$ 夠大，任兩點間可以小於
   $1/k$。也就是他 Cauchy。

2. 而這個空間又完備，所以柯西列都收斂。因此

   $\{a_k\}$ 收斂。

3. 更進一步，因為

   $\{a_{j_k}\}$ 是
   $A$ 的子序列，而
   $A$ 又是
   $S$ 中的序列，但
   $S$ 又 closed。所以
   $\{a_{j_k}\}$ 收斂到的點會在
   $S$ 裡面。

因為任何一個

$S$ 中的序列都可以這樣構造出收斂子序列，所以就證明了

$S$ compact。